高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法探討.docVIP

江西師范大學(xué)09屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法探討 萬依依探覓曲線的軌跡方程是解析幾何的一個(gè)基本問題, 這方面的試題能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想, 從而成為歷屆高考命題的熱點(diǎn)之一.解析幾何的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一。從近幾年的高考來看,圓錐曲線簡(jiǎn)答題也基本上考查了圓錐曲線方程的求法,求曲線的軌跡方程的方法很多, 概括地講, 其解題方法主要有: 直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、點(diǎn)差法、向量法、幾何法、參數(shù)法等七種方法。1、 直接法直接法也叫直譯法,若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系, 或這些幾何條件簡(jiǎn)單明確且易于表達(dá), 則只需直接把種關(guān)系“ 翻譯” 成動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo): 的關(guān)系式, 經(jīng)化簡(jiǎn)所得等式即為所求的軌跡方程.例1 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到的距離等于它到 的距離的 倍, 求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解: 設(shè)為所求軌跡上的任一點(diǎn), 則有 化簡(jiǎn)整理得: 即為所求軌跡方程。例2 與圓外切與點(diǎn)，且半徑為的圓的方程。解: 設(shè)所求圓心為，則, 因?yàn)閳A的半徑為，所以所求圓的方程為2、 定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等), 可用定義探求解題的切人點(diǎn).應(yīng)注意定義中的“ 和”與“差”與兩定點(diǎn)之間的距離的大小比較, 這也是判定軌跡的前提條件.例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)求橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為， 橢圓經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)適合橢圓方程，從而有解得所求橢圓方程為例4 若拋物線的焦點(diǎn)為, 準(zhǔn)線為 , 求拋物線的方程.解: 設(shè)為拋物線上任一點(diǎn), 焦點(diǎn)為,則由拋物線的定義, 有 , 即 化簡(jiǎn)可得 3、 轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法也叫相關(guān)點(diǎn)法. 當(dāng)題設(shè)中給出了動(dòng)點(diǎn)和已知曲線的關(guān)系時(shí), 可根據(jù)這種關(guān)系將已知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來, 并代人已知曲線的方程, 消去參數(shù), 即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例5 設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，以為兩邊作平行四邊形,求點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為。因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，故 則有，則。又點(diǎn)在圓上，故，但應(yīng)出去兩點(diǎn)例6 圓與圓的半徑都是,過動(dòng)點(diǎn)分別作圓，圓的切線（分別為切點(diǎn)），使得.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：如圖所示，已直線為軸，線段為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意得同理可得 即所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓。4、 點(diǎn)差法若軌跡問題中涉及到中點(diǎn)弦問題,就可考慮點(diǎn)差法.只要通過代點(diǎn)作差, 并以中點(diǎn)弦的斜率為橋梁, 即可獲得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例7 已知橢圓方程為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)。當(dāng)時(shí)，在橢圓上， -整理得 又直線過點(diǎn)，得而當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，此時(shí)直線平行于軸。中點(diǎn)必在軸上，即顯然滿足方程，綜上，點(diǎn)的軌跡方程為。例8 過點(diǎn)作拋物線的弦，若弦恰好被點(diǎn)平分，求弦所在直線的方程。解：設(shè)以點(diǎn)為中心的弦的短點(diǎn)坐標(biāo)為則有 ， ， ， ， .將帶入（-）得 ，弦所在直線的方程為即。五、向量法利用題設(shè)條件中的某些向量之間的關(guān)系,特別是垂直與共線的某些關(guān)系, 使之與動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)發(fā)生聯(lián)系, 從而求出其關(guān)系式.例9 如圖所示，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線上不同于原點(diǎn)的相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且且(),試求點(diǎn)的軌跡方程。 解：（)，三點(diǎn)共線，又即是在上的射影。在以為直徑的圓上，圓心為，的軌跡方程為，即例10 如圖所示，軸的定點(diǎn)，是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，并且（為原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程。 解： 是的中點(diǎn)，且即是的垂直平分線， , 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，又且,點(diǎn)的軌跡方程為 6、 幾何法通過充分挖掘動(dòng)點(diǎn)的軌跡所包含的“平幾”關(guān)系, 以這些關(guān)系為橋梁, 建立動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例11 如圖所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，且存在常數(shù)使得，證明動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求的方程。 解：在中，,則 4=即（常數(shù)），故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，方程為例12 設(shè)橢圓方程為拋物線方程為如圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程。 解：由得當(dāng)時(shí)得 點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)的切線方程為即令得點(diǎn)的坐標(biāo)為由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即即橢圓和拋物線的方程分別為.七、參數(shù)法當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量，并用 表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡的普通方程，這種方法稱為參數(shù)法；但要注意方程的等價(jià)性，即由的范圍確定出的范圍例13 已知橢圓直線：是上一點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，又點(diǎn)在上且滿足當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是說明曲線。 解：由題意可知點(diǎn)不在原點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)分別為其中 不同時(shí)為。設(shè)與軸正方向的夾角為，則有 點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓上，得 兩邊同時(shí)乘以得 整理得點(diǎn)的軌跡方程為（其中不同時(shí)為0）。 點(diǎn)的軌跡是以為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與軸平行， 去掉坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓。作為高考?jí)狠S題的圓錐曲線, 其解答過程計(jì)算量較大, 對(duì)運(yùn)算能力要求也較高, 是同學(xué)們較怕、也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方, 因此, 尋求簡(jiǎn)捷、合理的運(yùn)算途徑尤為重要。上述七種探求軌跡方程的方法并不是孤立的,解決同一個(gè)問題往往需要幾種方法并用或同一個(gè)問題有幾種不同的解法。方法的選取應(yīng)視題目的結(jié)構(gòu)特征, 具體問題具體對(duì)待, 只有這樣才能做到“ 心有靈犀一點(diǎn)通” , 找到最優(yōu)解法, 提高解題速度。參考文獻(xiàn)：1李盤喜.高中數(shù)學(xué)解題題典M.東北:東北師范大學(xué)出版社，2012.2呂佐良.探求軌跡方程十法J.試題與研究，2008.3蔣明權(quán).探覓曲線的軌跡方程的十一種求法J.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2008.4黃榮清.淺談高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法J.基礎(chǔ)教育論壇，2012.5游建平.求軌跡方程的常用技巧J.中學(xué)生時(shí)代，2007.6王迎春.突破高考中圓錐曲線壓軸題錦囊妙計(jì)J.高中數(shù)理化，2010.7劉和玲.圓錐曲線高考題型分析J.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012.8徐玉明.淺述解析幾何中軌跡方程的求解J.成才之路，2007.9祝仰河.利用相關(guān)點(diǎn)法例求圓錐曲線特殊點(diǎn)的軌跡方程J.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究, 2011.10Seethe M P L Farina A. A Modified M/N Logic for Track Initiation of Low Targets Using Amplitude informationJ.RadarSymposium,2006.TRS International.2006 意見：1. 每個(gè)自然段的開頭要退兩個(gè)漢字，排版應(yīng)按論文的格式要求進(jìn)行排版；2. 論文要有一定的嚴(yán)謹(jǐn)性。比如某某