四點(diǎn)共圓基本判斷方法(超全).pptVIP

Key. 四點(diǎn)共圓的證明 五個(gè)基本判斷方法： 1. 若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。 2. 若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180），則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。 3. 若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。 4. 若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。 5. 同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。,1.若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓 。,如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上,分析指導(dǎo)：利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)等于斜邊的一半，再利用菱形的四邊相等即可證出。,2.若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180），則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓,若A+C=180或B+D=180，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓,已知：四邊形ABCD中，A+C=180 求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A，B，C，D四點(diǎn)共圓,證明：用反證法 過(guò)A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，則C在圓外或圓內(nèi)，若C在圓外，設(shè)BC交圓O于C，連結(jié)DC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得A+DCB=180， A+C=180DCB=C 這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。 C在圓O上，也即A，B，C，D四點(diǎn)共圓。,3.若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。,若B=CDE，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法同上,例 如圖 所示，已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，過(guò) 點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的圓與 AD、BC 分別交于 E、F 點(diǎn)。求證: C、D、E、 F 四點(diǎn)共圓。,分析: 欲證 C、D、E、F 四點(diǎn)共圓，可證以該四點(diǎn)構(gòu)成的四 邊形中，一組對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角即可。 由此，連接 EF 構(gòu)成四邊形 EFCD 后，證明BFE = D 即可。 證明: 連接 EF， 四邊形 ABFE 是圓內(nèi)接四邊形， A + BFE = 180。 又 四邊形 ABCD 是平行四邊形， A + D = 180。 BFE = D。 C、D、E、F 四點(diǎn)共圓,4.若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。,若A=D或ABD=ACD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓,用反證法： 已知：同側(cè)ABC和CBD，共有底邊CB，A=D， 求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓 證明： 假設(shè)四點(diǎn)不在同一圓上， 作ABC外接圓，則D點(diǎn)不在圓上， 因二角共用AB弧，則AD， 與實(shí)際不符， 所以只有D點(diǎn)在ABC外接圓上， 故A、B、C、D四點(diǎn)共圓。,5.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓 如圖1，四邊形ABCD中，A=C=90，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓. 如圖2，A=C=90，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓. 分析指導(dǎo)：可以直接根據(jù)圓的定義