高等數(shù)學第六章定積分的應用習題.ppt

,一、定積分應用的類型,1幾何應用,平面圖形的面積,特殊立體的體積,平面曲線弧長,旋轉體的體積,平行截面面積為已知立體的體積,2物理應用,變力作功,水壓力,引力,二、構造微元的基本思想及解題步驟,1. 構造微元的基本思想,無論是幾何應用還是物理應用通常采用元素法。,元素法的實質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、 “以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須 是無窮小量之間的代替。將局部 上所對 應的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成 定積分 ,2. 在求解定積分應用問題時，主要有四個步驟：,選取適當?shù)淖鴺讼担?三、典型例題,1. 幾何應用,定積分的幾何應用包括求平面圖形的面積、特殊立體的 體積和平面曲線的弧長。解決這些問題的關鍵是確定面積元 素、體積元素和弧長元素。,在 上求出微元解析式,把所求的量表示成定積分,確定積分變量和變化范圍 ；,【例1】求由 所圍成圖形的面積。,分析：在直角坐標系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形 如圖所示。 如果取 為積分變量, 則,解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,的交點為 和 ,取 為積分變量, 則,由于曲線 和,（2）求微元：任取,如果將圖形上方直線的縱坐標記為 ,將圖形下方拋物線的縱坐標記為 ,那么， 就是區(qū)間 所對應的矩形的面積。因此,（3） 求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為,計算上面的積分得：,分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，,設區(qū)間 所對應的曲邊梯形面積為,如果取 為積分變量,則 .,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：選取 為積分變量，,(2) 求微元： , ,(3) 求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：,【例3】設由曲線 ， 及 圍成,平面圖形 繞 軸, 軸旋轉而成的旋轉體的體積。,解: (一) 求 繞軸旋轉而成的旋轉體的體積,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉如圖,（2）求微元：對,取 為積分變量,則,（3）求定積分：繞 軸旋轉而成的旋轉體的體積表示為,計算積分得：,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉如圖,取 為積分變量, 則,(二) 求繞 軸旋轉而成的旋轉體的體積,（2）求微元：對,旋轉體的體積元素,是 對應的矩形繞 軸所得的旋轉體體積, 即,（3）求定積分：繞 軸所得的旋轉體的體積表示為,計算積分得:,【例4】 計算底面是半徑為2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。,建立如圖所示的坐標系，,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,則底圓方程為,取 為積分變量, 所以,（2）求微元：因為過點 的截面為等邊三角形（如圖）， 其邊長為 高為,所以截面積為,因此, 對 所對應的體積元素為,（3） 求定積分：所求立體的體積為,分析：所給定的曲線弧如圖所示。,對 把區(qū)間 上,所對應的曲線段長 用切線段長,代替，則得到弧長的微元 的解析式.,取積分變量為 則,取 為積分變量,則,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計算兩曲線的交點 的橫坐標得,由于,從而,(3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計算得,【例7】求星形線 的全長.,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間:,取參數(shù) 為積分變量,(3) 求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計算得,則所求曲線弧長為,注：若曲線用極坐標的形式表出，也可轉化為直角坐標 來做，但積分時要注意積分上下限的確定。,6.3 定積分在物理學上的應用,定積分的物理應用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié) 僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。,重點強調(diào)應用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。 特別指出的是，在應用定積分解決物理應用方面的問題時，選 取合適的坐標系，有利于積分式的簡化，從而實現(xiàn)計算簡單。,一、變力沿直線所作的功,求物體沿直線從a移動到b時，變力F(x)所作的功W,由定積分的物理意義,變力所作的功,功的元素：,一個單,求電場力所作的功 .,解:,當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律電場力為,則功的元素為,所求功為,位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) ,在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例1.,例2.,解:,建立坐標系如圖.,壓強 p 與體積 V 成反比 , 即,功元素為,故作用在活塞上的力為,所求功為,恒溫時,建立坐標系如圖.,解:,例3.,設水的密度為,一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,x,( kN ),這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為,故所求功為,( kJ ),二、水壓力,面積為 A 的平板,設水密度為 ,在水深 h 處的壓強:,當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受壓力因平板上各點處處于不同水深所以壓強不等, 從而問題就需用積分解決 .,平板一側所受的壓力為,小窄條x , x +dx 上各點的壓強近似為, 的液體 , 求桶的一個端面所受的壓力.,解: 建立坐標系如圖.,端面圓的,故壓力元素,端面所受壓力為,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶, 內(nèi)盛半桶密度為,例4.,取 x 為積分變量, 其變化區(qū)間為 0, R ,三、引力,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點 , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方