極坐標(biāo)方程及其應(yīng).pptVIP

1,第6講-極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用,2,學(xué)習(xí)目標(biāo),1理解極坐標(biāo)的概念； 會(huì)正確進(jìn)行點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化， 會(huì)進(jìn)行曲線的極坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化； 2理解等速螺線的概念及其極坐標(biāo)方程,3,重 點(diǎn),難 點(diǎn),極坐標(biāo)的概念,等速螺線,4,極坐標(biāo)最早是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各貝努利于1691年引入的，雖然牛頓在1671年曾使用過極坐標(biāo)系，但他的文章直至1736年才發(fā)表。1729年德國數(shù)學(xué)家赫爾曼（Jacob Hermann）進(jìn)一步完善了極坐標(biāo)的概念，并導(dǎo)出了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換的公式。1748年歐拉給出了極坐標(biāo)的現(xiàn)代形式。,5,以洞山中路為X軸 以田大路為Y軸.,請(qǐng)問：去技師 學(xué)院怎么走？,精神?。?6,從這向東 2000米。,請(qǐng)問：去技師 學(xué)院怎么走？,7,請(qǐng)分析上面這句話，他告訴了問路人什么？,從這向東走2000米！,出發(fā)點(diǎn),方向,距離,在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。,8,1、極坐標(biāo)系的建立：,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。,引一條射線OX，叫做極軸。,再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。,O,9,2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長度，用表示從射線OX到OM 的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（，）就叫做M的極坐標(biāo)。,特別強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,特別規(guī)定:當(dāng)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)=0， 可以取任意值。,10,平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？,想一想？,11,3、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況,1給定（,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。,2給定平面上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。,原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。,(,),它們有統(tǒng)一的表達(dá)式：（，2k+）,如果限定0,02,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了.,12,在直角坐標(biāo)系中, 以原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(x, y)，極坐標(biāo)是(,),則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:,x=cos, y=sin,4、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,13,互化公式的三個(gè)前提條件： 1. 極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合; 2. 極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合; 3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.,x=cos, y=sin,14,定義：,設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)沿著一條射線作等速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)這條射線又繞著它著的端點(diǎn)等角速旋轉(zhuǎn)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為等速螺線（或阿基米德螺線）,5、極坐標(biāo)的應(yīng)用,15,設(shè)O為射線 的端點(diǎn)，以O(shè)為極點(diǎn)， 的初始位置為極軸，建立極坐標(biāo)系。,設(shè)動(dòng)點(diǎn) 在射線 上的起始 位置為 ，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)P沿射線 作直線運(yùn)動(dòng)的速度為 ，射線 繞著點(diǎn)O作 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為 ，則由等到螺線的定義 和平面幾何知識(shí)可得等速螺線的極坐標(biāo)方程為：,下面我們來建立等速螺的極坐標(biāo)方程.,16,特別地， 時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)P從極點(diǎn)O開始運(yùn)動(dòng)，等速螺線的極坐標(biāo)方程為：,在機(jī)械傳動(dòng)中，經(jīng)常需要把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€運(yùn)動(dòng)，凸輪是實(shí)現(xiàn)這種運(yùn)動(dòng)變換的重要部件，而常用凸輪的輪廓線就是等速螺線的一部分。,17,例3：一滑桿（設(shè)此滑桿足夠長）一端固定，其上有一滑塊，位于端點(diǎn)20mm處，它以5mm/s一速度向遠(yuǎn)離固定的一端，又此滑桿另一端以每秒逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/6的角速度旋轉(zhuǎn)，求此滑塊的運(yùn)動(dòng)軌跡。,解：此滑塊的運(yùn)動(dòng)軌跡為等速螺線，其軌跡為,18,例4：已知凸輪的基圓半徑R=60mm，要求：當(dāng)轉(zhuǎn)角自0轉(zhuǎn)到 時(shí)，推桿等速上升60mm；當(dāng)轉(zhuǎn)角自 旋轉(zhuǎn)到 時(shí)，推桿等速下降60mm；當(dāng)轉(zhuǎn)角自 旋轉(zhuǎn)到 時(shí)，推桿保持不動(dòng).求凸輪輪廓曲線的極坐標(biāo)方程.,解 :凸輪輪廓曲線的極坐標(biāo)方程,（1）當(dāng)=0時(shí)，R=60，代入得,當(dāng)= 時(shí)，R=120，代入得,(見教材P61),19,（2）當(dāng)= 時(shí)，R=120，代入得,當(dāng)= 時(shí)，R=60，代入得,(3)當(dāng) 時(shí)，,20,小 結(jié),你能總結(jié)一下本講的主要內(nèi)容嗎？,21,所以所求的凸輪輪郭曲線方程為：,22,