《地基中的應(yīng)力》PPT課件.ppt

第四章,土體中的應(yīng)力計算,習(xí)題:P86,4.1,4.2,4.4,4.3,4.6,4.5,第四章 土體中的應(yīng)力計算,強度問題,變形問題,地基中的應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,自重應(yīng)力,附加應(yīng)力,基底壓力計算,有效應(yīng)力原理,建筑物修建以后，建筑物重量等外荷載在地基中引起的應(yīng)力，所謂的“附加”是指在原來自重應(yīng)力基礎(chǔ)上增加的應(yīng)力。,建筑物修建以前，地基中由土體本身的有效重量所產(chǎn)生的應(yīng)力。,4.1 概述,第四章 土體中的應(yīng)力計算,4.1 概述,土力學(xué)中符號的規(guī)定,材料力學(xué),+,-,+,-,土力學(xué),正應(yīng)力,剪應(yīng)力,拉為正 壓為負,順時針為正 逆時針為負,壓為正 拉為負,逆時針為正 順時針為負,材料力學(xué)與土力學(xué)的正負號規(guī)定正好相反！,第四章 土體中的應(yīng)力計算,4.1 概述,地基中常見的應(yīng)力狀態(tài),(1)一般應(yīng)力狀態(tài)三維問題,第四章 土體中的應(yīng)力計算,4.1 概述,應(yīng)變條件,應(yīng)力條件,獨立變量,(2)三軸應(yīng)力狀態(tài)三維問題,=,=,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,(3)平面應(yīng)變狀態(tài)二維問題,垂直于y軸切出的任意斷面的幾何形狀均相同，其地基內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)也相同； 沿長度方向有足夠長度，L/B10； 平面應(yīng)變條件下，土體在x, z平面內(nèi)可以變形，但在y方向沒有變形。,(3)平面應(yīng)變條件二維問題,應(yīng)變條件,應(yīng)力條件,獨立變量,=,=,0,0,0,0,0,0,0,0,0,(4)側(cè)限應(yīng)力狀態(tài) 一維問題,水平地基半無限空間體； 半無限彈性地基內(nèi)的自重應(yīng)力只與Z有關(guān)； 土質(zhì)點或土單元不可能有側(cè)向位移側(cè)限應(yīng)變條件； 任何豎直面都是對稱面,應(yīng)變條件,A,B,應(yīng)變條件,應(yīng)力條件,獨立變量,(4)側(cè)限應(yīng)力狀態(tài) 一維問題,=,=,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,K0：側(cè)壓力系數(shù),均勻一致各向同性體 （土層性質(zhì)變化不大時）,線彈性體 （應(yīng)力較小時）,連續(xù)介質(zhì) （宏觀平均）,與(x, y, z)無關(guān) 與方向無關(guān),理論,方法,彈性力學(xué)解求解“彈性”土體中的應(yīng)力,解析方法優(yōu)點：簡單，易于繪成圖表等,碎散體,非線性 彈塑性,成層土 各向異性,p,e,線彈性體,加載,卸載,應(yīng)力計算時的基本假定,第四章 土體中的應(yīng)力計算,4.1 概述,土力學(xué)中應(yīng)力符號的規(guī)定 地基中常見的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力計算時的基本假定,三維應(yīng)力狀態(tài) 三軸應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)變狀態(tài) 側(cè)限應(yīng)力狀態(tài),連續(xù) 彈性 均質(zhì)各向同性,小 結(jié),第四章 土體中的應(yīng)力計算,4.1 概述,4. 2 土中自重應(yīng)力,由土體本身自重引起的應(yīng)力稱為土的自重應(yīng)力。,一般情況下，土體形成的時間很久，自重作用下的變形早已完結(jié)，因此，自重應(yīng)力又稱為常駐應(yīng)力。,1.單一土層條件下自重應(yīng)力的計算,按力學(xué)概念，平均應(yīng)力等于力除以作用面積；,天然狀態(tài)下，地表面可看成是一個無限大的水平面，設(shè)地面下，土的容重為 ，從地面起至其下Z深度處取出一個與地表面垂直的土柱體，分析其受力：,從這個意義上講:自重應(yīng)力不會使土體產(chǎn)生變形。,該土柱體這樣切?。?先用一個與地表面垂直的平面aa，由于其對稱性， aa面上只有對稱的法向應(yīng)力（正應(yīng)力)，因其為水平向，記為cx 。,同理：在用bb平面切取。,前后依次用cc、dd切取，其上作用cy 。,在Z深度處，再用一個水平面ee將土柱截斷,其中的角標(biāo)c表示自重引起，x表示應(yīng)力作用方向；非對稱的切向應(yīng)力（剪應(yīng)力）必為零。,對于土體，有,4. 2 土中自重應(yīng)力,cx = cy,根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，知在ee面上，只有法向應(yīng)力 cz 。,切向應(yīng)力為零。,設(shè)所切取的土柱體總重為P,則有：,cz土中某點的豎向自重應(yīng)力，kPa,Z 考查點至天然地面的距離，m,根據(jù)豎向力之和為零有：,土的重力密度，kN/m3,4. 2 土中自重應(yīng)力,cz =z,該點處的水平向自重應(yīng)力cx,根據(jù)廣義虎克定律：,=0,則有,其中：Ko為土的側(cè)向壓力系數(shù)；,為泊松比。,彈性材料：,即對于正常情況下的土體有：,4. 2 土中自重應(yīng)力,即,也就是說，豎向應(yīng)力乘以水平向應(yīng)力系數(shù)Ko即為水平向應(yīng)力，土體一定，水平向應(yīng)力系數(shù)為常數(shù)，豎向應(yīng)力已知時，水平應(yīng)力即確定。在今后的應(yīng)用中，水平向應(yīng)力應(yīng)用的數(shù)量較少，一般情況下，有了豎向應(yīng)力之后，不作特殊說明；經(jīng)常用到的是豎向自重應(yīng)力，為簡單起見，一律簡寫成c 。,4. 2 土中自重應(yīng)力,2.成層土條件下自重應(yīng)力,設(shè)各層土的土層厚度分別為h1 、h2 、h3 、 h4重度分別為1 、2 、3 、4如圖。,分層不影響對稱性，仍用前述的方法截取土柱體，分段求合力，得：,P=P1+P2+P3+P4,即：,由此得：,簡寫成：,2. 2 土中自重應(yīng)力,3.當(dāng)土層中有地下水時自重應(yīng)力,e,b,P1,P2,P3,a,自重應(yīng)力是指有效應(yīng)力,即土體通過土粒間接觸點傳遞的接觸壓力。,浸水后，土顆顆粒受到水浮力，土顆粒間的接觸壓力減少，1m3土體扣除土顆粒所受浮力后剩余重量即為有效重度，所以，浸水后單位體積土體的有效自重計算時應(yīng)采用有效重度。據(jù)此有：,當(dāng)有不透水層時，由于水對不透水層層面有靜水壓力，且通過不透水層層面向下傳遞該水壓力，因而，此時的自重應(yīng)力還應(yīng)加上水壓力，即：,2. 2 土中自重應(yīng)力,綜上所述，各種情況下土中某點的豎向自重應(yīng)力均可用下式表達：,其中：, i 第i層土的重力密度，kN/m3,地下水位以下土顆粒受到浮力時，應(yīng)采用有效重度;對不透水層層面及其以下土體，還要考慮其上的水、土總重，即加上水壓力。,hi 第i層土土層厚度，m，,n計算點至天然地面范圍內(nèi)土層層數(shù)。,w水的重力密度，一般情況下，可取w=10kN/m3,hw不透水層層面至自由水位面的距離(水位），m。,到此為止，各種條件下的自重應(yīng)力計算問題我們已經(jīng)全部講解完了，自重應(yīng)力的計算是土力學(xué)所有計算中最簡單、最基本的，大家必須熟練掌握。,4. 2 土中自重應(yīng)力,自重應(yīng)力的分布規(guī)律,自重應(yīng)力在等容重地基中隨深度呈直線分布； 自重應(yīng)力分布線的斜率是容重； 自重應(yīng)力在成層地基中呈折線分布； 在土層分界面處和地下水位處發(fā)生轉(zhuǎn)折。,均質(zhì)地基,成層地基,4. 2 土中自重應(yīng)力,例4.1 地質(zhì)土層條件如圖所示,試畫出該土層豎向自重應(yīng)力沿深度的分布圖,并標(biāo)出各點的應(yīng)力值。,解：應(yīng)力計算公式為,為了方便表達，先建立坐標(biāo)系，并標(biāo)定計算點,sc(kPa),Z,o,a,b,c,d,e,f,38.0,65.0,82.46,101.82,141.82,181.72,237.97,o點：其上天然土層數(shù)n為零，其上無壓重，故該點sc=0,a點：其上天然土層數(shù)n等于1，故該點:,sc=g1*h1=19.0*2.0=38.0(kPa),土體一定時，重度g是常數(shù)，oa間只有深度Z（ h ）是變量，故oa間sc按直線分布，按比例分別畫出o、a兩點的sc值，兩點的應(yīng)力值sc間連直線，即得oa段間sc沿深度的分布圖。,b點：其上天然土層數(shù)n等于2，該點以上土層均未浸水，故該點:,sc=g1*h1+ g2*h2 =19.0*2.0+18.0*1.5=65.0(kPa),同樣，在坐標(biāo)系中按比例畫出b點sc值，與a點sc值連接，即得即得ab段間sc沿深度的分布圖。,c點：其上天然土層數(shù)n等于3，該點以上土層兩層未浸水，一層浸水，浸水土層應(yīng)采用有效重度，故該點:,sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8=82.46(kPa),同樣，畫圖、連線即得bc段間sc沿深度的分布圖。,sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2=101.82(kPa),同樣，畫圖、連線得所求。,d點（下）：該點表示已進入到第5層（泥巖層）層面，其上天然土層數(shù)n仍為4，該點以上土層兩層未浸水，兩層浸水，浸水土層應(yīng)采用有效重度，由于已進入到不透水層層面，所以，計算中應(yīng)考慮水壓力，故該點:,sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)=141.82(kPa),同樣，畫圖、連線。,d點（上）：該點表示第4層（粉土層）的層底，未進入到第5層（泥巖層），其上天然土層數(shù)n等于4，該點以上土層兩層未浸水，兩層浸水，浸水土層應(yīng)采用有效重度，故該點:,e點：其上天然土層數(shù)n為5，該點不透水層以上土層兩層未浸水，兩層浸水，浸水土層應(yīng)采用有效重度，由于已進入到不透水層層面以下，所以，計算中應(yīng)考慮水壓力，在不透水層層面以下，沒有地下水，該部分土體未受水浮力，應(yīng)采用天然重度計算，故該點:,sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw + g5 *h5 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)+21.0*1.9=181.72(kPa),同樣，畫圖、連線。,f點：其上天然土層數(shù)n為6，該點不透水層以上土層兩層未浸水，兩層浸水，浸水土層應(yīng)采用有效重度，對于不透水層層面以下土體，仍采用天然重度計算，故該點:,sc=g1*h1+ g2*h2 + g3 *h3 + g4 * h4+ gw * hw + g5 *h5 + g6 *h6 =19.0*2.0+18.0*1.5+9.7*1.8+8.8*2.2+10*(1.8+2.2)+21.0*1.9+22.5*2.5=237.97(kPa),同樣，畫圖、連線。其所求的應(yīng)力分布圖如圖所示。,sc(kPa),Z,o,a,b,c,d,e,f,38.0,65.0,82.46,101.82,141.82,181.72,237.97,sc沿深度的分布圖,基底壓力：地基與基礎(chǔ)接觸面上的接觸壓力稱為基底壓力，記為p。也稱基底接觸壓力。,基底壓力,附加應(yīng)力,地基沉降變形,基底反力,基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的外荷載,上部結(jié)構(gòu)的自重及各種荷載都是通過基礎(chǔ)傳到地基中的。,影響因素 計算方法 分布規(guī)律,上部結(jié)構(gòu),基礎(chǔ),地基,建筑物設(shè)計,4.3 基底壓力計算,一. 影響因素,基底壓力,基礎(chǔ)條件,剛度 形狀 大小 埋深,大小 方向 分布,土類 密度 土層結(jié)構(gòu)等,荷載條件,地基條件,4.3 基底壓力計算,抗彎剛度EI= M0； 反證法: 假設(shè)基底壓力與荷載分布相同，則地基變形與柔性基礎(chǔ)情況必然一致； 分布: 中間小, 兩端無窮大。,二.基底壓力分布,彈性地基，絕對剛性基礎(chǔ),基礎(chǔ)抗彎剛度EI=0 M=0； 基礎(chǔ)變形能完全適應(yīng)地基表面的變形; 基礎(chǔ)上下壓力分布必須完全相同，若不同將會產(chǎn)生彎矩。,條形基礎(chǔ)，豎直均布荷載,彈性地基，完全柔性基礎(chǔ),4.3 基底壓力計算,彈塑性地基，有限剛度基礎(chǔ),二.基底壓力分布, 荷載較小 荷載較大,砂性土地基,粘性土地基, 接近彈性解 馬鞍型 拋物線型 倒鐘型,4.3 基底壓力計算,基礎(chǔ)的埋深,上部結(jié)構(gòu)的剛度,地基、基礎(chǔ)、上部結(jié)構(gòu)三者是一個共同受力的整體，三者共同承受荷載，其內(nèi)力的分布必然受各部分的剛度所制約；同樣的荷載作用下，上部結(jié)構(gòu)剛度越大，分得的內(nèi)力就越多。因此，上部結(jié)構(gòu)剛度越大，基礎(chǔ)分得的內(nèi)力就越小。,4.3 基底壓力計算,根據(jù)圣維南原理，基底壓力的具體分布形式對地基應(yīng)力計算的影響僅局限于一定深度范圍；超出此范圍以后，地基中附加應(yīng)力的分布將與基底壓力的分布關(guān)系不大，而只取決于荷載合力的大小、方向和位置。,三. 實用簡化計算,基底壓力的分布形式十分復(fù)雜,簡化計算方法：,基礎(chǔ)尺寸較小 荷載不是很大,4.3 基底壓力計算,其它比較復(fù)雜的基礎(chǔ),假定基底壓力按直線分布的材料力學(xué)方法,按彈性地基梁板的方法（考慮基礎(chǔ)的實際剛度和土的性質(zhì)）,三. 實用簡化計算,矩形面積中心荷載,矩形面積偏心荷載,2.3 基底壓力計算,矩形基礎(chǔ),單向偏心時,F基礎(chǔ)底面面積，m2,N上部結(jié)構(gòu)傳至基礎(chǔ)底面的豎向力，kN,適用條件 Pmin0,p基底壓力，kPa,三. 實用簡化計算,矩形面積偏心荷載,4.3 基底壓力計算,Pmin0,高聳結(jié)構(gòu)物下可能的的基底壓力,基底壓力合力與總荷載相等,土不能承受拉力,壓力調(diào)整,4.3 基底壓力計算,基底壓力分布的影響因素 基底壓力的分布形式 簡化計算方法,荷載條件 基礎(chǔ)條件 地基條件,直線分布,假定基底壓力按直線分布的材料力學(xué)方法,小 結(jié),地基中附加應(yīng)力,豎直 集中力,矩形面積豎直均布荷載,矩形面積豎直三角形荷載,水平 集中力,矩形面積水平均布荷載,豎直線布荷載,條形面積豎直均布荷載,圓形面積豎直均布荷載,特殊面積、特殊荷載,主要討論豎直應(yīng)力,荷載方向 荷載分布 作用面,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,附加應(yīng)力：外部各種作用在土中引起的應(yīng)力增量稱為附加應(yīng)力。,附加應(yīng)力計算時一般采用半空間應(yīng)力模型；即認為土體是均質(zhì)、連續(xù)、各向同性的彈性半空間體，外荷作用在半空間表面。,設(shè)圖示的半空間表面有一豎向集中力Q,取Q的作用點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系如圖：,在半空間體內(nèi)有一點M，其坐標(biāo)為x、y、z，,M（x,y,z),點M到坐標(biāo)原點的距離為R,在原有應(yīng)力基礎(chǔ)之上新增加的那部分應(yīng)力。作用的結(jié)果是使土體產(chǎn)生新的變形,一、豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算 -布辛奈斯克解,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,Q,M,x,y,z,r,R,M,（Q；x,y,z；R, , ）,一、豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算布辛內(nèi)斯克解,早在1885年法國學(xué)者J.布辛奈斯克(Boussinesq,1885)就作出了6個應(yīng)力分量和3個位移分量的解答,其中的豎向應(yīng)力表達式為:,豎向位移表達式為:,z土中某點的豎向附加應(yīng)力,kPa;,土中某點的豎向位移，,土的泊松比，,E土的彈性模量，其余符號見圖。,是土中某點的位移，當(dāng)Z=0時的位移，就是地表面某點的沉降量，也就是地基的沉降量，即：,這個公式就是我們后面計算沉降的彈性力學(xué)公式。,一、豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算布辛內(nèi)斯克課題,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,一、豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算布辛內(nèi)斯克課題,查表4-2,集中力作用下的 應(yīng)力分布系數(shù),4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r/z,0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0,特點,1.z與角無關(guān)，應(yīng)力呈軸對稱分布,2.豎直面上合力過原 點，與R同向,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,一、豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算 -布辛內(nèi)斯克解,特點,4.在某一水平面上z=const，r=0, 最大，r，減小，z減小,5.在某一圓柱面上r=const，z=0, z=0，z，z先增加后減小,6.z 等值線應(yīng)力泡,一. 豎直集中力作用下的附加應(yīng)力計算布辛內(nèi)斯克課題,應(yīng)力 球根,球根,Q,Q,0.1P,0.05P,0.02P,0.01P,3.Q作用線上，r=0, =3/(2）,z=0, z，z，z=0,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,二、多個集中力共同作用時,因為假設(shè)土體是彈性體，因此對多個集中力共同作用時，可采用疊加原理求解。,如圖，在半空間表面有n個集中力共同作用，分別以各集中力作用點為坐標(biāo)原點，求出每個集中力單獨作用時在計算點M處引起的附加應(yīng)力，最后疊加即可得解。即：,同理，有z3、z4。,由于荷載作用在半空間表面，M點距半空間表面距離均為Z，疊加有：,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,其中：,第i個豎向力作用下的豎向附加應(yīng) 力系數(shù)，根據(jù)ri/z查表求得。,riM點到第i個集中力的水平距離，,zM點到半空間表面的距離。,三、適用條件,顯然與實際不符，原因在于：,理論上的集中力僅是一個理想化的計算模型，實際中并不存在,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,二、多個集中力共同作用時,也就是說，如圖所示桿件，其材質(zhì)、斷面形狀等均相同，現(xiàn)作用著兩個不同的力系，但兩個力系等效，其應(yīng)力的分布僅在圖中紅線所包圍的區(qū)域內(nèi)（荷載作用面附近）明顯不同，在紅線區(qū)域外，兩者已無區(qū)別。,設(shè)矩形面積上有均布荷載，荷載作用面長邊尺寸為L，短邊尺寸為b,荷載作用面中心點到計算點M的距離為R，,這個影響區(qū)域的大小與荷載作用面的尺寸有關(guān)，,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,根據(jù)彈性理論的圣文南原理知：力作用形式的不同，僅對荷載作用面附近區(qū)域產(chǎn)生影響，離開荷載作用面足夠遠處，其應(yīng)力值僅與該力系的合力有關(guān)。,三、適用條件,考慮荷載作用面尺寸影響，用精確方法計算與不考慮荷載作用面尺寸，直接按布辛奈斯克解計算，其最大誤差一般不超過下列各值：,因此，工程上，允許直接按集中力考慮，應(yīng)用布氏公式求解的條件是R2L。即當(dāng)計算點到荷載作用面中心的距離R大于2倍荷載作用面長邊尺寸時，可以不考慮荷載作用面尺寸效應(yīng)對應(yīng)力值的影響，直接用合力按布氏公式求解即可滿足要求。,結(jié)構(gòu)工程中，一般的允許誤差為5%，做為土力學(xué)的理論計算， 6%的誤差還可以接受，,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,三、適用條件,則可將每一小塊上的荷載當(dāng)做一個集中力，仍可按前述多個集中力共同作用時求解。,四、等代荷載法,當(dāng)不滿足前述按集中荷載計算的條件時，可以按疊加原理，將荷載作用面劃分成n個小塊，如果各小塊荷載面的尺寸到計算點的距離滿足前述條件，,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,二. 水平集中力作用下的附加應(yīng)力計算西羅提(Cerruti)課題,Ph,4.4 集中荷載下的附加應(yīng)力,洗露蒂,1. 矩形面積上豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力,1. 角點下的豎直附加應(yīng)力 B氏解的應(yīng)用,矩形面積上豎向均布荷載作用時角點下的豎向應(yīng)力系數(shù),查表4-9,p,M（0,0,z),4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,一、空間應(yīng)力問題,. 任意點的豎直附加應(yīng)力角點法,a.矩形面積內(nèi),b.矩形面積外,兩種情況：,荷載與應(yīng)力間 滿足線性關(guān)系,疊加原理,角點下豎直附加 應(yīng)力的計算公式,地基中任意點的附加應(yīng)力,角點法,1. 矩形面積豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 矩形面積三角形分布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,矩形面積豎直三角分布荷載角點下的應(yīng)力分布系數(shù),查表4-11,p,M, 角點1下(荷載為零邊角點下）,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 矩形面積三角形分布荷載作用下的附加應(yīng)力計算, 角點2下(荷載最大邊角點下）,矩形面積豎直三角分布荷載角點下的應(yīng)力分布系數(shù),查表,p,M,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,即：對M點來講，左圖中的藍色荷載和紅色荷載兩個三角形荷載疊加后即為一個完整的矩形荷載。,在t2表達式中，將積分內(nèi)的表達式分為兩部分,2. 矩形面積三角形分布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,.任意點下,如圖中的M點下，其中的M 是M點在荷載作用面上的投影。此時應(yīng)將荷載作用面和荷載一起分割；如圖,然后分別求解,當(dāng)計算點位于荷載作用面以內(nèi)時，,如果計算點位于荷載作用面以外，則原理不變，仍是疊加法，通過適當(dāng)?shù)募印p使其等效。,2. 矩形面積三角形分布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,.均布荷載圓心點下,取圓心為坐標(biāo)原點，建立極坐標(biāo)系如圖,z,0,pdA(r,w,0),M(0,0,z),R,r,取微面積，代入布氏公式積公后得：,令:,3. 圓形面積均布荷載作用時圓心下的附加應(yīng)力,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 均布荷載任意點下,同樣取圓心為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的極坐標(biāo)系,計算后得:,o均布圓形荷載作用時中心點下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)， 其中的ro為荷載作用面半徑,查表,z 計算點至荷載作用面的距離。,其中:,均布圓形荷載作用時任意點下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)，r為計算點半徑。,3. 圓形面積均布荷載作用時圓心下的附加應(yīng)力,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,圓形面積沿偏心方向在中心處剖開，有荷載為零點1和荷載最大點2，如圖，,其下的點分別為M1和M2，其附加應(yīng)力分別為：,4. 圓形面積上 三角形荷載邊點點下的附加應(yīng)力,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,分別為圓形面積上 三角形荷載邊點1和邊點2下的豎向附加應(yīng)力系數(shù)。,5. 矩形面積水平均布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,角點下的豎直附加應(yīng)力 C氏解的應(yīng)用,矩形面積作用水平均布荷載時角點下的應(yīng)力分布系數(shù),ph,查表,西羅提解,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,二、平面應(yīng)變問題,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,設(shè)半空間表面有如圖所示的均布線荷載作用，取荷載分布方向為y軸。,在空間體內(nèi)，現(xiàn)有一點M，求荷載在M點引起的豎向附加應(yīng)力z，,由于沿y軸無限長，所有與軸垂直的平面對y軸（荷載）來講都有是對稱面，其應(yīng)力狀態(tài)都相同。,(x,o,z),所以這樣建立坐標(biāo)系對這些對稱面上的應(yīng)力分布是沒有影響的。,過M點作平面與y軸垂直，取該平面與y軸的交點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系如圖：,則M點必位于xoz平面內(nèi)，其點坐標(biāo)為（x，o，z）,設(shè)點M到坐標(biāo)原點的距離為R1，則：,在荷載作用線上取微段dy ，令：P=pdy，代入布氏公式得：,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,1. 豎直線布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,令z=R1tan,換元積分后得：,，其中cos=z/R1,同樣可求得,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,1. 豎直線布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,用直角坐標(biāo)表示時,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 條形面積豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力計算,任意點下的附加應(yīng)力F氏解的應(yīng)用,條形面積豎直均布荷載作用時的應(yīng)力分布系數(shù),M,查表4-14,(x,0,z),p,設(shè)半空間表面有寬度為b的均布條形荷載p，取寬度方向中點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系如圖：,現(xiàn)有一點M，求p在M點處引起的附加應(yīng)力z ，,用極坐標(biāo)可直接求得其解析解，過M點向荷載作用面的兩個邊緣作射線，射線與豎直線夾角分別為1、 2 ，M點到坐標(biāo)原點距離為R1，,(x,0,z),在x軸上取段dx，由圖知: dx= R1 d/cos,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 條形面積豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力,沿y軸方向積分的結(jié)果同前面的均布線荷載，在線荷載的基礎(chǔ)上再沿寬度方向積分，結(jié)果即為條形荷載引起的應(yīng)力。,即：,同理得：,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 條形面積豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力,根據(jù)材料力學(xué)公式：,將z 、x 、xz、代入后整理得土中某點大、小主應(yīng)力表達式：,其中：o=(2-1),如令：,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,2. 條形面積豎直均布荷載作用下的附加應(yīng)力,3.條形面積上三角形分布的豎向荷載作用,如圖，有一三角形分布的條形荷載作用在半空間表面，建立坐標(biāo)系如圖。,在M點處，其附加應(yīng)力,其中：,條形面積上三角形荷載時的豎向附加應(yīng)力系數(shù)。,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,附加應(yīng)力計算,a 豎直集中荷載作用下 (表4-2) ac 圓形面積均布荷載作用下 (表4-6) a0 矩形面積均布荷載作用中點下 (表4-8) as 矩形面積均布荷載作用角點下 (表4-9) at 矩形面積三角形分布荷載作用壓力為零下 (表4-11) au 條形面積均布荷載作用時 (表4-14) as 條形面積三角形分布荷載作用時 (表4-15),小 結(jié),三、均質(zhì)地基中的應(yīng)力分布,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,由于土中存在剪應(yīng)力，使地基中產(chǎn)生了應(yīng)力擴散現(xiàn)象；即沿著深度方向隨深度的增加，其豎向附加應(yīng)力值越來越小，在某一深度處的水平面上，附加應(yīng)力不但作用在基礎(chǔ)底面輪廓線范圍內(nèi)，而且延伸到輪廓線外，但不管怎么延伸，同一水平面上，基礎(chǔ)中心點下的應(yīng)力值最大，向兩邊逐步減小，趨近于零。但不管怎么變化，同一水平面上的附加應(yīng)力之和始終等于pA,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,三、均質(zhì)地基中 應(yīng)力的分布,四、非均質(zhì)地基中附加應(yīng)力分布的特征,以上涉及的均是柔性荷載、均質(zhì)各向同性地基條件下附加應(yīng)力的分布情況。實際工程中并非如此，地基土都具有成層性，變形模量沿深度是變化的。此時應(yīng)力的分布與均質(zhì)地基相比，無外乎兩種情況：應(yīng)力集中或應(yīng)力擴散。,1.變形模量隨深度增大的地基,隨著深度的增加,天然狀態(tài)下,土體所受的壓力越來越大,壓密效應(yīng)越來越強,因此同一土體條件下，土體的模量越來越大,即變形模量隨深度增大。這種現(xiàn)象在砂土中尤為明顯。,此時，地基中的應(yīng)力分布同均質(zhì)地基相比，有向基礎(chǔ)中心線下積聚、增大的趨勢；由于合力保持不變，故邊緣部位的應(yīng)力必減少，習(xí)慣上稱其為應(yīng)力集中現(xiàn)象。其分部特征如圖所示。,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,非均質(zhì)地基z,均質(zhì)地基z,應(yīng)力集中,2.成層土地基,此時，其豎向附加應(yīng)力值,其中：,大于3的集中因素，其值隨變形模量與深度的關(guān)系以及泊松比有關(guān)。該式答為費洛列希（Frhlich)解，當(dāng)=3時，上式即是Boussinesq)解。,對成土地基，其上、下層模量無外乎上大下小或上小下大兩種情況。設(shè)上層土模量為E1，下層土模量為E2，,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,(1)上層軟弱，下層堅硬的成層地基,中軸線附近z比均質(zhì)時明顯增大的現(xiàn)象 應(yīng)力集中； 應(yīng)力集中程度與土層剛度和厚度有關(guān)； 隨H/B增大，應(yīng)力集中現(xiàn)象逐漸減弱。,(2)上層堅硬，下層軟弱的成層地基,中軸線附近z比均質(zhì)時明顯減小的現(xiàn)象 應(yīng)力擴散； 應(yīng)力擴散程度，與土層剛度和厚度有關(guān)； 隨H/B的增大，應(yīng)力擴散現(xiàn)象逐漸減弱。,H,均勻,成層,E1,E2E1,H,均勻,成層,E1,E2E1,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,3. 各向異性地基,當(dāng)Ex/Ez1 時，應(yīng)力擴散Ex相對較大，有利于應(yīng)力擴散,五. 非均質(zhì)土中應(yīng)力的分布及影響因素,4.5 豎向分布荷載作用下的附加應(yīng)力,4.6 應(yīng)力計算中的其它一些問題,一、建筑物基礎(chǔ)下的地基應(yīng)力計算,1、基底附加壓力 po,作用在地基與基礎(chǔ)的接觸面上，新增加給地基的那部分壓力，稱為基底附加壓力，記為po，kPa。,也可以理解為地基基礎(chǔ)接觸面上的壓力增量。,作為基礎(chǔ)，它的施工過程如圖所示；,開槽挖土做墊層綁筋、澆混凝土、做基礎(chǔ)回填土上部結(jié)構(gòu)，形成最終的基底壓力。,基礎(chǔ)底面標(biāo)高處，天然狀態(tài)下，本身就有自重壓（應(yīng)）力c，將其挖除（卸荷）后，在加上現(xiàn)有基底壓力p，在這個變化過程中，基底凈增的壓力增量po應(yīng)為：,這樣，基底附加壓力：po = p- m*d 注意：這里的d必須是從天然地面起算的埋深。,基底附加壓力是作用在半空間表面的外荷載，在它的作用下，地基中（半空間體內(nèi)）要產(chǎn)生應(yīng)力增量和變形。,c基礎(chǔ)底面標(biāo)高處土體自重應(yīng)力，當(dāng)埋深范圍