《平面及其方程》PPT課件.ppt

第五節(jié) 平面及其方程,一、平面的點(diǎn)法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,第七章,平面和直線是最簡單和最基本的空間圖形。本節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具討論平面和直線的問題。介紹平面和直線的各種方程及線面關(guān)系、線線關(guān)系。,確定一個平面可以有多種不同的方式，但在解析幾何中最基本的條件是：平面過一定點(diǎn)且與定向量垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時我們將會看到許多其它條件都可轉(zhuǎn)化為此。,這里先介紹平面的點(diǎn)法式方程：,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,已知,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,一、平面的點(diǎn)法式方程,平面的點(diǎn)法式方程,其中法向量,已知點(diǎn),若取平面的另一法向量,此時由于,平面方程為,平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形,解,所求平面方程為,化簡得,一般地,過不共線的三點(diǎn),的平面的法向量,平面方程為,三點(diǎn)式方程,特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時,平面方程為,分析:利用三點(diǎn)式,按第一行展開得,即,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,設(shè)平面為,由平面過原點(diǎn)知,所求平面方程為,解,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,則平面與,三軸分別交于,、,、,（其中,，,，,）,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡得,令,所求平面方程為,例6,求過點(diǎn),且平行于,z 軸的平面方程.,解一,用點(diǎn)法式,設(shè)所求平面的法向量為,由點(diǎn)法式得，所求平面的方程為,即,解二,用一般式,因平面平行于 z 軸，故可設(shè)平面方程為,在平面上,解得,所求平面方程為,即,由以上幾例可見，求平面方程的基本思路和基本步驟：兩定定點(diǎn)，定向,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,三、兩平面的夾角,按照兩向量夾角余弦公式, 可以得出：,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,/,例7 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合,兩平面平行,兩平面重合.,例8,一平面過點(diǎn),且垂直于,平面,求其方程。,解,設(shè)所求平面的法向量為,在所求平面上,又所求平面與已知平面垂直,解得,代入點(diǎn)法式方程并整理得,解,四、點(diǎn)到平面距離公式,例10.,解: 設(shè)球心為,求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成四面體的球面方程.,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,從而,平面的方程,（熟記平面的幾種特殊位置的方程）,兩平面的夾角.,點(diǎn)到平面的距離公