2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程講義含解析新人教A版.docx

21.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P3236，思考并完成以下問題 1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡為橢圓？橢圓的焦點(diǎn)、焦距分別是什么？2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距點(diǎn)睛定義中的條件2a|F1F2|0不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的否則：當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2；當(dāng)2ab0)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2點(diǎn)睛橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征(1)幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上(2)代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于與的平方和，并且分母為不相等的正值.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡為橢圓()(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓()(3)方程1(a0，b0)表示的曲線是橢圓()答案：(1)(2)(3)2若橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則實(shí)數(shù)m的值為()A1B2C4D6答案：C3設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10答案：D4若橢圓的焦距為6，ab1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案：1或1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；(2)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，ab21，c.解(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10，c4，b2a2c29.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義，知2a2，a.又c2，b2a2c21046.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)c，a2b2c26.又由ab21，得a2b，代入得4b2b26，b22，a28.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過兩點(diǎn)(2，)，；(2)過點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)解：(1)法一：(分類討論法)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得則a2b0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0，B0，AB)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)閏216，且c2a2b2，故a2b216.又點(diǎn)(，)在橢圓上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.橢圓的定義及其應(yīng)用典例(1)已知橢圓的方程為1(a5)，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|8，弦AB過點(diǎn)F1，則ABF2的周長為()A10 B20C2 D4(2)如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120，則PF1F2的面積為_解析(1)a5，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上又c4，a22542，a.由橢圓的定義知ABF2的周長|BA|F2B|F2A|BF1|BF2|AF1|AF2|4a4.(2)由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.將代入解得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面積是.答案(1)D(2)橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|，|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而無需單獨(dú)求解活學(xué)活用1.如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且2|F1F2|PF1|PF2|，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，焦距為2c，則由已知得c1，|F1F2|2，所以4|PF1|PF2|2a，所以a2，所以b2a2c2413，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：12已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|4，則F1PF2_.解析：由題意，得a29，a3，c2a2b2927，c，|F1F2|2.|PF1|4，|PF2|2a|PF1|2.cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120.答案：120與橢圓有關(guān)的軌跡問題典例(1)已知P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(2)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程解析(1)設(shè)P(xP，yP)，Q(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以又點(diǎn)P在橢圓1上，所以1，即x21.答案：x21(2)解：由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的兩種方法(1)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法活學(xué)活用求過點(diǎn)P(3,0)且與圓x26xy2910相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：圓方程配方整理得(x3)2y2102，圓心為C1(3，0)，半徑為R10.設(shè)所求動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，依題意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10.又P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|64時(shí)，m415；當(dāng)m0，常數(shù))；命題乙：P點(diǎn)軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：選B利用橢圓定義若P點(diǎn)軌跡是橢圓，則|PA|PB|2a(a0，常數(shù))，甲是乙的必要條件反過來，若|PA|PB|2a(a0，常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段AB；當(dāng)2a3 Ba3或a3或6aa60得所以所以a3或6ab0)，且可知左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：18橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓方程為_解析：如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)PF1F2的面積最大，8b12，b3.又c4，a2b2c225.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：19求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)過點(diǎn)和；(2)過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)解：(1)設(shè)所求橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)橢圓過點(diǎn)和，解得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)由題意得已知橢圓1中a3，b2，且焦點(diǎn)在x軸上，c2945.設(shè)所求橢圓方程為1.點(diǎn)(3,2)在所求橢圓上，1.a215或a23(舍去)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)分別是F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)，且3a24b2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解：(1)依題意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2a21，即a21，所以a24，b23，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由于點(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|.又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cos F1PF2.故F1PF2的余弦值等于.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列說法中正確的是()A已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析：選CA中，|F1F2|8，則平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段，所以A錯(cuò)誤；B中，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6，小于|F1F2|，這樣的軌跡不存在，所以B錯(cuò)誤；C中，點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4|F1F2|8，則其軌跡是橢圓，所以C正確；D中，軌跡應(yīng)是線段F1F2的垂直平分線，所以D錯(cuò)誤故選C.2橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知0，則F1PF2的面積為()A9B12C10 D8解析：選A0，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a.又a5，b3，c4，2，得2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|18，F(xiàn)1PF2的面積為S|PF1|PF2|9.3若，方程x2sin y2cos 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化為1.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以0，即sin cos 0.又，所以b0)或1(ab0)，由已知條件得解得所以b2a2c212.于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.法二：設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.由題意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得