高等數(shù)學(xué)第六章定積分的應(yīng)用習(xí)題.ppt

,一、定積分應(yīng)用的類型,1幾何應(yīng)用,平面圖形的面積,特殊立體的體積,平面曲線弧長(zhǎng),旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知立體的體積,2物理應(yīng)用,變力作功,水壓力,引力,二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟,1. 構(gòu)造微元的基本思想,無論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。,元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、 “以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須 是無窮小量之間的代替。將局部 上所對(duì) 應(yīng)的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成 定積分 ,2. 在求解定積分應(yīng)用問題時(shí)，主要有四個(gè)步驟：,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；,三、典型例題,1. 幾何應(yīng)用,定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的 體積和平面曲線的弧長(zhǎng)。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元 素、體積元素和弧長(zhǎng)元素。,在 上求出微元解析式,把所求的量表示成定積分,確定積分變量和變化范圍 ；,【例1】求由 所圍成圖形的面積。,分析：在直角坐標(biāo)系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形 如圖所示。 如果取 為積分變量, 則,解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,的交點(diǎn)為 和 ,取 為積分變量, 則,由于曲線 和,（2）求微元：任取,如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為 ,將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為 ,那么， 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此,（3） 求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為,計(jì)算上面的積分得：,分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，,設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為,如果取 為積分變量,則 .,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：選取 為積分變量，,(2) 求微元： , ,(3) 求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：,【例3】設(shè)由曲線 ， 及 圍成,平面圖形 繞 軸, 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,解: (一) 求 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖,（2）求微元：對(duì),取 為積分變量,則,（3）求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為,計(jì)算積分得：,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖,取 為積分變量, 則,(二) 求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,（2）求微元：對(duì),旋轉(zhuǎn)體的體積元素,是 對(duì)應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積, 即,（3）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為,計(jì)算積分得:,【例4】 計(jì)算底面是半徑為2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。,建立如圖所示的坐標(biāo)系，,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,則底圓方程為,取 為積分變量, 所以,（2）求微元：因?yàn)檫^點(diǎn) 的截面為等邊三角形（如圖）， 其邊長(zhǎng)為 高為,所以截面積為,因此, 對(duì) 所對(duì)應(yīng)的體積元素為,（3） 求定積分：所求立體的體積為,分析：所給定的曲線弧如圖所示。,對(duì) 把區(qū)間 上,所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng) 用切線段長(zhǎng),代替，則得到弧長(zhǎng)的微元 的解析式.,取積分變量為 則,取 為積分變量,則,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)得,由于,從而,(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得,【例7】求星形線 的全長(zhǎng).,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間:,取參數(shù) 為積分變量,(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得,則所求曲線弧長(zhǎng)為,注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo) 來做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。,6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用,定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié) 僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。 特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問題時(shí)，選 取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單。,一、變力沿直線所作的功,求物體沿直線從a移動(dòng)到b時(shí)，變力F(x)所作的功W,由定積分的物理意義,變力所作的功,功的元素：,一個(gè)單,求電場(chǎng)力所作的功 .,解:,當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為,則功的元素為,所求功為,位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) ,在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,例1.,例2.,解:,建立坐標(biāo)系如圖.,壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,功元素為,故作用在活塞上的力為,所求功為,恒溫時(shí),建立坐標(biāo)系如圖.,解:,例3.,設(shè)水的密度為,一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,x,( kN ),這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為,故所求功為,( kJ ),二、水壓力,面積為 A 的平板,設(shè)水密度為 ,在水深 h 處的壓強(qiáng):,當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受壓力因平板上各點(diǎn)處處于不同水深所以壓強(qiáng)不等, 從而問題就需用積分解決 .,平板一側(cè)所受的壓力為,小窄條x , x +dx 上各點(diǎn)的壓強(qiáng)近似為, 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的壓力.,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,端面圓的,故壓力元素,端面所受壓力為,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶, 內(nèi)盛半桶密度為,例4.,取 x 為積分變量, 其變化區(qū)間為 0, R ,三、引力,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方