7.3 等差、等比數列的應用(1)

七彩教育網 本資料來源于七彩教育網7.3 等差、等比數列的應用(1)【知識網絡】 1、等差、等比數列的性質及應用；2、等差、等比數列的通項及前n項和公式的應用； 3、由遞推數列求通項及前n項的和。【典型例題】例1：（1）已知等差數列an的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則S200 （ ）A100 B. 101 C.200 D.201答案:A。解析：依題意，a1a2001，。 （2）某數列既成等差數列也成等比數列，那么該數列一定是 （ ）A公差不為0的等差數列 B公比為1的等比數列 C常數數列 D以上都不對答案：B。解析：既成等差也成等比數列，那么這個數列一定為通項不為0的常數列。（3）已知數列an的通項公式anlog2，設其前n項和為Sn，則使Sn5成立的正整數n （ ）A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31答案：A。解析：。 （4）在數列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數列的通項an=_.答案: 。解析：，即 （5）等差數列an中a1=70,公差為9，則這個數列中絕對值最小的一項是第 項。答案：9。解析：，即絕對值最小的項是第9項。例2：設an為等差數列，bn為等比數列，且a1=b1=1，a3+a5=b4，b2b3=a8分別求出an及bn的前10項的和S10及T10答案：解：設an的公差為d，bn的公比為q，則：解得例3： 設數列的前項的和， 求首項與通項。解析：（I），解得：所以數列是公比為4的等比數列所以：得： （其中n為正整數）例4：已知函數f(x)定義在區(qū)間（1，1）上，f()1，且當x，y(1，1)時，恒有f(x)f(y)f()，又數列an滿足a1，an+1，設bn證明：f(x)在（1，1）上為奇函數；求f(an)的表達式；是否存在正整數m，使得對任意nN，都有bn4又mN，存在m5，使得對任意nN，有 【課內練習】1若a、b、c成等差數列，b、c、d成等比數列，成等差數列，則a、c、e成（ ）A等差數列 B等比數列 C既成等差數列又成等比數列 D以上答案都不是答案：B。解析：由，由，由，即成等比數列。2在各項都為正數的等比數列中，若則 （ ） A. 12 B. 10 C. 8 D.答案： B。解析：。3已知9，a1，a2，1四個實數成等差數列，9，b1，b2，b3，1五個實數成等比數列，則b2(a2a1) （ ）A8 B8 C8 D答案： B解析：。4若一個三角形的三個內角成等差數列，且其中一角為，則其他兩個角的度數為 。答案：。解析：由三角形三內角成等差數列，所以一個角必為60，即另一角為92。5已知數列的前n項和為，且，則k = 答案： 3 。解析：由得，結合得，即。 6.在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為_答案： 216。解析：令五個數為7已知數列滿足. （）求； （）證明：.解析：（）解：.（）證明：由已知， 故， .8已知成等差數列，求證：也成等差數列。解析：由成等差數列，則即成等差數列。9 數列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*) (1)求數列an的通項公式；(2)設Sn=a1+a2+an,求Sn; 解析 (1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數列，d=2,an=102n (2)由an=102n0可得n5，當n5時，Sn=n2+9n，當n5時，Sn=n29n+40，故Sn=10數列an滿足a1=2，對于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數列bn的通項為bn=2n1+1 (1)求數列an的通項an及它的前n項和Sn；(2)求數列bn的前n項和Tn； 解析： (1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)。 【作業(yè)本】A組1若互不相等的實數、成等差數列，、成等比數列，且，則= （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4答案： D.解析：依題意有2數列1，的一個通項公式是Aan(1)n Ban(1)n Can(1)n Dan(1)n 答案：D。解析：可以代入通項驗證。3首項為的等差數列，從第10項開始為正數，則公差的取值范圍是 （ ） A、 B、3 C、3 D、3答案：D。解析：，又，即。4在等差數列中，則的值是 。答案： 0。解析：。5定義一種運算*，對于正整數n滿足以下運算性質：|=1，則用含n的代數式表示為 。答案：。解析：，所以看作為一個等比數列，即。6已知數列滿足求數列的通項公式及前n項和；答案：（I）解：是以為首項，2為公比的等比數列。.7直線過（1，0）點，且關于直線y=x對稱的直線為，已知點在上，。當n2時，有（1）求的方程；（2）求 an的通項公式；（3）設求數列 bn的前n項和Sn答案：解：（1）由 設 設： 又（1，0）關于 對稱點為（0，1）在上，所以1=0+b，b=1 所以：（2）因為 所以（3）所以 8設An為數列an的前n項和，An= (an1)，數列bn的通項公式為bn=4n+3;(1)求數列an的通項公式；(2)把數列an與bn的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明 數列dn的通項公式為dn=32n+1。答案：解 (1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1= (an+1an)，即=3，而a1=A1= (a11)，得a1=3，所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，數列an的通項公式an=3n (2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4k+3，32n+1bn 而數32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=4k+1，32nbn，而數列an=a2n+1a2n，dn=32n+1 B組1數列則是該數列的 （ ）A第6項 B第7項 C第10項 D第11項答案：B。解析：，即。2設數列an是公比為a(a1)，首項為b的等比數列，Sn是前n項和，對任意的nN ，點(Sn ，Sn+1)在 （ ）A直線yaxb上 B直線ybxa上C直線ybxa上 D直線yaxb上答案：D。解析 故點在直線yaxb上3已知a1，a2，a3，a8為各項都大于零的數列，則“a1a8a4a5”是“a1，a2，a3，a8不是等比數列”的 （ ）A充分且必要條件 B充分但非必要條件 C必要但非充分條件 D既不充分也不必要條件答案：B。解析：若為等比數列，則。4將正整數排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16則數表中的2008出現在第行答案：45。解析：數表的規(guī)律為第1行1個，2行3個，3行5個即前n行共有個數，即前44行共有1936個數，所以2008在第45行。5在等差數列an中，若，則有等式成立，類比上述性質，相應地：在等比數列bn中，若，則有等式 成立答案： 。解析：利用性質。6已知數列的前n項和滿足，又 （1）求k的值； （2）求。解析：由得，當時，即。7已知中，所對的邊分別是，且成等差數列，求的值。答案：由成等差數列，即。 8 數列的前n項為，N（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）數列中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明