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第二章 函數(shù)的極限,有人說，極限的思想是微積分的靈魂。這句話形象地表明了極限概念的重要性。微積分的大多數(shù)概念和運算，就是建立在極限概念的基礎(chǔ)上。如果在微分和積分的過程中，你見不到極限，那是因為在用極限建立起概念和運算的規(guī)則后，我們便沉浸在這些概念和規(guī)則之中，而忘記了它們本質(zhì)上來自于極限概念。,本章主要介紹極限的概念和計算。理解極限概念，靈活的運用各種方法計算極限是本章的重點。,2.1 極限的概念,2.2 無窮小量與無窮大量,2.3 極限的計算,2.4 用兩個重要極限求極限,2.5 用等價無窮小量替換和變量替換求極限,2. 1,2.1 極限的概念,函數(shù)的極限要研究：隨著自變量的變化，函數(shù)的變化趨勢。,自變量的變化方式有六種，分別是：,其中： 表示x從x0的兩側(cè)趨于x0 ，讀作“當(dāng)x趨于x0”；,表示x從x0的右側(cè)趨于x0，讀作“當(dāng)x趨于x0右”；,表示x從x0的左側(cè)趨于x0，讀作“當(dāng)x趨于x0左”。,相應(yīng)的，函數(shù)的極限也就有六種情況。我們重點介紹兩種情況，其余情況只作簡單介紹。,2.1.1 xx0 時，函數(shù)f (x)的極限,xx0時函數(shù)f (x)的極限表示，隨著x無限趨于x0，函數(shù)f (x)的變化趨勢。,定義 2.1.1,若隨著x無限趨于x0，f (x)無限趨于常數(shù)A (見圖2.1-1)，,2. 1,則稱當(dāng)x趨于x0時，f (x)的極限是A，記為,當(dāng)x x0，f (x)A,或,上式中的lim是英語limit(極限)一詞的縮寫。上式讀作,“當(dāng)x趨于x0時，f (x)的極限是A”。,例2.1.1 , 求 。,解：,例2.1.2 , 求 。,解：,2. 1,解：,例2.1.2 , 求 。,見圖2.1-2。,以后，對于函數(shù)的極限，我們不再先寫出函數(shù)是什么，然后再寫出極限式，而是直接在極限符號右邊，寫上函數(shù)的表達(dá)式。,例如， 表示當(dāng)x2時，函數(shù)f (x) = 2x2 + 2的極限。,2. 1,定義 2.1.2,當(dāng)x從x0的右側(cè)趨于x0時，若f (x)無限趨于常數(shù)A(見圖2.1-3)，稱f (x)在x0處的右極限為A，記為,或 f (x0+0) = A,2. 1,將定義2.1.2中的“右”改為“左”就給出左極限的定義(見圖2.1-4)。f (x)在x0處的左極限記為,或 f (x0-0),2. 1,這樣，函數(shù)在一點x0處的極限就有三種情況：,x從右側(cè)趨于x0(見圖2.1-3)，x從左側(cè)趨于x0(見圖2.1-4)，x從x0 兩側(cè)以任意方式趨于x0(見圖2.1-1)。,下述定理指出了三種情況的關(guān)系。,定理 2.1.1,即，函數(shù)在x0處極限存在的充要條件是：,左極限存在，右極限存在，并且左右極限相等。,當(dāng)函數(shù)在x0處兩側(cè)性態(tài)不一樣，或表達(dá)式不一樣，通常用上述定理確定函數(shù)在x0處的極限。,2. 1,例2.1.4 , 求 。,所以 不存在。,見圖2.1-5。,2. 1,例2.1.5 , 求 。,解：,2. 1,2.1.2 x 時，函數(shù)f (x)的極限,定義 2.1.3,x時函數(shù)f (x)的極限就是：,隨著| x | 無限變大，函數(shù)f (x)的變化趨勢。,若隨著 | x | 無限變大，f (x)無限趨于常數(shù)A，見圖2.1-6。,則稱當(dāng)時，f (x)的極限是A，記為,當(dāng)，f (x)A,或,圖2.1-6,2. 1,例2.1.6 , 求 。,例2.1.7 , 求 。,圖2.1-7,見圖2.1-7。,2. 1,類似的，當(dāng)x朝正方向無限變大時，若f (x)無限接近于常數(shù)A，則稱當(dāng)時，f (x)的極限是A，記為,當(dāng)x朝著負(fù)方向無限變大時, 若f (x)無限接近于常數(shù)A，則稱當(dāng)時，f (x)的極限是A，記為,2. 1,2.1.3 數(shù)列的極限,設(shè)數(shù)列的通項公式為,y (n) = f (n),數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)。當(dāng)函數(shù)的自變量是正整數(shù)時，人們習(xí)慣于把自變量n寫成下標(biāo)，即,yn = f (n),例如，,對于數(shù)列，自變量n的變化方式只有一種，即n+，但人們習(xí)慣于記成n，由于沒有其它情況，這樣記也不會產(chǎn)生混亂。,例2.1.8,例2.1.9,2. 1,2.2 無窮小量與無窮大量,2.2.1 無窮小量,定義 2.2.1：,函數(shù)(包括數(shù)列)的變化趨勢，有兩種重要情況，一是趨于0，趨于0 的量叫無窮小量；一是趨于，趨于 的量叫無窮大量。對無窮小量和無窮大量的分析，將給極限的計算帶來方便。,若,則稱當(dāng)x x0時，f (x)為無窮小量,即：極限為0的量叫無窮小量。,對于自變量的其它幾種變化過程，可類似地敘述上述定義。,2. 2,例如：,注1對于函數(shù)f (x) 0，由于在自變量的任何變化過程中，都有l(wèi)im0=0，所以，在任何變化過程中，都可以看作是無窮小量。,注2說一個變量f(x)是無窮小量，必須指明自變量的變化過程，不指明自變量的變化過程，而說f (x)為無窮小量，是沒有意義的。,2. 2,例如：, 當(dāng)x-時ex為無窮小量；, 當(dāng)x+時ex為無窮大量。,若只說“ex為無窮小量”，顯然是沒有意義的。,無窮大量的概念將在下面2.2.3段中給出。,無窮小量有下述定理所說的運算性質(zhì)：,定理 2.2.1：,(1). 有限個無窮小量的和，仍是無窮小量；,(2). 有限個無窮小量的積，仍是無窮小量；,(3). 有界量與無窮小量的積，仍是無窮小量。,注意：限定詞“有限個”是必須有的，不能去掉，沒有了“有限個”這個限定詞，結(jié)論一般不成立。,2. 2,2.2.2 無窮小量的階,定義 2.2.2：,設(shè),即當(dāng)x x0時,f (x),g (x)都是無窮小量,若,稱：當(dāng)x x0時，f (x)是比g (x)高階的無窮小量，,記成 f (x) = o ( g (x) ) (當(dāng)x x0),通常也順序讀作：f (x) 等于小歐g (x)。,若,稱：當(dāng)x x0時，f (x)是與g (x)同階的無窮小量。,記作 f (x) = O(g(x) ) ( xx0 ),讀作“f (x) 等于大歐g (x)”。,2. 2,若,稱：當(dāng)x x0時，f (x)是與g (x)等價的無窮小量。,記作 f (x) g(x) (當(dāng)x x0)。,例如：因為,所以當(dāng)x x0時，x3是比x2高階的無窮小量。,因為,所以當(dāng)x0時，4x2 + x3是與x2為等價的無窮小量。,2. 2,2.2.3 無窮大量,定義 2.2.3：,當(dāng)x x0，若f (x)的絕對值 | f (x) | 可以無限變大，稱,當(dāng)x x0時，f (x)為無窮大量，記作,見圖2.2-1、圖2.2-2。,2. 2,注意：上式不能說成是“f (x)的極限是”，因為函數(shù)的極限總是指“一個數(shù)”，而不是一個數(shù)。當(dāng)x x0，| f (x) | ，是極限不存在的一種情況。,類似地可說,以及自變量的其它幾種變化過程的情況。,2. 2,無窮大量有如下運算性質(zhì)：,(1). 兩個正無窮大量的和，仍為正無窮大量；,(2). 兩個負(fù)無窮大量的和，仍為負(fù)無窮大量。,但不能說：,兩個無窮大量的和，仍為無窮大量,例如,當(dāng)兩個無窮大量的方向相反,其和可能不再是無窮大量。,例如，,當(dāng)x時，f (x)與g(x)都為無窮大量，,但 f (x) + g(x) 卻為無窮小量。,(3). 兩個無窮大量的積仍為無窮大量。,2. 2,2.2.4 無窮大量與無窮小量的關(guān)系，極限與無窮小量的關(guān)系,定理 2.2.2：,定理 2.2.3：,下述兩條定理，是常用得到的，其結(jié)論也很自然。,無窮大量的倒數(shù)，是無窮小量；,無窮小量的倒數(shù)，是無窮大量。,符號“”讀作“當(dāng)且僅當(dāng)”。,f (x) = A + ,其中， = f (x) A(當(dāng)x x0時)為無窮小量。,利用這一性質(zhì)分析極限，有些情況下是很方便的。,2. 2,2.3 極限的計算,2.3.1 用四則運算法則求極限,定理 2.3.1：,極限的計算是微積分的基本技能。極限計算有很多方法和技巧，應(yīng)該注意不斷地總結(jié)和歸納，以不斷提高極限計算的能力。,下述定理給出了極限的四則運算法則：,則：(1).,(2).,(3). 當(dāng),2. 3,證：只證明第(2)條，其余兩條可類似證明。,= 0,證畢,2. 3,和、差、積、商的極限，等于極限的和、差、積、商,利用這些法則，可把較復(fù)雜的函數(shù)的極限，化為一些簡單的函數(shù)的極限。,例2.3.1求極限,解：,2. 3,2. 3,例2.3.2求極限,解：,例2.3.3求極限,解：,例2.3.2求極限,解：,2. 3,2.3.2 用兩邊夾定理求極限,定理 2.3.2：(兩邊夾定理),若 (1)g(x) f (x) h(x),(2)g(x) A，h(x) A (當(dāng)x+ ),則f (x) A (當(dāng)x +),在幾何上，定理所闡述的事實幾乎是顯然的。見圖2.3-1。,在自變量的其它變化方式下，定理的結(jié)論仍然成立。例如,若 (1)g(x) f (x) h(x),(2)g(x) A，h(x) A (當(dāng)xx0),則 f (x) A (當(dāng)xx0),兩邊夾定理的使用方法：用簡單夾復(fù)雜。,2. 3,解：記 f (n) =,例2.3.5,找兩個簡單的函數(shù)夾住f (n)。,將f (n)中每一項根號下變化著的數(shù)字1,2,3,n 都看作n，f (n)被縮小，即有,2. 3,f (n) ,將f (n)中每一項根號下變化著的數(shù)字1, 2, 3, n 都看作1，f (n)被放大，即有,f (n) ,于是有,2. 3,由兩邊夾定理, 有,使用兩邊夾定理求極限，技巧比較高，但你也不必為此擔(dān)心，我們只是在2.4中用一下這個定理，在之后的內(nèi)容中，再沒有使用這個定理。, f (n) ,而當(dāng)n時，有,2.4 用兩個重要極限求極限,兩個重要極限是指：,2.4.1 重要極限,2. 4,之所以是兩個重要極限，是因為好多極限，都可化歸到這兩個極限上來計算。,2. 4,若有h(x)1，g(x)1，則也有,由于f (x)是偶函數(shù)，只須考慮x 0的情況。,在圖2.4-1所示的單位圓上，有,(1),S表示面積。注意圓的半徑OA為1，,代入(1)式，有,2. 4,由兩邊夾定理有,兩邊同除以,而,(2),一般的，若當(dāng)時，有，則有,(3),2. 4,這只要將 (x)看作(2)式中的x，即見上式第二個等號成立。由此，我們得到比(2)式更為一般的公式：,注：這式子表示， 。,從現(xiàn)在開始，要注意記住一些等價無窮小量，因為后面要介紹利用等價無窮小量替換求極限的方法。等價無窮小量記住的越多，極限計算越靈活。,解：,例2.3.2求極限,(此例說明：tan xx，當(dāng)x0。一般的tan(x)(x)，當(dāng)(x)0),2. 4,解：,例2.4.2求極限,解：,例2.4.3求極限,令 arctanx = t，則 x = tant，且當(dāng) x0 時，t0。,(請記?。篴rctan x x,當(dāng)x0),2.4.2 重要極限,2. 4,這個極限的證明很復(fù)雜，需要較多的技巧，我們只要熟記這個式子，會用就行了。,一般地，有,注意這一重要極限的特點：,底數(shù)為1+0的形式(這里0表示無窮小量)，指數(shù)為(無窮大量)；重要的是，底數(shù)1+0的無窮小部分，與指數(shù)部分互為倒數(shù)。,2. 4,清楚了這些之后，我們便可用下述易記憶的說法，來表述利用這一重要極限求極限的過程，即：,底是1+ 0，,其中：前兩句說的是“識別” 確定所求極限可否用第二個重要極限計算；第三句說的是使用重要極限公式的“條件”；第四句指出，當(dāng)這一條件不滿足時，我們需要做的事情。,指數(shù)是，,指、底互為倒(指與底的無窮小部分互為倒數(shù))，,不倒湊其成。,2. 4,解：,解：,例2.4.4求極限,例2.4.5求極限,解：,例2.4.6求極限,2. 4,解：,解：,例2.4.7求極限,(請記住：ln(1+x)x,當(dāng)x0,一般的ln(1+(x)(x),當(dāng)(x)0),例2.4.8求極限,2.5 用等價無窮小量替換和變量替換求極限,2.5.1 用等價無窮小量替換求極限,2. 5,在極限計算中，可用等價無窮小量替換極限式中分子或分母上的與其等價的因子，道理是很簡單的。,設(shè)要計算極限,假若知道 (x) (x)， (x) (x)，則,于是， 就被 ， 所替換。當(dāng) ， 比， 形式簡單，這種替換會簡化極限的計算。,2. 5,上述推導(dǎo)中，第一步是恒等變形，第二步用到條件,注意，只能替換與其等價的無窮小量因子。,解：,例2.5.1 求極限,2. 5,解：,例2.5.3 求極限,解：,例2.5.2 求極限,2.5.2 用變量替換求極限,2. 5,其實,我們已多次使用這一方法了。在前面,若當(dāng)xx0,有(x)0.,解：令 x = t 6，則當(dāng)x1，有t1,例2.5.4求極限,極限計算是微積分課程的基本技能，以后隨著可用工具的不斷增多，我們還會介紹其它一些求極限的方法和技巧，讀者也應(yīng)當(dāng)注意總結(jié)和積累求極限的方法與技巧。,2.5.3 極限的思想,