離散型隨機(jī)變量及其分布.pptVIP

,2.2離散型隨機(jī)變量及其分布,一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì),定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限 個(gè)或可列個(gè), 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,說(shuō)明,離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來(lái)刻劃 即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這 些值的概率唯一確定,離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì):,從中任取3 個(gè)球,取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,X可能取的值是0,1,2,取每個(gè)值的概率為,例1,且,（1）列表法：,（2）圖示法,（3）公式法,練習(xí),將 1 枚硬幣擲 3 次，令： X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求 X 的分布律 解： X 的取值為-3，-1，1，3 并且,例2,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為,例2,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為,例2,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為,例3 某加油站替公共汽車站代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元. 因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元. 設(shè)每天出租汽車數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：,求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外 支出費(fèi)用的概率.,分析：加油站代營(yíng)每出租一輛車，可得3元.,每天出租汽車數(shù)為X，因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入 為3 X元.,每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，即 當(dāng)天的額外支出費(fèi)用.,因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：,P3X60,即 PX20,注意到,也就是說(shuō)，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.,PX20=PX=30+PX=40=0.6,例4,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得,該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有,所以,二.常見離散型隨機(jī)變量的概率分布,（一）兩點(diǎn)（01）分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,或,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 兩點(diǎn)分布,兩點(diǎn)分布也稱作 0-1 分布或Bernoulli分布,兩點(diǎn)分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)：,令：,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即 ，我們總能在W上定義一個(gè)服從（01）分布的隨機(jī)變量,來(lái)描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。,檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽以及前面多次討論過(guò)的“拋硬幣”試驗(yàn)都可以用（0-1）分布的隨機(jī)變量來(lái)描述,（1）幾何分布,若隨機(jī)變量 X 的分布律為,分 布 律 的 驗(yàn) 證, 由條件, 由條件可知,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗(yàn)中，,試驗(yàn)進(jìn)行到 A 首次出現(xiàn)為止,即,返回主目錄,課本34頁(yè)例2,（2）超幾何分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,超幾何分布的概率背景,一批產(chǎn)品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 NM 件 為正品現(xiàn)從中取出 n 件 令 X：取出 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù)則 X 的分布律為,（二）二項(xiàng)分布,n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試 驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作,01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,分布律的驗(yàn)證,由于,以及 n 為自然數(shù)，可知,又由二項(xiàng)式定理，可知,所以,是分布律,例6,一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案， 其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能 答對(duì)4道題的概率是多少？,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn),解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,所以,二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),可以證明：課本36頁(yè)例6,例7 獨(dú)立射擊5000次, 命中率為0.001,例7,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；,(2)命中次數(shù)不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001),小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.,本例 啟示,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisson 分布,（三）Poisson 分布,分布律的驗(yàn)證, 由于,可知對(duì)任意的自然數(shù) k，有,分布律的驗(yàn)證, 又由冪級(jí)數(shù)的展開式，可知,所以,是分布律,Poisson分布的應(yīng)用,Poisson分布是概率論中重要的分布之一 自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布 例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的,例 8,設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知,解：隨機(jī)變量 X 的分布律為,由已知,得,由此得方程,得解,所以，,例 9,例 9,解：設(shè) B= 此人在一年中得3次感冒 ,則由Bayes公式，得,Poisson定理,證明：,Poisson定理的證明(續(xù)),對(duì)于固定的 k，有,Poisson定理的證明(續(xù)),所以，,Poisson定理的應(yīng)用,由 Poisson 定理，可知,例10 某種藥品的過(guò)敏反應(yīng)率為0.0001，今有20000人使用此藥品，求20000人中發(fā)生過(guò)敏反應(yīng)的人數(shù)不超過(guò)3的概率。,解 以X表示20000人中發(fā)生過(guò)敏反應(yīng)的人數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布 ，所求的概率為：,如果利用近似公式,計(jì)算，可以得到： ，且,比較兩個(gè)結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。,設(shè)有 80 臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法： 其一，由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20 臺(tái) 其二，由 3 人,共同維護(hù) 80 臺(tái). 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.,例11,解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負(fù)責(zé)的 20 臺(tái) 中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，則 X B (20，0.01）.,以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺(tái)中發(fā)生故障不能及 時(shí)維修”， 則 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概 率為：,例11(續(xù)),按第二種方法. 以 Y