復數與復變函數教學.ppt

第一章 復數與復變函數,1.1 復數及其運算 1.2 復平面上的曲線和區(qū)域 1.3 復變函數 1.4 復變函數的極限和連續(xù)性,1.1 復數及其運算,一、復數的概念,1、產生背景,二、復數的表示法,1、(復平面上的)點表示 -用坐標平面上的點,r,此時的坐標面（稱為復平面）與直角坐標平面的區(qū)別與聯(lián)系。,2、(復平面上的)向量表示-,（1）模 的長度 ，記為 ，則,（2）輻角( ) 與 軸正向的夾角 (周期性),輻角主值:,3、三角（或極坐標）表示-,歐拉公式,5、代數表示-,復數的各種表示可相互 轉換在不同的運算中可 選擇不同表示式 進行運算。,三、復數的運算,1、相等兩個復數，當且僅當實部與虛部分別相等時才相等。,2、和、差、積、商（分母不為0）代數式、三角式、指數式,3、共軛復數及運算性質,z,四、復數的n次方根,答疑解惑,答：不能，實數能比較大小，是因為實數是有序的；而復數是無序的，所以不能比較大小。 假設復數有大小，其大小關系應與實數中大小關系保持一致，（因為實數是復數的特例），不妨取0和i加以討論：,1、復數能否比較大小，為什么？,注：復數的模、實部和虛部都是實數，輻角也是實數，可比較大小。,2、復數可以用向量表示，則復數的運算與向量的 運算是否相同？,答：有相同之處，但也有不同之處。,加減和數乘運算相同，乘積運算不同，向量運算有數量積、向量積和混合積，復數則沒有；復數運算有乘除及乘冪、方根，但向量沒有；乘積運算的幾何意義不同。,典型例題,例1、判斷下列命題是否正確？,（1） （2） （3）,（ ）,（ ）,（ ）,解（1）,（2）,（3）,(4),例3、求滿足下列條件的復數z：,（1）,（3）,（2） 且,1.2 復平面上的曲線和區(qū)域,一、復平面上的曲線方程,二、簡單曲線與光滑曲線,三、區(qū)域,1、去心鄰域,3、區(qū)域及分類,2、內點與開集,區(qū)域連通的開集。,屬于D內的任一條簡單閉曲線，在D內可以經過連續(xù)的變形而收縮成一點。,任意一條簡單閉曲線 C把復平面分為三個不相交的點集：有界區(qū)域稱為 C的內部；無界區(qū)域，稱為 C的外部； C，稱為內部與外部的邊界。,1.3 復變函數,一、復變函數的概念,1、定義,分類,討論一個復變函數,研究兩個實二元函數,3、復變函數的單值性討論,教材P12 （例1.3.2),是否為單值函數,均為單值的實二元函數,是單值函數嗎？,，均為多值的實二元函數,方法二、 見教材,二、映射,復變函數的幾何圖形表示,函數在幾何上可以看著是把 z 平面上的一個點集 G （定義域）變到 w 平面上的一個點集 G *（值域）的一個映射（或映照）。,與 G 中的點為一一對應,映射為雙射,典 型 例 題,解 (1),乘法的模與輻角定理,How complex the expression are!,是以原點為焦點，開口向左的拋物線（見圖c1),其是以原點為焦點，開口向右的拋物線（見圖c2）。,解法一（1）,消 x, y 建立 u, v 所滿足的象曲線方程或由兩個實二元函數反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲線方程即得象曲線方程,（2）,代入原象曲線方程，得,w平面內的一條直線。,解法二,代入原象方程得,化為實方程形式,（2）留作練習。, 1.4 復變函數的極限和連續(xù)性,本章難點與重點,注：分析中，習慣把變量之間的對應關系稱為函數； 幾何中，習慣把變量之間的對應關系稱為映射；