外力場中自由粒子的分布·玻爾茲曼分布.ppt

2.6 外力場中自由粒子的分布 玻爾茲曼分布,按照分子混沌性假設(shè)，處于平衡態(tài)的氣體其分子數(shù)密度n處處相等，但這僅在無外力場條件下才成立。 若分子受到重力場、慣性力場等作用，氣體分子數(shù)密度將有一定的空間分布，這類分布均可看作玻爾茲曼分布的某種特例。,2.6.1 等溫大氣壓強(qiáng)公式 *懸浮微粒按高度分布,因?yàn)榇髿庵写嬖谑謴?fù)雜的流動，因而大氣壓強(qiáng)變化十分復(fù)雜。 （一）等溫大氣壓強(qiáng)公式（isothermal barometric formula 現(xiàn)假設(shè)大氣是等溫的且處于平衡態(tài)，則大氣溫度隨高度變化是怎樣的？,現(xiàn)考慮在大氣中垂直高度為z到z+dz，面積為A的一薄層氣體該系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件為,大氣溫度隨高度增加減少的關(guān)系(對流層中),dp = -(z)gdz 由理想氣體方程可得 = p Mm/RT ，代入 設(shè)大氣溫度處處相等，重力加速度g不隨高度變。 對上式積分，則有,其中p（0）及p（z）分別為高度 0 及 z 處大氣壓強(qiáng)。 把它改寫為氣體分子數(shù)密度隨高度分布公式，則,(二)等溫大氣標(biāo)高,中的kT/mg 具有高度的量綱。 定義大氣標(biāo)高H,因指數(shù)上量綱為1，故,大氣標(biāo)高的物理意義為：,（1）在高度z = H 處的大氣壓強(qiáng)為z = 0處大氣壓強(qiáng)的 1/e。 （2）設(shè)把整個大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的一層假想的均勻大氣層，則這一層大氣的厚度也是H。 （3）大氣標(biāo)高是粒子按高度分布的特征量，它反映了氣體分子熱運(yùn)動與分子受重力場作用這一對矛盾。 這一對矛盾的相互協(xié)調(diào)形成穩(wěn)定的大氣壓強(qiáng)分布。 可以想像，一旦熱運(yùn)動停止，大氣中所有分子都會像砂粒一樣落到地面 .,*2.6.2 旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布 超速離心技術(shù) 臺風(fēng)、颶風(fēng)、龍卷風(fēng),在如圖的實(shí)驗(yàn)裝置中，發(fā)現(xiàn) 豎直管中水面上升h高度。 現(xiàn)以水平管中距旋轉(zhuǎn)中心軸r 到 r+dr的一段氣體作為研究對象。 設(shè)其中氣體的密度為 ， 而管的橫截面積A.在整個管中處 處均勻。 這段氣體的質(zhì)量為 現(xiàn)分析它的受力情況， 慣性離心力 方向沿徑向向外,又 達(dá)到平衡時(shí)應(yīng)有 因 故 積分后可得,(二)超速離心技術(shù)與同位素分離,該式可用于分離大分子、病毒、DNA及其它微粒，也可用于測量微粒的質(zhì)量。 超速離心機(jī)轉(zhuǎn)速可在25r/s到數(shù)萬r/s之間改變，從而使懸浮在液體中的微?；虼蠓肿铀艿降膽T性離心力可遠(yuǎn)大于重力。 在十分大的慣性離心力作用下，不同質(zhì)量粒子組成的混合物將在徑向被很明顯地分離開。 例如，若旋轉(zhuǎn)半徑為6cm，轉(zhuǎn)速為103r/s，則慣性離心力加速度可達(dá)6000g。 正因?yàn)樵诔匐x心力作用下分離效果較明顯，因而這種方法也被廣泛地應(yīng)用于同位素分離，獲得濃縮鈾,而逐漸替代瀉流法分離同位素.,（三）臺風(fēng)、颶風(fēng)、龍卷風(fēng),臺風(fēng)（熱帶風(fēng)暴）是指：在處于熱帶的北太平洋西部洋面上局部積聚的濕熱空氣大規(guī)模上升至高空過程中，周圍低層空氣乘勢向中心流動，在此過程中將出現(xiàn)沿地球徑向運(yùn)動的速度分量。 在科里奧利力的作用下形成空氣旋渦，.這就稱為臺風(fēng)或熱帶風(fēng)暴。 氣流旋轉(zhuǎn)使臺風(fēng)中心（稱為臺風(fēng)眼）氣壓很低，低氣壓使云層裂開變薄，有時(shí)可見到日月星光。慣性離心力將云層推向四周，形成高聳的壁，狂風(fēng)、暴雨均發(fā)生在臺風(fēng)眼之外。臺風(fēng)的直徑一般為幾百公里，最大可達(dá)1000 km。 在東太平洋和大西洋形成的“熱帶風(fēng)暴”被稱為颶風(fēng)。,龍卷風(fēng)也是一種猛烈的氣旋。但龍卷風(fēng)直徑僅幾米到幾百米，它生消迅速。由于氣流的旋轉(zhuǎn)性很強(qiáng)，中心氣壓很低，常將地面的水、塵土、泥沙夾卷而上，可拔樹、掀屋面，故破壞力強(qiáng),2.6.3 玻爾茲曼分布（Bortzmann distribution）,（1）回轉(zhuǎn)氣體中粒子數(shù)密度沿徑向的分布 (2)等溫大氣重力場中分布公式 (1)式與(2)式十分類同,所不同的僅是將 (-mv2r2/2kT)代替了重力勢能mgz。,注意到回轉(zhuǎn)體在作宏觀運(yùn)動。前面已指出， 力學(xué)注意物體的外部表現(xiàn)（機(jī)械運(yùn)動），而熱學(xué)注意其內(nèi)部運(yùn)動（熱運(yùn)動）。 故熱學(xué)不考慮整體的宏觀運(yùn)動，若有宏觀運(yùn)動，其坐標(biāo)系應(yīng)取在運(yùn)動系統(tǒng)上 . 注意到 m2r 就是坐標(biāo)系取在回轉(zhuǎn)體上的慣性離心力，它是一種保守力， 而保守力所作負(fù)功等于勢能的增加 設(shè)在r=0處的勢能為Ep（0）=0，則在r=r處的勢能,指數(shù)上是粒子的慣性離心力勢能與kT之比的負(fù)值 接下來看麥克斯韋速度分布 其指數(shù)上是粒子動能與kT比的負(fù)值。 這三種分布都是按粒子能量的分布，它們都有一個稱為“玻爾茲曼因子”的因子 ，因而,這兩種不同狀態(tài)可分別為：在重力勢能的兩種不同狀態(tài)；在分子動能的兩種不同狀態(tài)； 在粒子慣性離心力勢能的兩種不同狀態(tài)上。 從這三種分布，可歸納出這一規(guī)律， 這些分布中都有 ，稱為玻爾茲曼因子。 具有玻爾茲曼因子的分布，稱為玻爾茲曼分布（Bortzmann distribution） 在溫度為T 的系統(tǒng)中，處于粒子能量為1 的某一狀態(tài)的粒子數(shù)密度為n1 , 處于粒子能量為 2 的另一狀態(tài)上的粒子數(shù)密度為n2 。,玻爾茲曼分布可表示為,因?yàn)橥荒芰恳话憧捎卸鄠€不同粒子狀態(tài)。 例如，那些處于速度空間中以原點(diǎn)為中心、 v為半徑的球面上的理想氣體分子，它們的能量均相同，但速度方向不同，粒子狀態(tài)也各不相同。 玻爾茲曼分布表示：粒子處于能量相同狀態(tài)上的概率是相同的；粒子處于能量不同狀態(tài)的概率是不同的，粒子處于能量高狀態(tài)上的概率反而小. 玻爾茲曼分布是玻爾茲曼于1868年在推廣麥克斯韋速度分布時(shí)建立的平衡態(tài)能量分布律.,玻爾茲曼分布是一種普遍的規(guī)律。 對于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布， 只要粒子之間相互作用很小而可忽略.,由玻爾茲曼分布表示溫度,應(yīng)該強(qiáng)調(diào):玻爾茲曼分布能為我們提供用來表示溫度的另一表達(dá)式 它表示處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無相互作用）粒子的兩個不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與粒子的能量之差之間的比值有確定的關(guān)系。 我們可利用這一關(guān)系來確定系統(tǒng)的溫度。,第一章中己講到關(guān)于溫度的另一微觀定義， 說明溫度是微觀粒子熱運(yùn)動平均能量大小的度量。 對于粒子只能取兩個能級的系統(tǒng)，設(shè)在這兩能級上的粒子數(shù)密度分別為n1及n2，若在1 2 情況下有n1n2關(guān)系，則T0.,負(fù)溫度,但若在1 2 情況下，n1n2（這稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn)），這時(shí)T0，我們就稱該粒子系統(tǒng)處于負(fù)溫度（negative temperature）狀態(tài)。 負(fù)溫度僅存在于由兩個能級所單獨(dú)組成的子系中；且僅出現(xiàn)在短暫的時(shí)間中。 產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的負(fù)溫度狀態(tài)。 正溫度 無窮大溫度 負(fù)溫度,兩能級系統(tǒng)的負(fù)溫度,下面就以兩能級系統(tǒng)為