高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第92二重積分的計(jì)算.pptVIP

,*三、二重積分的換元法,第二節(jié),一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二重積分的計(jì)算法,第九章,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為 X 型區(qū)域,則,若D為Y 型區(qū)域,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,當(dāng)被積函數(shù),均非負(fù),在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .,由于,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 ,為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.,則有,(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干,X-型域或Y-型域 ,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 計(jì)算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域.,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 為計(jì)算簡便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :,先對(duì) x 積分不行,說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 交換下列積分順序,解: 積分域由兩部分組成:,視為Y型區(qū)域 , 則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算,其中D 由,所圍成.,解: 令,(如圖所示),顯然,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對(duì)應(yīng)有,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù),則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積,在,內(nèi)取點(diǎn),及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),則,特別, 對(duì),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若 f 1 則可求得D 的面積,思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試,答:,問 的變化范圍是什么?,(1),(2),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 計(jì)算,其中,解: 在極坐標(biāo)系下,原式,的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角,由于,故,坐標(biāo)計(jì)算.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注:,利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上,非常有用的反常積分公式,事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),利用例6的結(jié)果, 得,故式成立 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7. 求球體,被圓柱面,所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.,解: 設(shè),由對(duì)稱性可知,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定積分換元法,*三、二重積分換元法,滿足,一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);,雅可比行列式,(3) 變換,則,定理:,變換:,是一一對(duì)應(yīng)的 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆.,用平行于坐標(biāo)軸的,直線分割區(qū)域,任取其中一個(gè)小矩,形, 其頂點(diǎn)為,通過變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊,形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,同理得,當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四,邊形,故其面積近似為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此面積元素的關(guān)系為,從而得二重積分的換元公式:,例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例8. 計(jì)算,其中D 是 x 軸 y 軸和直線,所圍成的閉域.,解: 令,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例9. 計(jì)算由,所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .,解: 令,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例10. 試計(jì)算橢球體,解:,由對(duì)稱性,令,則D 的原象為,的體積V.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),(1) 二重積分化為累次積分的方法,直角坐標(biāo)系情形 :,若積分區(qū)域?yàn)?則,若積分區(qū)域?yàn)?則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,(2) 一般換元公式,且,則,極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)?在變換,下,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng), 畫出積分域, 選擇坐標(biāo)系, 確定積分序, 寫出積分限, 計(jì)算要簡便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,( 先積一條線, 后掃積分域 ),充分利用對(duì)稱性,應(yīng)用換元公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 設(shè),且,求,提示:,交換積分順序后, x , y互換,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 交換積分順序,提示: 積分域如圖,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2),第三節(jié)