物理奧賽：力學(xué)萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng).pptVIP

第六專題 萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng),解題知識(shí)與方法研究,疑難題解答研究,例題4（星球運(yùn)動(dòng)的阻力）,例題1（天體軌道的判定）,例題3（衛(wèi)星“怪像”）,例題5（飛船著陸問(wèn)題）,例題6（飛船和宇航站對(duì)接問(wèn)題）,例題2（利用萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）,一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的 簡(jiǎn)化,二、引力問(wèn)題的基本運(yùn)動(dòng)方程,三、行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量,例題7（雙星問(wèn)題）,一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化,（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).,（2）很多時(shí)候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個(gè)是主要的：,b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這 時(shí)問(wèn)題很簡(jiǎn)單（我們通常討論的就是這種情況）.,二、引力問(wèn)題的基本動(dòng)力學(xué)方程,如圖，行星m在太陽(yáng)M的有心引力作用下運(yùn)動(dòng).,行星的橫向加速度 等于零.,解題知識(shí)與方法研究,此式變化后即得開(kāi)普勒第二定律：,三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量,根據(jù)萬(wàn)有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動(dòng) 量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下 的繞日運(yùn)動(dòng)的天體的軌道方程：,軌道方程為一圓錐曲線方程：,（1）,（即開(kāi)普勒第一定律）；,（2）,（3）,例1（天體軌道的判定） 如圖，太陽(yáng)系中星體A做半徑為R1的圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng). B在近日點(diǎn)處與太陽(yáng)的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同. 設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽(yáng)連線上. A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體. 其間的質(zhì)量損失可忽略. 試證明新星體繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓.,解,計(jì)算新星體C的機(jī)械能.,所以C到太陽(yáng)的距離為,研究式中的vA、vB：,因A作圓運(yùn)動(dòng)，,疑難題解答研究,所以,利用，C星體的機(jī)械能為,因此，新星體C的軌道為橢圓.,B作拋物線運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為零.,因而有,例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑） 行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，已 知軌道半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，太陽(yáng)質(zhì)量記為MS. 試用物理方法求橢圓各定點(diǎn)處的曲率 半徑.,解,行星運(yùn)動(dòng)情況如圖.,由圖可知,代入式得,由 解得,求頂點(diǎn)1處的曲率半徑1：,將前面得到的v1代入，,求頂點(diǎn)3處的曲率半徑3：,將前面得到的v3代入，,即得,即得,例3（衛(wèi)星怪像問(wèn)題） 質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）的飛行過(guò)程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能嚴(yán)格按圓周軌道運(yùn)動(dòng)，而是緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球.因f 很小，軌道半徑變化十分緩慢，每一周均可近似處理為半徑為r的圓周軌道，但r將逐周縮短. 試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量及衛(wèi)星動(dòng)能EK的改變量.,解,衛(wèi)星的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能為,在運(yùn)行中萬(wàn)有引力作為向心力,將此代入EK、E的表達(dá)式，可得到,衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為,所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為,動(dòng)能的改變量為,由功能關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，有,即,例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過(guò)質(zhì)量密度為 的非常稀薄的氣體, 由于它的引力場(chǎng)，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子. 設(shè)相對(duì)于速度V，分子的熱運(yùn)動(dòng)速度可忽略. 分子間的相互作用不計(jì). 求作用在星體上的阻力.,解,為方便研究問(wèn)題取星球?yàn)閰⒄障?,氣體分子的運(yùn)動(dòng)及與星球的碰撞如圖所示.,在橫截面為 的圓柱體內(nèi)的分子 才能與星球相碰.,研究圓截面邊緣上的一個(gè)分子：,設(shè)被俘獲前的瞬間（A點(diǎn)處） 的速度為v.,由角動(dòng)量守恒得,由機(jī)械能守恒得,設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所 受阻力），,得到,例5（飛船著陸問(wèn)題） 一質(zhì)量為m=12103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運(yùn)動(dòng) ，其高度h=100km. 為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在圖中P點(diǎn)作一短時(shí)間發(fā)動(dòng). 從噴 口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加 速度g=1.7m/s2. 飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖所示）：,（1）向前噴射氣流，使飛船到達(dá)月球背面的A點(diǎn) （與P點(diǎn)相對(duì)），并相切. （2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心 的動(dòng)量，飛船軌道與月球表面B點(diǎn)相切. 試計(jì)算上述兩種情況下所需要的燃料量.,解,設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，,月球表面的重力加速度為,代入上式，便得,則有,（1）,聯(lián)立此兩式消去vA解得,對(duì)噴氣前后的短暫過(guò)程， 由動(dòng)量守恒有,解得,（2）,從而飛船的速度變?yōu)?則由角動(dòng)量守恒和能量守恒得,設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為m1,聯(lián)立此兩式消去vB解得,對(duì)噴氣前后的短暫過(guò)程， 在沿原半徑方向上由動(dòng)量守恒有,解得,設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為m2,例6 質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)著，其 軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍. 某瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道 運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR. 問(wèn)飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地 球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇.,解,發(fā)射前后飛船、宇航站的運(yùn)動(dòng)情況如圖.,記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.,由,得,記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.,由動(dòng)量守恒有,研究分離后的飛船：,由開(kāi)普勒第二定律 及能量守恒定律有,研究分離后的宇航站：,由開(kāi)普勒 第二定律及能量守恒定律有,設(shè)遠(yuǎn)地心點(diǎn)的速度為v，,設(shè)近地心點(diǎn)的速度為V ，距地心r.,設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.,由開(kāi)普勒第三定律有,即,確定t/T：,因飛船運(yùn)行一周恰好與宇航站相遇，所以,將代入，得,即,所以,由上述式求m/M：,得,可見(jiàn)k只能取兩個(gè)值：k=10，11.,相應(yīng)有,例7 一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)Mm），距離為d，在引力作用 下繞不動(dòng)的質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng). 設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn). 在超新星爆炸中，質(zhì)量為M的星體 損失質(zhì)量M. 假設(shè)爆炸是瞬時(shí)的、球?qū)ΨQ的，并且對(duì)殘余體不施加任何作用力（或作用 力抵消），對(duì)另一顆星也無(wú)直接作用. 試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約 束而不相互遠(yuǎn)離.,解,需計(jì)算爆炸后的總機(jī)械能.,如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).,旋轉(zhuǎn)的角速度 滿足,爆炸后的瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（M-M）位置、速度均不變.,旋轉(zhuǎn)半徑滿足,新系統(tǒng)的勢(shì)能為,新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動(dòng)能為,由系統(tǒng)動(dòng)量的質(zhì)心表達(dá)可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為,注意到式中的,所以,進(jìn)而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動(dòng)能為,新系統(tǒng)仍被約束的條件是,另解,用二體問(wèn)題折合質(zhì)量法,爆炸前：,兩星折合質(zhì)量,兩星折合質(zhì)量,等效的運(yùn)動(dòng)如圖（a）.,旋轉(zhuǎn)的速度v 滿足,爆炸后：,等效的運(yùn)動(dòng)如圖（b）.,新系統(tǒng)的勢(shì)能,新系統(tǒng)的動(dòng)能,代入系統(tǒng)約束的條件,解得,對(duì)m2，由牛頓第二定律有,將（1）代入（2）：,則有,（3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立