高等數(shù)學(微積分)課件--87二重積分.ppt

1,8.7二重積分,一、二重積分的概念與性質(zhì) 二、二重積分的計算 三、積分區(qū)域無界的廣義二重積分*,2,曲頂柱體,引例1：曲頂柱體的體積,特點：平頂.,柱體體積=？,特點：曲頂.,曲頂柱體,3,“分割,求和,取極限”思想的應(yīng)用,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,播放,4,求曲頂柱體體積的具體步驟,用若干個小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,5,平面薄片的質(zhì)量,引例2：平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量,6,二重積分的概念,定義：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 1, 2,n ,其中i表示第i個小區(qū)域,也表示它的面積;在每個i上任取一點(i,i) ,作乘積 f(i,i)i (i=1,2,n),并作和,;如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值,趨于零時,這和的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在閉,區(qū)域上的二重積分， 記作,叫做被積函數(shù),叫做被積表達式,叫做面積元素,與,叫做積分變量，,叫做積分區(qū)域，,叫做積分和。,7,關(guān)于二重積分定義的說明,(1)在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的. (2)當在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在. (3)在直角坐標系中,若用平行于坐標軸的直線網(wǎng)劃分,則,二重積分的幾何意義,當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積,當被積函數(shù)小于零時,二重積分是柱體體積的負值,一般,D上的二重積分等于部分區(qū)域上的柱體體積,的代數(shù)和。,8,二重積分的性質(zhì)(15),性質(zhì)1,（k為常數(shù)）,性質(zhì)2,性質(zhì)3,性質(zhì)4 若為D的面積,則,性質(zhì)5 若在D上,則有,特別地:,9,二重積分的性質(zhì)(67),性質(zhì)6(估值不等式) 設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,為D的面積,則,性質(zhì)7(二重積分中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則在D上至少存在一點(,),使得,10,例題與講解,例：不做計算,估計,其中D是橢圓閉區(qū)域,解,11,直角坐標下計算二重積分,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法，可以在直角坐標下計算二重積分。 X-型積分區(qū)域D：,X型,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,12,X-型積分區(qū)域上計算二重積分,將二重積分的值看作以D為底,以z=f(x,y)為曲面的“曲頂柱體”體積。,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,垂直x軸作平行截面。,得,13,Y-型積分區(qū)域上計算二重積分,Y-型積分區(qū)域D：,Y型,垂直y軸作平行截面,14,其它類型的積分區(qū)域,X型區(qū)域的特點:穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的特點:穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. 若區(qū)域如圖，則必須分割.,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,15,例題與講解,例：改變積分,的次序,解：,積分區(qū)域如圖,16,例題與講解,例：改變積分,的次序,解：,積分區(qū)域如圖,17,例題與講解,例：改變積分,的次序,解：,原式,18,例題與講解,例：求積分,其中D是由拋物線,y=x2和x=y2圍成的閉區(qū)域。,解：,19,例題與講解,例：求積分,其中D是以(0,0)、,(1,1)、 (0,1)為頂點的三角形區(qū)域。,解：,20,例題與講解,例：計算積分,解：,21,例題與講解,例：求由下列曲面所圍成的立體體積,解,曲面圍成的立體如圖：,一個三角形.,22,利用極坐標計算二重積分,23,極坐標下化二次積分(),若積分區(qū)域特征如下圖,24,例題與講解,例：寫出積分,在極坐標下二次積分形式,其中積分區(qū)域,解,25,極坐標下化二次積分(2),若積分區(qū)域特征如下圖,26,極坐標下化二次積分(3),若積分區(qū)域特征如下圖,極坐標系下區(qū)域的面積,27,例題與講解,例：計算,其中D 是由中心在原點,半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。,解,28,例題與講解(泊松積分),例：求廣義積分,解,由上例結(jié)論以及對稱性知,29,例題與講解,例：計算,其中 D為由圓,及直線,所圍成,的平面閉區(qū)域。,解,30,例題與講解,例：計算,其中積分區(qū)域為,解,31,小結(jié),二重積分在直角坐標下的計算公式,（在積分中要正確選擇積分次序）,Y型,X型,二重積分在極坐標下的計算公式,32,練習(1),33,練習(2),34,練習(3),35,練習解答,36,練習解答,37,練習解答,38,練習解答,39,練習解答,40,練習解答,41,練習解答,42,練習解答,如圖所示,43,練習解答,如圖所示,44,練習解答,45,練習解答,46,練習解答,47,練習解答,48,練習解答,49,求“曲頂柱體”體積的演示(1),求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,50,求“曲頂柱體”體積的演示(2),求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,51,求“曲頂柱體”體積的演示(3),求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,52,求“曲頂柱體”體積的演示(4),求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的