直線與平面平行以及兩平面相互平行的幾何條件和作圖方法.pptVIP

2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,教學目的： 1.掌握直線與平面平行以及兩平面相互平行的幾何條件和作圖法。 2.熟練掌握直線與平面的交點和兩平面交線的求法及其可見性的判 別方法。 3.掌握直線與平面垂直的投影特性。 教學重點： 1.直線與平面平行以及兩平面相互平行的幾何條件和作圖方法。 2.直線與平面的交點和兩平面交線的求法及其可見性的判別方法。 3.直線與平面垂直的投影特性及求點面距離的作圖方法。 教學難點： 1.直線與平面平行以及兩平面相互平行的幾何條件和作圖方法。 2.直線與平面的交點和兩平面交線的求法及其可見性的判別方法。 3.直線與平面垂直的投影特性及求點面距離的作圖方法。,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,直線與平面及兩平面的相對位置，有平行和相交兩種，相交中還有垂直這一特殊 情況。 2.5.1 直線與平面平行、兩平面相互平行 從立體幾何知道:（1）若一平面外的一直線，平行于此平面內的一直線，則此直 線與平面平行。（2）若一平面內有兩條相交直線平行于另一平面，則此兩平面相互 平行。 1.當平面的投影有積聚性的情況 根據(jù)上述幾何定理，同時考慮到“平行兩直線的同面投影彼此平行”以及“垂直 于投影面的平面在該投影面上的投影積聚成直線”這兩個投影特性，就可得出特殊情 況下（至少有一個平面處于特殊位置）關于平行問題的投影特性。 （1）當直線與垂直于投影面的平面平行時，則它們在該投影面上的投影一定平 行。例如圖2-36所示為直線AB與鉛垂面P平行，則它們的水平投影也平行。,圖2-36 直線與平面平行,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,（2）當兩個互相平行的平面垂直于一個投影面時，則它們在該投影面上的投 影也一定互相平行，例如圖2-37所示為互相平行的兩個鉛垂面P和Q的水平投影也 互相平行。,圖2-37 兩平面相互平行,2.當平面為一般位置的情況 在一般情況下（沒有一個平面處于特殊位置），直線與平面平行以及兩平面相互平行在投影圖上不直接反映，它們的作圖和判別問題必須根據(jù)有關幾何條件進行。,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,【例2-11】 試過直線CD作一平面與直線AB平行（圖2-38（a）。 【解】 若在直線CD上任取一點，例如D點，過D點作直線DE平行于直線AB （圖2-38（b），則相交兩直線CD，DE所決定的平面，一定平行于直線AB，即 所求平面。,圖2-38,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,【例2-12】 試過D點作一平面平行于ABC（圖2-39（a）。 【解】 若一平面內有兩條相交直線平行于另一平面，則此兩平面相互平 行，故只要過D點作兩直線分別平行于ABC內任意相交兩直線即可。圖2-39 （b）中，DEAB，DFBC，相交兩直線DE，DF所決定的平面，即為所求平面。,圖2-39,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,2.5.2 直線與平面相交、兩平面相交 直線與平面相交的交點，是直線與平面的共有點。作圖時，除了要求出交點 的投影外，還要判別直線投影的可見性。 兩平面的交線是直線，它是兩平面的共有線。求兩平面交線的方法是:求出 兩個共有點，或者一個共有點和交線的方向。作圖時，除了求出交線的投影外， 還要判別兩平面投影的可見性。 求交點和交線問題，可分為兩種情況。一種是特殊位置情況，即當直線或平 面處于某些特殊位置時，利用它們投影的積聚性來求交點和交線;另一種是一般 位置情況，利用輔助面法求交點和交線。 1.利用積聚性求交點和交線 如圖2-40所示為直線AB與鉛垂面CDE相交，由于CDE的水平投影有積聚 性，因此，直線AB與CDE的水平投影的交點k就是空間交點K的水平投影。根據(jù) 這一投影特點，在投影圖（圖2-40（b）中首先得到交點的水平投影k，由k可 求得正面投影k。,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,關于可見性，本圖的水平投影不需要判別。正面投影中直線AB與CDE投 影重疊部分有可見性問題，它有兩種可能:一種是右上方一段可見，左下方一段 不可見，如圖2-41（a）;另一種是左下方一段可見，右上方一段不可見，如圖 2-41（b）。不管是哪種情況，交點本身總可見，而且是可見和不可見的分界 點。,圖2-40 直線與平面相交圖,圖2-41 直線與平面相交時的可見性,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,判別可見性，有兩種方法: （1）觀察法 例如現(xiàn)在是判別正面投影的可見性，是從前向后看，看直線AB 與CDE的前后位置關系，從水平投影可以看出，直線KB段在CDE之前，故 kb段都可見，畫成粗實線;而KA段在CDE之后，故ak與cde重 合的一段不可見，畫成細虛線。這種觀察法比較省事，但當直線和平面處于一般 位置，特別是圖形較復雜時，觀察法可能有困難。 （2）交叉兩直線上的重影點法 例如圖2-42中AB和DE是交叉兩直線，我們可 利用AB和DE上對V面的重影點和，設點在AB上，點在DE上，由于 YY，表示KB段在CDE之前，故其正面投影可見。判別結果，與觀察法所得 結果相符。,圖2-42 利用重影點判別可見性,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,圖2-43所示為鉛垂線AB與一般位置CDE相交，由于鉛垂線AB的水平投影ab 具有積聚性，故交點K的水平投影k一定重合在ab上。又因K點在CDE平面內，故 其正面投影k可利用輔助線求得。圖中所作輔助線為在CDE內且過交點K的直 線CF。 在圖2-43中，水平投影的可見性不需要判別，正面投影的可見性利用交叉兩 直線AB和CD上的重影點，判別，如圖所示。如圖2-44所示為鉛垂面DEFG與 一般位置ABC相交。由于DEFG的水平投影有積聚性，故在水平投影上首先求 得AC和BC對DEFG的交點K和L的水平投影k和l，再求得正面投影k和l。KL即 為交線。,圖2-43 一般位置平面與投影面垂直線相交,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,兩平面相交可見性的判別方法和直線與平面相交可見性的判別方法相似。在 圖2-43中，水平投影不需判別，正面投影中兩平面形投影重疊部分有可見性問 題。這里可用觀察法進行判別。從水平投影可以看出，ABC的KLC部分在DEFG 之前，故klc可見。兩平面的交線KL總可見，而且是可見和不可見的分界 線，如圖2-44（b）所示。,圖2-44 一般位置平面與有積聚性的平面相交,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,如圖2-45所示兩鉛垂面ABC與矩形P相交。兩個鉛垂面的交線是鉛垂線。此 兩平面交線的水平投影為1、2，由1、2可得正面投影1、2。水平投影的 可見性不需要判別，正面投影的可見性可用觀察法判別。從水平投影可以看出， ABC的CB部分在矩形P之前，故12cb可見，如圖2-45（b）所示。,圖2-45 兩鉛垂面相交,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,2.5.3 直線與平面垂直、兩平面相互垂直 由立體幾何:（1）若一直線垂直于一平面，則此直線垂直于此平面內的所有 直線。（2）若一直線垂直于一平面，則包含此直線的所有平面，都垂直于該平 面。根據(jù)上述幾何定理，可得出下列兩特殊情況下關于垂直問題的投影特性。 1.當平面的投影有積聚性的情況 （1）直線與投影面垂直面垂直的投影特性 如圖2-46（a）所示，直線AK垂直于平面P，P為鉛垂面，故AK為一水平線。 由于水平線AK垂直于平面P內的所有直線，因此它的水平投影ak與平面P的水平投 影也應相互垂直。圖2-46（b）為投影圖。由此得出如下投影特性:當直線垂直于 投影面垂直面時，此直線平行該投影面，而此直線與平面在該投影面上的投影也 互相垂直。,圖2-46 直線與鉛垂面垂直,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,（2）互相垂直的兩平面垂直于同一投影面時的投影特性 圖2-47（a）所示，Q為一鉛垂面，水平線AK垂直于平面Q，則包含AK的鉛 垂面P一定垂直于平面Q，因此這兩個鉛垂面的水平投影也互相垂直。圖2-47 （b）為投影圖。由此得出如下投影特性:互相垂直的兩平面垂直于同一投影面 時，它們在該投影面上有積聚性的投影也互相垂直。,圖2-47 兩鉛垂面互相垂直,2.5 直線與平面及兩平面的相對位置,【例2-13】 試求A點與正垂面BCD的距離（圖2-48（a）。 【解】 （1）分析 點與平面的距離，即點與平面間垂線的實長。 （2）作圖 自A點向BCD