D115對坐標曲面積分(10).ppt

,第五節(jié),一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),三、對坐標的曲面積分的計算法,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,對坐標的曲面積分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),(單側(cè)曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè) 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè), 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定,指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xOy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì),1. 引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為,求單位時間流過有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面積為S 的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的,速度場,進行分析可得, 則,設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個,意分割和在局部面元上任意取點,分,記作,P, Q, R 叫做被積函數(shù);, 叫做積分曲面.,或第二類曲面積分.,下列極限都存在,向量場,若對 的任,2. 定義：,引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為,稱為Q 在有向曲面 上對 z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面 上對 x, y 的曲面積分.,稱為P 在有向曲面 上對 y, z 的曲面積分;,若記 正側(cè)的單位法向量為,令,則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式,3. 性質(zhì),(1) 若,之間無公共內(nèi)點, 則,(2) 用 表示 的反向曲面, 則,三、對坐標的曲面積分的計算法,定理: 設(shè)光滑曲面,取上側(cè),是 上的連續(xù)函數(shù), 則,證:, 取上側(cè), 若,則有, 若,則有,(前正后負),(右正左負),說明:,如果積分曲面 取下側(cè), 則,例1. 計算,其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方,體的整個表面的外側(cè).,解:,利用對稱性.,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),解: 把 分為上下兩部分,思考: 下述解法是否正確:,例2. 計算曲面積分,其中 為球面,外側(cè)在第一和第八卦限部分.,例3. 設(shè)S 是球面,的外側(cè) , 計算,解: 利用輪換對稱性, 有,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,令,向量形式,例4. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為,解:,例5. 設(shè),是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計算,解:,例6. 計算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè)., 原式 =,原式 =,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與,2. 常用計算公式及方法,面積分,第一類 (對面積),第二類 (對坐標),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,當,時，,（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”),類似可考慮在 yOz 面及 zOx 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .,思考與練習,1. P227 題2,提示: 設(shè),則, 取上側(cè)時, 取下側(cè)時,2. P244 題 1,3. P227 題3(3),是平面,在第四卦限部分的上側(cè) , 計算,提示:,求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分,P227