數(shù)學(xué)建模作業(yè)90分

1. 解：根據(jù)地理常識，某地的白晝時間是以一年為周期變化的，以日期在一年中的序號為自變量x，以白晝時間為因變量y,則根據(jù)表1.17的數(shù)據(jù)可知在一年（一個周期）內(nèi)，隨著x的增加，y先增后減，y大約在6月21日（夏至）達到最大值，在12月21日（冬至）達到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）達到中間值。選擇正弦函數(shù)y=Asin(x1.3712)+12.385預(yù)測該地12月21日的白晝時間為5.49小時2解：“兩秒準則”表明前后車距D與車速成正比例關(guān)系D=K2,其中K2=2s , 對于小型汽車，“一車長度準則”與“兩秒準則”不一致。由dD=2（K21）可以計算得到當（K21）/2=54.428/h時有dD，“兩秒準則”足夠安全，或者吧剎車距離實測數(shù)據(jù)和“兩秒準則”都畫在同一幅圖中，根據(jù)圖形指出“兩秒準則”足夠安全的車速范圍。 用最大剎車距離除以車速，得到最大剎車距離所需要的尾隨時間，并以尾隨時間為根據(jù)，提出更安全的準則，如“3秒準則”、“4秒準則”或“t秒準則”（如下圖）。 t秒準則，剎車距離的模型和數(shù)據(jù) 3、解：（1）考慮每天投入的資金c發(fā)生的相對為c/c,則生豬飼養(yǎng)的天數(shù)t發(fā)生的相對變化t/t是c/c的多少倍，即定義t對c的靈敏度為S（t,c）= 因為c0，所以重新定義t對c的靈敏度為S（t,c）= 由課本上可知t= 所以t=-,所以t是c的減函數(shù)為了使t0，c應(yīng)滿足rp(0)-g(0)-c0結(jié)合可得S（t,c）= = = 2這個結(jié)果表示的意思是如果農(nóng)場每天投入的資金c增加1%，出售時間就應(yīng)該提前2% 。（2）同（1）理總收益Q對每天投入資金c的靈敏度為S（Q,c）= Qmax= 結(jié)合得Qmax= = =4這結(jié)果表示的意思是如果每天投入的資金c增加1%，那么最大利潤就會減少4%4、解記第k年山貓 xk,設(shè)自然壞境下的年平均增長率為r，則列式得xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2其解為等比數(shù)列xk=x0(1+r)k, k=0,1,2當分別取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450時，山貓的數(shù)量在25年內(nèi)不同的環(huán)境下的數(shù)量演變?yōu)?年 較好 中等 較差 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 33 25 152 115 32從上可以得出結(jié)論：（1） 在較好的自然環(huán)境下即r=0.0168時，xk單調(diào)增趨于無窮大，山貓的數(shù)量將無限增長；（2） 在中等的自然環(huán)境下即r=0.0055時，xk單調(diào)增并且趨于穩(wěn)定值；（3） 在較差的環(huán)境中即r=-0.0450時，xk單調(diào)衰減趨于0，山貓將瀕臨滅絕。若每年捕獲3只,b=3，則列式為Xk+1=(1+r)xkb則山貓在25年內(nèi)的演變?yōu)槟?較好 中等 較差 0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -1125 59 35 -14由圖上可知，無論在什么環(huán)境下，如果每年捕獲山貓3只，單調(diào)減趨于0，那么最終山貓的數(shù)量都會滅絕，在較差的環(huán)境中第20年就會滅絕。同理，如果每年人工捕獲山貓1只，那么山貓在不同環(huán)境中的演變?yōu)槟?較好 中等 較差 0 100 100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106 96 62 9 107 96 59 10 107 95 55 11 108 95 51 12 109 94 48 13 110 94 45 14 111 93 42 15 111 93 39 16 112 92 36 17 113 92 34 18 114 92 31 19 115 91 29 20 116 91 26 21 117 90 24 22 118 90 22 23 119 89 20 24 120 88 18 25 121 88 16如果每年人工捕獲山貓一只，在較好的環(huán)境下山貓的數(shù)量仍然會一直增加，在中等的環(huán)境下，山貓的數(shù)量趨于穩(wěn)定，但會慢慢減少，在較差的環(huán)境下，山貓的數(shù)量一直在減少，很快就會滅絕。若要使山貓的數(shù)量穩(wěn)定在60只左右，設(shè)每年需要人工繁殖b只，到第k年山貓的數(shù)量為xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2 這時 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代入上式得b3 5解：記存款的年利息為r ,由于一開始存入銀行的本金為x0,第k 年存入銀行的錢為Xk,并且每年取出當獎金的錢為b,則它們之間存在的關(guān)系有：每年利息=本年存入款項 年利息每年取出款項=上一年存入款項+每年利息每年存入款項=每年取出款項- 獎金列式得：由上式解得由實際情況，已知x0 =20(萬元)，r在近10多年的變化幅度在2%4%之間，我們?nèi)?個值，分別為2%，3%，4%，（1） 當年利率為2%時，每年存入款項隨獎金數(shù)變化如下 年數(shù)獎金數(shù)額 2千元 4千元 6千元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4040 20.0000 19.5960 3.0000 20.6121 20.0000 19.3879 4.0000 20.8243 20.0000 19.1757 5.0000 21.0408 20.0000 18.9592 6.0000 21.2616 20.0000 18.7384 7.0000 21.4869 20.0000 18.5131 8.0000 21.7166 20.0000 18.2834 9.0000 21.9509 20.0000 18.0491 10.0000 22.1899 20.0000 17.8101 11.0000 22.4337 20.0000 17.5663 12.0000 22.6824 20.0000 17.3176 13.0000 22.9361 20.0000 17.0639 14.0000 23.1948 20.0000 16.8052 15.0000 23.4587 20.0000 16.5413 16.0000 23.7279 20.0000 16.2721 17.0000 24.0024 20.0000 15.9976 18.0000 24.2825 20.0000 15.7175 19.0000 24.5681 20.0000 15.4319 20.0000 24.8595 20.0000 15.1405 21.0000 25.1567 20.0000 14.8433 22.0000 25.4598 20.0000 14.5402 23.0000 25.7690 20.0000 14.2310 24.0000 26.0844 20.0000 13.9156 25.0000 26.4061 20.0000 13.5939 26.0000 26.7342 20.0000 13.2658 27.0000 27.0689 20.0000 12.9311 28.0000 27.4102 20.0000 12.5898 29.0000 27.7584 20.0000 12.2416 30.0000 28.1136 20.0000 11.8864當年利率為2%，學(xué)金定為4千元時，因為， 經(jīng)驗算得知，因此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定.當年利率為2%，獎學(xué)金的數(shù)額大于4 千元時，單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?同理，當獎學(xué)金的數(shù)額小于4 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長.（2） 當年利率為3%時，每年存入款項隨獎金數(shù)變化如下年數(shù)獎金數(shù)額 4千元 6千元 8千元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4060 20.0000 19.5940 3.0000 20.6182 20.0000 19.3818 4.0000 20.8367 20.0000 19.1633 5.0000 21.0618 20.0000 18.9382 6.0000 21.2937 20.0000 18.7063 7.0000 21.5325 20.0000 18.4675 8.0000 21.7785 20.0000 18.2215 9.0000 22.0318 20.0000 17.9682 10.0000 22.2928 20.0000 17.7072 11.0000 22.5616 20.0000 17.4384 12.0000 22.8384 20.0000 17.1616 13.0000 23.1236 20.0000 16.8764 14.0000 23.4173 20.0000 16.5827 15.0000 23.7198 20.0000 16.2802 16.0000 24.0314 20.0000 15.9686 17.0000 24.3523 20.0000 15.6477 18.0000 24.6829 20.0000 15.3171 19.0000 25.0234 20.0000 14.9766 20.0000 25.3741 20.0000 14.6259 21.0000 25.7353 20.0000 14.2647 22.0000 26.1074 20.0000 13.8926 23.0000 26.4906 20.0000 13.5094 24.0000 26.8853 20.0000 13.1147 25.0000 27.2919 20.0000 12.7081 26.0000 27.7106 20.0000 12.2894 27.0000 28.1419 20.0000 11.8581 28.0000 28.5862 20.0000 11.4138 29.0000 29.0438 20.0000 10.9562 30.0000 29.5151 20.0000 10.4849年利率為3%，學(xué)金定為6千元時，因為， 經(jīng)驗算得知，因此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定. 當年利率為3%，獎學(xué)金的數(shù)額大于6 千元時，單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?同理，當獎學(xué)金的數(shù)額小于6 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長.（3） 當年利率為4%時，每年存入款項隨獎金數(shù)變化如下年數(shù)獎金數(shù)額 6千元 8千元 1萬元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4080 20.0000 19.5920 3.0000 20.6243 20.0000 19.3757 4.0000 20.8493 20.0000 19.1507 5.0000 21.0833 20.0000 18.9167 6.0000 21.3266 20.0000 18.6734 7.0000 21.5797 20.0000 18.4203 8.0000 21.8428 20.0000 18.1572 9.0000 22.1166 20.0000 17.8834 10.0000 22.4012 20.0000 17.5988 11.0000 22.6973 20.0000 17.3027 12.0000 23.0052 20.0000 16.9948 13.0000 23.3254 20.0000 16.6746 14.0000 23.6584 20.0000 16.3416 15.0000 24.0047 20.0000 15.9953 16.0000 24.3649 20.0000 15.6351 17.0000 24.7395 20.0000 15.2605 18.0000 25.1291 20.0000 14.8709 19.0000 25.5342 20.0000 14.4658 20.0000 25.9556 20.0000 14.0444 21.0000 26.3938 20.0000 13.6062 22.0000 26.8496 20.0000 13.1504 23.0000 27.3236 20.0000 12.6764 24.0000 27.8165 20.0000 12.1835 25.0000 28.3292 20.0000 11.6708 26.0000 28.8623 20.0000 11.1377 27.0000 29.4168 20.0000 10.5832 28.0000 29.9935 20.0000 10.0065 29.0000 30.5933 20.0000 9.4067 30.0000 31.2170 20.0000 8.7830年利率為4%，學(xué)金定為8千元時，因為， 經(jīng)驗算得知，因此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定. 當年利率為4%，獎學(xué)金的數(shù)額大于8 千元時，單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?同理，當獎學(xué)金的數(shù)額小于8 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長.6、解：記養(yǎng)老金第k月末的銀行賬戶余額為xk元，則列式為xk+1=(1+r)xkb根據(jù)一階線性常系數(shù)非齊次差分方程得xk=（x0+）(1+r)k k=0,1,2,3由題目可知x0=100000，b=1000元，r=0.003,所以賬戶余額的變化如下月份 余額 0 10.0000 1.0000 9.9300 2.0000 9.8598 3.0000 9.7894 4.0000 9.7187 5.0000 9.6479 6.0000 9.5768 7.0000 9.5056 8.0000 9.4341 9.0000 9.3624 10.0000 9.2905 11.0000 9.2183 12.0000 9.1460 13.0000 9.0734 14.0000 9.0007 15.0000 8.9277 16.0000 8.8544 17.0000 8.7810 18.0000 8.7074 19.0000 8.6335 20.0000 8.5594 21.0000 8.4851 22.0000 8.4105 23.0000 8.3357 24.0000 8.2607 25.0000 8.1855 26.0000 8.1101 27.0000 8.0344 28.0000 7.9585 29.0000 7.8824 30.0000 7.8060 31.0000 7.7295 32.0000 7.6526 33.0000 7.5756 34.0000 7.4983 35.0000 7.4208 36.0000 7.3431 37.0000 7.2651 38.0000 7.1869 39.0000 7.1085 40.0000 7.0298 41.0000 6.9509 42.0000 6.8717 43.0000 6.7924 44.0000 6.7127 45.0000 6.6329 46.0000 6.5528 47.0000 6.4724 48.0000 6.3918 49.0000 6.3110 50.0000 6.2300 51.0000 6.1486 52.0000 6.0671 53.0000 5.9853 54.0000 5.9032 55.0000 5.8210 56.0000 5.7384 57.0000 5.6556 58.0000 5.5726 59.0000 5.4893 60.0000 5.4058 61.0000 5.3220 62.0000 5.2380 63.0000 5.1537 64.0000 5.0691 65.0000 4.9844 66.0000 4.8993 67.0000 4.8140 68.0000 4.7284 69.0000 4.6426 70.0000 4.5566 71.0000 4.4702 72.0000 4.3836 73.0000 4.2968 74.0000 4.2097 75.0000 4.1223 76.0000 4.0347 77.0000 3.9468 78.0000 3.8586 79.0000 3.7702 80.0000 3.6815 81.0000 3.5926 82.0000 3.5033 83.0000 3.4138 84.0000 3.3241 85.0000 3.2341 86.0000 3.1438 87.0000 3.0532 88.0000 2.9623 89.0000 2.8712 90.0000 2.7798 91.0000 2.6882 92.0000 2.5963 93.0000 2.5040 94.0000 2.4116 95.0000 2.3188 96.0000 2.2257 97.0000 2.1324 98.0000 2.0388 99.0000 1.9449 100.0000 1.8508 101.0000 1.7563 102.0000 1.6616 103.0000 1.5666 104.0000 1.4713 105.0000 1.3757 106.0000 1.2798 107.0000 1.1837 108.0000 1.0872 109.0000 0.9905 110.0000 0.8934 111.0000 0.7961 112.0000 0.6985 113.0000 0.6006 114.0000 0.5024 115.0000 0.4039 116.0000 0.3051 117.0000 0.2060 118.0000 0.1067 119.0000 0.0070 120.0000 -0.0930 121.0000 -0.1933 122.0000 -0.2939 123.0000 -0.394