平均數(shù)抽樣分布(正式.ppt

第二章 概率與理論分布,第三節(jié) 平均數(shù)抽樣分布,研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容 。對(duì)這種關(guān)系的研究可從兩方面著手： （1)抽樣分布：從總體到樣本 ，這就是研究抽樣分布(sampling distribution)的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布； （2）統(tǒng)計(jì)推斷： 從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inference)問(wèn)題。,統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，須對(duì)樣本的抽樣分布有所了解。 我們知道，由總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量(如，S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量， 也有其概率分布。我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布。,由總體隨機(jī)抽樣(random sampling)的方法可分為有復(fù)置抽樣和不復(fù)置抽樣兩種。 復(fù)置抽樣：指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返回原總體； 不復(fù)置抽樣：指每次抽出的個(gè)體不返回原總體。 對(duì)于無(wú)限總體，返回與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等。 對(duì)于有限總體，就應(yīng)該采取復(fù)置抽樣，否則各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)就不相等。,一、抽樣的目的go 二、樣本平均數(shù)及其分布go 三、樣本平均數(shù)差數(shù)及其分布go 四、t分布go,導(dǎo)言,一、抽樣的目的 運(yùn)用樣本推斷總體 試驗(yàn)測(cè)定所得 樣本數(shù)據(jù)； 試驗(yàn)?zāi)康?獲得總體信息 因此要研究 樣本與總體關(guān)系 如何通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分析獲得總體信息,總體 ,從總體抽取樣本,從樣本推斷總體,導(dǎo)言,總體 ,從總體抽取樣本,從樣本推斷總體,二、樣本平均數(shù)及其分布：,許多 Si 形成樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣分布。,許多 形成樣本平均數(shù)抽樣分布。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體。,和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差Si 。,每一個(gè)樣本有一個(gè)樣本平均數(shù),樣本平均數(shù) 抽樣分布,二、樣本平均數(shù)及其分布：,抽樣分布總體與原總體有什么關(guān)系？ 與 ？ 與 ？ 抽樣分布總體與原總體關(guān)系如下： 1、樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)等于原總體平 2、樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于原總體標(biāo) 即,（標(biāo)準(zhǔn)誤）,準(zhǔn)差除以,均數(shù)，即,標(biāo) 準(zhǔn) 誤 標(biāo) 準(zhǔn) 誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差) 的大小反映樣本平均數(shù) 的抽樣誤差的大小，即精確性的高低 。 標(biāo)準(zhǔn)誤大，說(shuō)明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之， 小，說(shuō)明各樣本平均數(shù) 間的差異程度小 ， 樣本平均數(shù)的精確性高。 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣 ，因?yàn)槭且怀?shù) ，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù) 的抽樣誤差。,注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量。二者的區(qū)別在于： 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S 是 反 映 樣 本中各 觀測(cè)值 x1 ，x2 ，xn，變 異 程 度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說(shuō)明了 對(duì) 該 樣本代表性的強(qiáng)弱。 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù) ， ， 的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計(jì)值， 其大小說(shuō)明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。,對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 S，用以說(shuō)明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。 對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 與樣本平均數(shù) 配合使用，記為 ， 用 以表示 所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與 抽樣誤差的大小。,3、若原分布為正態(tài)分布，平均數(shù)分布亦為正態(tài)分布。 若原分布是非正態(tài)分布，當(dāng)n增大時(shí)，平均數(shù)分布亦趨向正態(tài)分布。 所以n30時(shí)，可以認(rèn)為新分布符合正態(tài)分布。,例3-4，某品種葡萄總體，果穗長(zhǎng)=30cm，=10.8cm, 隨機(jī)抽50個(gè)果穗，所得樣本平均數(shù)與相差不超過(guò)3cm的概率是多少？ 解：已知U= 查附表3得 P (yU +0.28,以及y U -0.28) =0.78 P (U -0.28y U +0.28) =1-0.78=0.22=22% 以上做法對(duì)不對(duì) 不對(duì)！ 分析：已知、，求 | -|3cm的概率，求樣本平均數(shù)的信息，算U值須用 ，上面的解答錯(cuò)用 。,？,正確做法： 從樣本均數(shù)分布規(guī)律入手 樣本均數(shù)分布 解： U= 查附表3得P (yU +1.96,以及y U -1.96) =0.05 P (U -1.96y U +1.96) =1-0.05=0.95,若題目改為某葡萄品種總體，果穗長(zhǎng)=30cm，=10.8cm，若從其中抽取50個(gè)穗，問(wèn)50 穗中，長(zhǎng)度與相差不超過(guò)3cm的果穗共有多少穗？ 解：U= P=0.22=22% 500.22=11（穂）,例3-5 某枇杷單果重=30g, =9.6g, 今從中抽取50個(gè) 分析：已知總體分布=30，=9.6, 問(wèn) 解：,的概率是多少？,的概率P？,樣本中,果，其平均單果重,查附表3得兩尾概率0.46，那么單尾概率=0.46/2=0.23,所以平均單果重小于等于29g的概率為0.23。,若將是題目改成：某枇杷品種平均單果重=30g，=9.6g,問(wèn)單果重小于29g的概率是多少? 解：U= P（29X30）=0.0398 P(X29)=0.5-0.0398=0.4602,查附表3得兩尾概率0.92，那么單尾概率=0.92/2=0.46,所以單果重小于等于29g的概率為0.46。,例：在江蘇沛縣調(diào)查336個(gè)平方米小地老虎蟲(chóng)危害情況的結(jié)果， =4.37頭， =2.63，試問(wèn)樣本容量n=30時(shí)，由于隨機(jī)抽樣得到樣本平均數(shù) 等于或小于4.37的概率為多少？ 查附表2，（u-0.75)=0.2266,即概率為22.66%（屬于一尾概率）。因所得概率較大，說(shuō)明差數(shù)-0.36是隨機(jī)誤差，從而證明這樣本平均數(shù)4.37是有代表性的。相對(duì)精確度估計(jì)為：,附：變異系數(shù) CV= 用處： （1）比較不同性質(zhì)、不同單位、平均數(shù)相差很遠(yuǎn)的資料之間的變異情況； （2）在空白試驗(yàn)中作為測(cè)定土壤差異的指標(biāo)（解釋空白試驗(yàn)）； （3）在田間試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，作為確定試驗(yàn)小區(qū)面積和重復(fù)次數(shù)的依據(jù)。,平均數(shù)有沒(méi)有變異系數(shù)？ 反映樣本平均數(shù)的離散（變異）情況。 每一個(gè) 都代表總體平均數(shù)， 可是它們之間存在差異。 為什么 因?yàn)榇嬖诔闃诱`差。,有。,之間有差異？,是的無(wú)偏估計(jì)。,是一個(gè)樣本的平均數(shù)，,所以也是抽樣誤差的反映，即精確度。 因而， 又稱為精確度。 越大，精確度越低。 越小，精確度越高。,是,之間差異是抽樣誤差的反映，,之間差異的估量值，,三、樣本平均數(shù)差數(shù)的分布,總體1 1,總體2 2,三、樣本平均數(shù)差數(shù)的分布：,差數(shù)總體概率分布規(guī)律 1、差數(shù)總體平均數(shù) 即差數(shù)總體的平均數(shù)等于原來(lái)兩個(gè)總體平均數(shù)之差。 2、差數(shù)總體標(biāo)準(zhǔn)差,3、如果原來(lái)兩個(gè)總體作正態(tài)分布，則樣本平均數(shù)差數(shù) 如原兩個(gè)總體非正態(tài)分布（或分布未知）： 1）當(dāng)n1 、n2均大于30，樣本平均數(shù)差數(shù) 2）當(dāng)n1 、n2 中有一小于或等于30 時(shí),樣本平均數(shù)差數(shù)（,總體遵從正態(tài)分布；,總體遵從正態(tài)分布，即,）總體遵從t分布。,附： 不同情況下的變形形式 當(dāng)平均數(shù)來(lái)自同一個(gè)總體，有1=2=，且n1=n2=n時(shí)， 則 當(dāng)平均數(shù)來(lái)自不同總體，但是n1=n2=n時(shí)， 當(dāng)平均數(shù)來(lái)自同一個(gè)總體，有1=2=，但n1n2時(shí) 則,則,平均數(shù)抽樣分布 平均數(shù)總體平均數(shù) 平均數(shù)總體標(biāo)準(zhǔn)差 平均數(shù)總體遵從什么分布 平均數(shù)差數(shù)的分布 差數(shù)總體平均數(shù) 差數(shù)總體標(biāo)準(zhǔn)差 差數(shù)總體遵從什么分布,五、二項(xiàng)總體的抽樣分布,（一）二項(xiàng)總體的分布參數(shù) 為了說(shuō)明二項(xiàng)（0、1）總體的抽樣分布特征，以總體內(nèi)包含5個(gè)個(gè)體為例，每一個(gè)體，y=0,y=1。若總體的變量為：0，1，0，1，1，則總體平均數(shù)和方差為： =(0+1+0+1+1)/5=3/5=0.6 2=(0-0.6)2+(1-0.6)2+(0-0.6)2+(1-0.6)2 +(1-0.6)2/5=0.24 = 二項(xiàng)總體的平均數(shù)=p，方差為2 =p(1-P)=pq，標(biāo)準(zhǔn)差為=,= 0.49,（二）樣本平均數(shù)（成數(shù)）的抽樣分布 從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本平均數(shù)（成數(shù)）的分布為二項(xiàng)式分布，平均數(shù) ，方差 ，標(biāo)準(zhǔn)誤 。 （三）樣本總和數(shù)（次數(shù)）的抽樣分布 從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本總和數(shù)（次數(shù)）的分布為二項(xiàng)式分布，平均數(shù) ，方差 ，標(biāo)準(zhǔn)誤,例、棉田盲椿象為害棉株分為受害株和未受害株。假定調(diào)查2000株作為一個(gè)總體，受害株為704株。此二項(xiàng)總體中受害率p=35.2%， =0.4776,現(xiàn)從這一總體抽樣，以株為單位，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，調(diào)查200株棉株，獲得74株受害，那么，觀察受害率 ，試問(wèn)樣本平均數(shù)與總體真值的差數(shù)的概率為多少？ p=0.352,差數(shù)=0.370-0.352=0.018，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為： =0.034。由于樣本容量大于30，樣本平均數(shù)的分布可以看作正態(tài)分布，故可以計(jì)算正態(tài)離差u查出概率. 查附表3，當(dāng)u=0.53，概率值為0.59，兩尾概率為0.59，故樣本的受害率為37%有代表性。,第七節(jié) t 分 布,五、t分布 由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若yN(, 2)， 則 N(, 2/n)。 將隨機(jī)變量 標(biāo)準(zhǔn)化得： ， 則uN(0,1)。 當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)， 以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替所得到的統(tǒng)計(jì)量 記為t。在計(jì)算 時(shí)，由于采用S來(lái)代替，使得t 變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從t分布(tdistribution)。它的概率分布密度函數(shù)如下：,(4-26) 式中，t的取值范圍是（-，+）； df=n-1為自由度。 t分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為： t0 (df1)， (df2） (4-27) t分布密度曲線如圖4-13 所示，其特點(diǎn)是：,圖4-13 不同自由度的t分布密度曲線,1、t分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度曲線。 2、t分布密度曲線以縱軸為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱，且在t0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。 3、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢(shì)越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n 30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??；n 100時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。,t分布的概率分布函數(shù)為： (4-28) 因而t在區(qū)間（t1，+）取值的概率右尾概率為1-F t (df)。由于t分布左右對(duì)稱，t在區(qū)間（-，-t1）取值的概率也為1-F t (df)。 于是 t 分布 曲線 下由-到- t 1和由t 1到+ 兩 個(gè) 相 等 的 概 率 之和兩尾概率為2(1-F t (df)。對(duì)于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對(duì)應(yīng)的臨界t