《拉普拉斯變換》PPT課件.pptVIP

1,第三章 拉普拉斯變換,3.1 引言,3.2 拉普拉斯變換,3.3 拉普拉斯變換的收斂域,3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,3.5 拉普拉斯反變換,3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),小 結(jié),2,3.1 引言,傅立葉分析工具在研究信號(hào)和線性時(shí)不變系統(tǒng)的很多問(wèn)題時(shí)，是極為有用的。但傅立葉變換有不足之處。,1、要求信號(hào)f(t)絕對(duì)可積。而有些常用信號(hào)不滿足該條件。,2、有些重要函數(shù)如eat (a0) 的傅立葉變換不存在，無(wú)法用傅立葉分析方法處理。,而拉氏變換作為傅氏變換的推廣，解決了上述不足。,3,拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：,1、傅立葉變換是將時(shí)間函數(shù)f(t)分解為無(wú)窮多項(xiàng)虛指數(shù)信號(hào)ejt之和。,2、拉普拉斯變換是將時(shí)間函數(shù)f(t)分解為無(wú)窮多項(xiàng)復(fù)指數(shù)信號(hào)est之和。其中s=+j s稱為復(fù)頻率,3、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣,返回,4,3.2 拉普拉斯變換,一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換,1、傅立葉變換定義,當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件時(shí),5,2、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí),F,因?yàn)樯鲜街衪為積分變量,故積分結(jié)果必為s的函數(shù),將f(t)乘以衰減因子e-t ( 為 一實(shí)常數(shù) ) ，恰當(dāng)?shù)剡x取 的值 就有可以使f(t)e-t 變得絕對(duì)可積，即,6,令s=+j，,因?yàn)槌?shù)，所以d = 1/j ds，且當(dāng)時(shí)，s j 進(jìn)行積分換元,用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換,兩邊同乘et,(1)式和(2)式為雙邊拉普拉斯變換對(duì),7,二、拉普拉斯變換定義,1、雙邊拉普拉斯變換,s稱復(fù)頻率，F(xiàn)b(s)稱信號(hào)的復(fù)頻譜,8,2、單邊拉普拉斯變換,f(t)為有始函數(shù)，即t0時(shí)，f(t)=0,本課程主要所討論單邊拉普拉斯變換,記作：,9,3、復(fù)平面(s平面),當(dāng)s=+j確定時(shí)， 指數(shù)函數(shù) est 也確定了,反映指數(shù)函數(shù)est的幅度變化速度,0,幅度發(fā)散,0,幅度收斂,反映指數(shù)函數(shù)est的因子ejt作周期變化的頻率,返回,以復(fù)頻率s=+j的實(shí)部 和虛部 j 為相互垂直的坐標(biāo)軸而構(gòu)成的平面.,右半開(kāi)平面,左半開(kāi)平面,10,3.3 拉普拉斯變換的收斂域(ROC),1、定義：把使f(t)e-t 滿足絕對(duì)可積條件的 的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域。,2、單變拉氏變換的收斂條件,若f(t)為有始函數(shù)，且存在下列關(guān)系,則收斂條件為,稱為收斂坐標(biāo),11,3、指數(shù)階函數(shù),凡是滿足,的函數(shù)稱為指數(shù)階函數(shù),幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù),1. 時(shí)限信號(hào),12,2. 單位階躍信號(hào)u(t),對(duì)于0的任何值，都有,所以其收斂域?yàn)閟平面的右半面,3. 線性增長(zhǎng)信號(hào) tn,對(duì)于0的任何值，都有,所以其收斂域?yàn)閟平面的右半面,13,4. 指數(shù)函數(shù),返回,只有當(dāng) 時(shí)，才有,所以其收斂域?yàn)閟平面上 的部分.,14,3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,設(shè)f(t)為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換,1、單位階躍信號(hào)u(t),L,即,L,2、指數(shù)函數(shù),15,3、 tn n為正整數(shù),L,16,4、正弦函數(shù),則,17,即,同理,18,5、沖激函數(shù)(t),即,同理,返回,19,3.5 拉普拉斯反變換,利用拉氏變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要從象函 數(shù)F(s)求出原函數(shù)f(t)。,一、部分分式法,其中，ai ,bj均為實(shí)數(shù)，m，n為正整數(shù),部分分式法的實(shí)質(zhì)：將F(s)展開(kāi)為簡(jiǎn)單分式之和，再逐項(xiàng)求出其拉氏反變換。,20,一、當(dāng)mn時(shí),設(shè)N(s)比D(s)高r階 將F(s)化為s的多項(xiàng)式與真分式之和,則其拉氏反變換為：,21,二、F(s)為真分式的情況,1、D(s)=0 的根為單實(shí)根,將上式展開(kāi)為 n個(gè)簡(jiǎn)單分式之和，即,其中，ki為待定系數(shù),22,1.為了確定ki，在方程兩端同時(shí)乘以因子(s-pi) ， 再令s=pi ，則,或用羅比塔法則導(dǎo)出另一公式：,23,當(dāng)s=pi時(shí)， (s-pi)和D(s)均為零，所以 由羅比塔法則可以求得,24,確定了ki 之后，求出各簡(jiǎn)單分式對(duì)應(yīng)的 時(shí)間函數(shù)，迭加后即為f(t),25,解：,有兩個(gè)互異實(shí)根,將F(s)展開(kāi)為部分分式：,26,即,所以：,27,、D(s)=0 的根為重實(shí)根的情況,設(shè)p1為r重實(shí)根,式中：含有單極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法與前述同,28,含有重極點(diǎn)因子的部分分式系數(shù)求法如下：,29,30,、D(s)=0 的根為共軛復(fù)根的情況,因?yàn)镈(s)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，所以有復(fù) 根出現(xiàn)時(shí)，必為成對(duì)的共軛復(fù)根。,設(shè),則,31,（）用上面所講方法進(jìn)行部分分式展開(kāi),這種方法要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，比較麻煩,（）配方法,32,已知正弦函數(shù),余弦：,所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方 法寫成如下形式：,或,33,例：,極點(diǎn)為,返回,34,3.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),1、線性性質(zhì),若,則,2、時(shí)間平移,若,則,35,例：周期函數(shù)f(t)，周期為T，若f1(t)表示從t=0開(kāi)始 的第一個(gè)周期的波形，且f1(t)的拉氏變換為F1(s)， 求f (t)的拉氏變換,解：,且,36,3、s域平移,若,則,4、尺度變換,若,則,37,5、時(shí)域微分,若,則,38,當(dāng)f(t)為有始函數(shù)時(shí)，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均為0，此時(shí),39,6、時(shí)域積分,若,則,40,7、s域微分特性,若,則,8、s域積分特性,若,則,41,9、初值定理,若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，則f(t)的初值為：,10、終值定理,若函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，且sF(s)的所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平面，則f(t)的終值為：,42,頻域卷積,若,則,若,則,時(shí)域卷積,11、卷積定理,返回,43,第三章小 結(jié),拉氏變換與傅氏變換是傅氏變換的推廣。,拉氏變換是研究連續(xù)線性非時(shí)變系統(tǒng)強(qiáng)有力的工具。,作業(yè)：3-1（7，9）、