高等數(shù)學(xué)課件D51定積分概念與性質(zhì).ppt

第五章,定積分,積分學(xué),不定積分,定積分,第一節(jié),一、定積分問題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的近似計(jì)算,定積分的概念及性質(zhì),第五章,四、 定積分的性質(zhì),一、定積分問題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,矩形面積,梯形面積,解決步驟 :,1) 大化小.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 常代變.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,矩形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,3) 近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,2. 變速直線運(yùn)動的路程,設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且,求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.,解決步驟:,1) 大化小.,將它分成,在每個(gè)小段上物體經(jīng),2) 常代變.,得,已知速度,n 個(gè)小段,過的路程為,3) 近似和.,4) 取極限 .,上述兩個(gè)問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ”,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限,二、定積分定義 (P225 ),任一種分法,任取,總趨于確定的極限 I ,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分,變量用什么字母表示無關(guān) ,即,定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,各部分面積的代數(shù)和,可積的充分條件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),(證明略),例1. 利用定義計(jì)算定積分,解:,將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為,注,注. 當(dāng)n 較大時(shí), 此值可作為 的近似值,注 利用,得,兩端分別相加, 得,即,例2. 用定積分表示下列極限:,解:,三、定積分的近似計(jì)算,根據(jù)定積分定義,可得如下近似計(jì)算方法:,將 a , b 分成 n 等份:,1. 左矩形公式,例1,2. 右矩形公式,推導(dǎo),3. 梯形公式,4. 拋物線法公式,拋物線法公式的推導(dǎo),上作拋物線(如圖),則以拋物線為頂?shù)男∏吿菪?面積經(jīng)推導(dǎo)可得：,例3. 用梯形公式和拋物線法公式,解:計(jì)算yi(見右表),的近似值.,(取 n = 10, 計(jì)算時(shí)取5位小數(shù)),用梯形公式得,用拋物線法公式得,積分準(zhǔn)確值為,計(jì)算定積分,四、定積分的性質(zhì),(設(shè)所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),證:,= 右端,證: 當(dāng),時(shí),因,在,上可積 ,所以在分割區(qū)間時(shí), 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) ,于是,當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時(shí), 例如,則有,6. 若在 a , b 上,則,證:,推論1. 若在 a , b 上,則,ab,例4. 試證:,證: 設(shè),即,故,即,推論2.,證:,即,7. 設(shè),則,8. 積分中值定理,則至少存在一點(diǎn),使,證:,則由性質(zhì)7 可得,根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使,因此定理成立.,說明:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對,因,例5.,計(jì)算從 0 秒到 T 秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均,速度.,解: 已知自由落體速度為,故所求平均速度,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,矩形公式,梯形公式,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,近似計(jì)算,拋物線法公式,思考與練