定義44設(shè)若有F上一組不全為零的數(shù)使得則稱向量組線性相.ppt_第1頁
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文檔簡介

定義4.4 設(shè) 若有F上一組不 全為零的數(shù) 使得 則稱向量組 線性相關(guān).,4.3 向量組的線性相關(guān)性,定義4.5 一個向量組如果不線性相關(guān),就稱之為線性無關(guān).,則稱 線性無關(guān).,定義4.5 設(shè) 是一個n維向量組,如果 對于數(shù) 只要 就必有 那么就稱向量組 線性無關(guān).,換言之,如果不存在一組不全為 零的數(shù) 使得,定義4.5又可以等價地定義如下：,例4.2 n維單位向量 線性無關(guān).,證明 若,則有,從而,即,例4.3(第131頁）,證明 齊次線性方程組(1)相當(dāng)于向量等式,(2),若 線性無關(guān),故只有 滿足方程組(1).,反之,若(1)只有零解,則僅當(dāng) 時(2)式才成立.,故 線性無關(guān).,推論 設(shè) 同以上定理. 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)(1)有非零解. 若(1)的 非零解為 ,則,定理4.4 設(shè) 是n個n維向量.當(dāng)行列式,時,向量組 線性無關(guān).,例 討論以下向量組的線性相關(guān)性.,= (5, 2, 9), = (2, -1, -1), = (7, 1, 8).,1) = (1, 1, 1), = (1, 2, 1), = (1, 0, 0);,解 1)因為行列式,所以 線性無關(guān).,有非零解,2)因為以 為系數(shù)列向量的齊次線性方程組,例如,對于 中的向量 =(2, -1, 3, 1), =(4, -2, 5, 4) , =(2, -1, 4, -1),因為,所以 是 的一個線性組合.,定義4.6 向量 稱為向量組 的一個線性組合,如果存在m個數(shù) ,使得 其中 稱為組合系數(shù).此時也稱,線性表示.,又如 ，任一n維向量,向量 稱為n維單位向量.,組合系數(shù)恰為 的各個分量，即,的線性組合，,定義4.7:,設(shè) 和 是向量空間中的兩個向量組. 如果每一個 都可以由 線性表示,而每一 也可以由 線性表示, 那么就說這兩個向量組等價.,向量組之間的等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性.,定理4.5 向量組 (m2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可由其余向量線性表示.,證明 必要性:若向量組 線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù) ,使得,因為 不全為零,所以其中至少有 一個不為零.不妨設(shè),則,即 是其余向量的線性組合.,充分性:若向量組 中至少有一個向 量是其余向量的線性組合,不妨設(shè),移項,得,因為上式中 的系數(shù)-10,所以-1, 不全為零,故

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