離散LTI系統(tǒng)數(shù)值解法實(shí)用程序設(shè)計(jì)VIP

畢業(yè)設(shè)計(jì) （ 論文 ） 題 目 離散 LTI 系統(tǒng)數(shù)值解法實(shí)用程序設(shè)計(jì) 學(xué)生姓名 張丹 學(xué)號(hào) 1010064047 專業(yè)班級(jí) 電子信息科學(xué)與技術(shù) 102 指導(dǎo)教師 龍姝明 完成地點(diǎn) 陜西理工學(xué)院 物電學(xué)院 505 實(shí)驗(yàn)室 2014 年 06 月 12 日 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 離散離散 LTILTI 系統(tǒng)數(shù)值解法實(shí)用程序設(shè)計(jì)系統(tǒng)數(shù)值解法實(shí)用程序設(shè)計(jì) 張丹 （陜理工 物理與電信工程學(xué)院 電子信息科學(xué)與技術(shù)專業(yè) 2010 級(jí) 2 班,陜西 漢中,723000） 指導(dǎo)老師：龍姝明 摘要 探索連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散 LTI 系統(tǒng)的有效方法及初值條件轉(zhuǎn)化的有效方法，對(duì) LTI 離散系統(tǒng)用迭 代法求解指定時(shí)區(qū)上的輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，編寫 LTI 連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為 LTI 離散系統(tǒng)并用迭代方法求解系統(tǒng)響應(yīng) 的 Mathematica 程序，以 LTI 連續(xù)系統(tǒng)分析實(shí)例展示程序的高效性和可靠性。 關(guān)鍵詞 離散系統(tǒng)；迭代法；Mathematica 程序；數(shù)值解 Numerical Solution of discrete LTI system utility designed Zhang Dan (Grade10,Class2,Major Electronic Information Science and Technology School of Physics and Telecommunication Engineering, Shannxi University of Technology,Hanzhong,723000) Tutor:Long Shuming Abstract Explore effective method of continuous LTI system into discrete LTI system effective methods and initial conditions for transformation, for LTI discrete systems with iterative method specified input response and zero status area on the response, the preparation of LTI continuous system into LTI discrete system with iterative method for solving the system response Mathematica program to LTI continuous systems analysis examples demonstrate the efficiency and reliability of the program. Keywords Discrete systems; iterative method;Mathematica program; numerical solution 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 目錄 引言 1 1 連續(xù) LTI 系統(tǒng)的解析解和數(shù)值解1 1.1 求解連續(xù)低階 LTI 系統(tǒng)解析解的特點(diǎn)1 1.2 求解連續(xù)高階 LTI 系統(tǒng)解析解存在的問題2 1.3 求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)數(shù)值解的特點(diǎn)3 2 連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散 LTI 系統(tǒng)的方法4 3 連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為 LTI 離散系統(tǒng)初值條件的方法5 4 迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的編程技巧5 4.1 求解指定時(shí)區(qū)上零輸入響應(yīng)的編程技巧 .5 4.2 求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的編程技巧 .6 4.3 求解指定時(shí)區(qū)上全響應(yīng)的編程技巧 .6 5 迭代法求解 LTI 系統(tǒng)的 Mathematica 程序設(shè)計(jì)思路7 6 程序應(yīng)用實(shí)例 8 6.1 用 Mathematica 軟件編程求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)數(shù)值解的思 路8 6.2 用 Mathematica 軟件編程求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)的實(shí) 例8 7 結(jié)語 9 參考文獻(xiàn) 9 附錄 A .9 附錄 B .10 附錄 C .10 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 0 頁 共 15 頁 引言引言 隨著數(shù)字技術(shù)以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，鑒于離散系統(tǒng)在精度、抗干擾能力和可集成化等方 面，比連續(xù)系統(tǒng)具有更大的優(yōu)越性，因此原來對(duì)連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)的研究問題，越來越多地轉(zhuǎn)化為對(duì) 離散信號(hào)和系統(tǒng)的處理問題。通信和計(jì)算機(jī)設(shè)備等數(shù)字化的高科技產(chǎn)品滲透于人們的生活、學(xué)習(xí)、 工作等諸多方面，這樣，對(duì)于離散系統(tǒng)的分析、研究和改進(jìn)成為了必不可少的課題1。 離散系統(tǒng)的響應(yīng)問題是求解及分析離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論問題，是我們深入分析線性時(shí)不變離散 系統(tǒng)的基礎(chǔ)。離散 LTI 系統(tǒng)的求解方法有多種，有時(shí)域分析法和變換域分析法，其中時(shí)域分析法有 利用差分方程直接求解和利用用迭代法求解。本課題所研究的是用時(shí)域分析法中的迭代法求解離散 LTI 系統(tǒng)的數(shù)值解2。 利用迭代的方法分析不借助任何變換而直接求解，直觀且準(zhǔn)確。根據(jù)差分方程，用迭代的方法 可以求解出零輸入響應(yīng) yzi(k)和零狀態(tài)響應(yīng) yzs(k)，也可整體求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。迭代法是利用前 n-1 個(gè)時(shí)點(diǎn)的的響應(yīng)值和第 n 個(gè)時(shí)點(diǎn)的輸入信號(hào)響應(yīng)的值求出第 n 個(gè)時(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)響應(yīng)值，這種方法是逐 次求解直到求出各點(diǎn)的響應(yīng)值，方法簡單，概念清楚，對(duì)于低階的系統(tǒng)手工操作就可以求解出，但 對(duì)于高階系統(tǒng)計(jì)算量比較大時(shí)，利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，用 Mathematica 軟件編程實(shí)現(xiàn)這一過程，則更方便快捷。迭代法不僅可求解線性系統(tǒng)在指定區(qū)間上的 值，還可求非線性系統(tǒng)在指定區(qū)間上的值。 作為理論上的研究，此課題雖然簡單，但在實(shí)用技術(shù)上有廣泛的應(yīng)用，為進(jìn)一步深入研究奠定 基礎(chǔ)。例如在通信、計(jì)算機(jī)、自動(dòng)化等很多領(lǐng)域都離不開對(duì)各類離散系統(tǒng)的分析處理，其中必定涉 及高階系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，對(duì)于它們的求解，迭代解法是最有效的分析方法。比如我們?cè)诼曇舻奶?理過程中，就是經(jīng)過濾波器，將聲音信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的差分方程來處理的，再如我們?cè)谔幚韴D像時(shí)， 也是將其轉(zhuǎn)化為離散的差分方程來求解。在未來的“數(shù)字化”工業(yè)發(fā)展進(jìn)程中，此課題的研究方法 將有更加廣泛和深入的應(yīng)用3。 本課題研究的方法是時(shí)域分析法中的迭代法，研究的工具軟件是 Mathematica。 Mathematica 是一款科學(xué)計(jì)算軟件，它有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算和符號(hào)運(yùn)算，并且能與其他應(yīng)用程序 連接，它的很多功能在科學(xué)研究領(lǐng)域中處于世界領(lǐng)先地位，截至 2009 年，它已是使用最廣泛的理 工軟件之一。Mathematica 的發(fā)布標(biāo)志著現(xiàn)代科技計(jì)算的開始，Mathematica 是世界上通用計(jì)算系統(tǒng) 中最強(qiáng)大的系統(tǒng)，自從 1988 發(fā)布以來，它已經(jīng)對(duì)如何在科技領(lǐng)域運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)產(chǎn)生了深刻的、 巨大的和廣泛的影響。 Mathematica 和 MATLAB、Maple 統(tǒng)稱為稱為三大數(shù)學(xué)軟件。本課題中用 Mathematica 軟件用迭代 的方法進(jìn)行編程求解系統(tǒng)的數(shù)值解。 1 連續(xù)連續(xù) LTI 系統(tǒng)系統(tǒng)的解析解和數(shù)值解的解析解和數(shù)值解 1.1 求解連續(xù)低階求解連續(xù)低階 LTI 系統(tǒng)解析解的特點(diǎn)系統(tǒng)解析解的特點(diǎn) 當(dāng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的解析解時(shí)，或直接在系統(tǒng)中采用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解時(shí)， 對(duì)于連續(xù)低階系統(tǒng)，可以通過 Mathematica 軟件編程來實(shí)現(xiàn)，例如求解一個(gè)連續(xù)低階系統(tǒng)，其微分 方程為 yt+5yt+6yt=-10Cos20t （1.1-1） y0=1，y0=-0.5 用 Mathematica 軟件進(jìn)行編程求解，程序如下： Cleary; eq=yt+5yt+6yt=10Cos20t, y0=1,y0=-0.5; sol=DSolveeq,yt,t1/Expand; yt_=yt/.sol; Plotyt,t,0,5 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 1 頁 共 11 頁 所得的結(jié)果如圖 1.1 所示： 12345 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 圖 1.1 輸出信號(hào)響應(yīng)圖像 由上面這個(gè)例子可知，對(duì)于連續(xù) LTI 低階系統(tǒng)，用 Mathematica 軟件編程可以求解出它的解析 解，解的過程很容易而且沒有出現(xiàn)錯(cuò)誤。 1.2 求解連續(xù)高階求解連續(xù)高階 LTI 系統(tǒng)解析解存在的問題系統(tǒng)解析解存在的問題 求連續(xù)高階 LTI 系統(tǒng)的解析解，就不會(huì)像求解連續(xù)低階 LTI 系統(tǒng)那么簡單。例如求解高階微分 方程 yt+150000yt-12yt-5.67yt+123yt=100Sin15.7t （1.2- 1） y0=0，y0=-4，y0=-1.86，y0=12 用 Mathematica 軟件進(jìn)行編程求解，程序如下： eq=yt+150000yt-12yt-5.67yt+123yt =100Sin15.7t, y0=0,y0=-4,y0=-1.86,y0=12; sol=DSolveeq,yt,t1/Expand; yt_=yt/.sol; Plotyt,t,0,50; 用這種方法求解，在解的過程中出現(xiàn)了問題，如下面所示： RowReduce:luc：病態(tài)矩陣1.+0.i,0.+0.i,1.+0.i,1. +0.i,1.722710-7+1.6311910-21i, (-3.5556410-15-3.9283710-35i)-150000.t- (56.4103-1.5275210-17i)-0.093707 t+ (56.4103-1.5276810-17i)0.0468935tCos0.0809425t- (0.00161326+0.i)Cos15.7t+ (0.00161344_+1.6311910-21i)Cos0.0809425t2 Cos15.7t+(1.1991810-23-2.7377410-41i) Cos0.161885t Cos15.7t- (147.405_-2.6533610-17i) 0.0468935tSin0.0809425 t+ (4.3368110-19+2.8332410-21 i) Cos0.0809425tCos15.7t Sin0.0809425t+ (0.00161344_+0.i)Cos15.7t Sin0.0809425 t2-(9.7419310-20+0.i) Cos15.7tSin0.161885t+ (9.6289210-6+3.6734210-40i)Sin15.7t- (9.628910-6+9.5523410-24i) Cos0.0809425t2 Sin15.7t+(1.0044310-21-2.2931310-39i) 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 2 頁 共 11 頁 Cos0.161885 tSin15.7 t-(3.3881310-21-1.6555810-23i) Cos0.0809425 tSin0.0809425tSin15.7t- (9.628910-6+1.1020310-39i) Sin0.0809425t2Sin15.7t+ (5.815810-22+4.0783210-56i) Sin0.161885tSin15.7t 解的結(jié)果如圖 1.2 所示： 12345 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 圖 1.2 輸出信號(hào)響應(yīng)圖像 通過這個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)要求解此類連續(xù)高階系統(tǒng)的解析解是比較困難的，雖然也可以得到結(jié) 果，但是卻耗費(fèi)較長時(shí)間，而且求出的結(jié)果表達(dá)較為復(fù)雜，不僅含有實(shí)函數(shù)，而且含有復(fù)函數(shù)。當(dāng) 給出一個(gè)系數(shù)很大很復(fù)雜的連續(xù)高階 LTI 系統(tǒng)，我們就解不出來了，因?yàn)榍蠼庖粋€(gè)復(fù)雜的連續(xù)高階 LTI 系統(tǒng)，后臺(tái)實(shí)際上是解一個(gè)一元高次代數(shù)方程，在用 Mathematica 解這個(gè)系數(shù)很復(fù)雜的一元高 次代數(shù)方程時(shí)，會(huì)有很大的誤差，故在用 Mathematica 進(jìn)行編程求解此類系統(tǒng)時(shí)，就解不出來了。 例如求解微分方程 yt+18000000yt-12yt-5.67yt+123yt=100Sin15.7t （1.2- 2） y0=0,y0=-4，y0=-1.86，y0=12 程序如下： Cleary; eq=yt+18000000yt-12yt-5.67yt+123yt =100Sin15.7t,y00,y0=-4,y0=-1.86,y0=12; sol=DSolveeq,yt,t1/Expand; yt_=yt/.sol Plotyt,t,0,50 對(duì)于上面這個(gè)微分方程，運(yùn)行了好長時(shí)間，仍然沒有求出結(jié)果。故對(duì)于此類連續(xù)高階系統(tǒng)，就 需要將它化為離散系統(tǒng)，利用 Mathematica 來求解它在指定區(qū)間上的數(shù)值解。這樣既簡便又可靠， 而且不會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。 1.3 求解連續(xù)求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)數(shù)值解的特點(diǎn)系統(tǒng)數(shù)值解的特點(diǎn) 對(duì)于連續(xù) LTI 系統(tǒng)的微分方程 yt+150000yt-12yt-5.67yt+123yt=100Sin15.7t （1.3- 1） y0=0，y0=-4，y0=-1.86，y0=12 由于求它的解析解既耗時(shí)結(jié)果又復(fù)雜，故我們求它的數(shù)值解，用 Mathematica 進(jìn)行編程，求解它在 一個(gè) 0-50s 這個(gè)時(shí)間段上的數(shù)值解，程序如下: Cleary; eq=yt+150000yt-12yt-5.67yt+123yt= 100Sin15.7t,y0=0,y0=-4,y0=-1.86,y0=12; 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 3 頁 共 11 頁 sol=NDSolveeq,yt,t,0,50,MaxSteps10000001/Expand; yt_=yt/.sol Plotyt,t,0,50 所得到的結(jié)果如圖 1.3 所示： InterpolatingFunction0.,50.,t 1020304050 600 400 200 200 400 600 800 圖 1.3 輸出信號(hào)響應(yīng)圖像 通過上面的例子，我們知道用 Mathematica 進(jìn)行編程求解此類方程在指定區(qū)間上的數(shù)值解，非 常簡便，而且很實(shí)用。 2 連續(xù)連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散 LTI 系統(tǒng)的方法系統(tǒng)的方法 由于用離散系統(tǒng)求解數(shù)值解更為簡便、快捷和準(zhǔn)確，故通常我們先將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)， 離散化就是導(dǎo)出能在采樣時(shí)刻上與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)等價(jià)的離散化狀態(tài)方程。連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散 LTI 系統(tǒng)，包含自變量的離散化、導(dǎo)函數(shù)的離散化和方程的離散化。 例如對(duì)于連續(xù) LTI 方程 yt+ayt+byt=cft （2- 1）y0_=y0，y0_=yp0 要將它離散化為離散 LTI 系統(tǒng)，首先是確定求解的時(shí)間區(qū)間，將自變量也就是時(shí)間離散化，用 Mathematica 進(jìn)行編程，程序如下： ta=0;tb=10; n=100;Ts=(tb-ta)/n; ts=Range0,n*Ts; 其中，ta 和 tb 是初始時(shí)刻和終止時(shí)刻，為采樣數(shù)，Ts 為采樣間隔，ts 為采樣時(shí)間。然后是輸 入函數(shù)的離散化，將 f(t)f(ts(k)，f(ts(k)f(k)，f(t)f(k)。再是導(dǎo)函數(shù)的離散化， 程序如下： y(k)(y(k)-y(k-1)/Ts; y(k)(y(k)-2y(k-1)+y(k-2)/Ts2; y(k)(y(k)-3y(k-1)+3y(k-2)-y(k-3)/Ts3; y(k)(y(k)-4y(k-1)+6y(k-2)-4y(k-3)+y(k-4)/Ts4; .; 其中 y(k )是一階導(dǎo)函數(shù)的離散化，y(k)是二階導(dǎo)函數(shù)的離散化，y(k)是三階導(dǎo)函 數(shù)的離散化，y(k) 是四階導(dǎo)函數(shù)的離散化，依次類推，將 y(m)(t)轉(zhuǎn)化為 y(m)(k)。最后 是方程的離散化，對(duì)于對(duì)于方程 yt+ayt+ byt=cft，將導(dǎo)函數(shù)離散化的結(jié)果代入 此方程，整理后，將各項(xiàng)的系數(shù)分別用字母表示便可得到離散化的方程，用 Mathematica 進(jìn)行編程， 程序如下： y(k)-2y(k-1)+y(k-2)+aTs(y(k)-y(k-1)+bTs2yk=cTs2fk; (1+a.Ts+b.Ts2)yk+(-2-a.Ts)yk-1+yk-2=cTs2fk; q=1/(1+a.Ts+b.Ts2); yk+(-2-a Ts)qyk-1+qyk-2=cTs2qfk; 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 4 頁 共 11 頁 p=(-2-aTs)q; =cTs2q; yk+pyk-1+qyk-2=fk; 3 連續(xù)連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為 LTI 離散系統(tǒng)初值條件的方法離散系統(tǒng)初值條件的方法 探索連續(xù) LTI 系統(tǒng)初值條件轉(zhuǎn)化為 LTI 離散系統(tǒng)初值條件的有效方法，首先我們是對(duì)上面導(dǎo)函 數(shù)離散化的方程進(jìn)行變形，然后賦值就可得到，具體做法如下： 對(duì)y(k)(y(k)-y(k-1)/Ts，進(jìn)行變形，得到 Tsy(k)y(k)-y(k-1)，然后給 k 賦值為-，將 y(-1)=y0_帶入，再移項(xiàng)就可得到 y(-2)=y(-1)-Tsy0_;對(duì) y(k) (y(k)-2y(k-1)+y(k-2)/Ts2進(jìn)行變形，得到 Ts2y(k)y(k)-2y(k-1)+y(k-2)， 然后給 k 賦值為-，將 y(-1)=y0_帶入，再移項(xiàng)就可得到 y(-)=y(-)y(-)+ Ts2y0_，用 Mathematica 進(jìn)行編程，程序如下： y(-1)=y0_; y(-2)=y(-1)-Tsy0_; y(-3)=2y(-2)y(-1)+Ts2y0_; ; 4 迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的編程技巧連續(xù)系統(tǒng)的編程技巧 用迭代解法可以分別求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，也只有用迭代解法可以一次性求出系統(tǒng)的 全響應(yīng)，其它的方法比如狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)都只能分別求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。 迭代解法不僅可以求線性系統(tǒng)的完全響應(yīng)，還可以求非線性系統(tǒng)模型的完全響應(yīng)，至于求出的 結(jié)果是否有用，取決于非線性系統(tǒng)的模型能不能很好的反應(yīng)實(shí)際系統(tǒng)。而非線性系統(tǒng)的模型能不能 很好的反應(yīng)實(shí)際系統(tǒng)，則取決于構(gòu)建的描述系統(tǒng)的差分方程是否正確，如果正確，那解出的結(jié)果就 能很好的反應(yīng)該實(shí)際系統(tǒng)。 4.1 求解指定時(shí)區(qū)上零輸入響應(yīng)的編程技巧求解指定時(shí)區(qū)上零輸入響應(yīng)的編程技巧 零輸入響應(yīng)是在沒有外加激勵(lì)時(shí)，僅有 0 時(shí)刻的非零初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。它是取決于初始狀 態(tài)和電路特性，這種響應(yīng)是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減變化的4。 在用 Mathematica 進(jìn)行編程的過程中，連續(xù) LTI 系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散 LTI 系統(tǒng)的方法和連續(xù) LTI 系 統(tǒng)初值條件轉(zhuǎn)化為 LTI 離散系統(tǒng)初值條件的方法上面我們提到，用迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 離 散系統(tǒng)零輸入響應(yīng),那我們只需要將輸入信號(hào)設(shè)為 0，進(jìn)而求出系統(tǒng)的響應(yīng)即可。 例如對(duì)于方程 yt+ayt+byt=cft （4.1- 1） y(-)=m，y(-2)=n 將上文我們研究的導(dǎo)函數(shù)離散化的結(jié)果代入（4.1-1） ，再整理便可得到離散化的方程： y(k)-2y(k-1)+y(k-2)+aTs(y(k)-y(k-1)+bTs2yk=cTs2fk （4.1- 2）要用迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 離散系統(tǒng)零輸入響應(yīng),那我們可以將上式中的 fk取值為 0，同 類的合并后，把 y(k)保留在等式的左邊，其余項(xiàng)移到等式的左邊，即是 (1+a.Ts+b.Ts2)yk+(-2-a.Ts)yk-1+yk-2=0 （4.1- 3） 然后我們可以依次給 k 賦值為 0、1、2就可以依次得到 y(0)、y(1)、y(2)的值，即是該系統(tǒng) 函數(shù)在指定區(qū)間上的零輸入響應(yīng)。 例如對(duì)于方程 yt+260300yt-12yt-6yt+123yt120Sin17t （4.1- 4） 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 5 頁 共 11 頁 y00，y0-4，y0-1.9，y012 將它離散化后，用迭代法求解它在 0-50s 的零輸入響應(yīng)。即就是輸入信號(hào)為的情況下，通過已 知的前四個(gè)時(shí)刻的值依次求出下一個(gè)時(shí)刻的值，直到求出指定區(qū)間上的所有的時(shí)刻的零輸入響應(yīng)。 將此微分方程中輸入信號(hào)取為 0。則微分方程變?yōu)?yt+260300yt-12yt-6yt+123yt （4.1-5）再用 Mathematica 軟件進(jìn)行編程求解它的零輸入 響應(yīng)，程序見附錄 A。 結(jié)果如圖 4.1 所示： 1020304050 800 600 400 200 0 圖 4.1 零輸入響應(yīng)的圖像 4.2 求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的編程技巧求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的編程技巧 零狀態(tài)響應(yīng)就是電路的儲(chǔ)能元器件（如電容、電感類元器件）無初始儲(chǔ)能，僅由外部激勵(lì)作用 而產(chǎn)生的響應(yīng)5。 在用 Mathematica 進(jìn)行編程的過程中，用迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng), 那我們只需要將初始狀態(tài)設(shè)為 0，進(jìn)而求出系統(tǒng)的響應(yīng)即可。 例如對(duì)于方程 yt+ayt+byt=cft （4.2- 1）y(-1)=m，y(-2)=n 將上文研究的導(dǎo)函數(shù)離散化的結(jié)果代入（4.6） ，再整理便可得到離散化的方程： y(k)-2y(k-1)+y(k-2)+aTs(y(k)-y(k-1)+bTs2yk=cTs2fk （4.2- 2） 合并，把 y(k)保留在等式的左邊，其余項(xiàng)移到等式的左邊，即是 (1+a.Ts+b.Ts2)yk+(-2-a.Ts)yk-1+yk-2=cTs2fk （4.2- 3） 用迭代法求解指定時(shí)區(qū)上的 LTI 離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng),那我們可以將上式中的 y(-)和 y(-2)取 值為 0，然后我們可以依次給 k 賦值為 0、1、2就可以依次得到 y(0)、y(1)、y(2) 的值， 即是該系統(tǒng)函數(shù)在指定區(qū)間上的零狀態(tài)響應(yīng)。 同樣對(duì)于方程 yt+260300yt-12yt-6yt+123yt120Sin17t （4.2- 4） y00，y0-4，y0-1.，y012 用迭代法求解它在 0-100s 的零狀態(tài)響應(yīng)。即就是初始狀態(tài)都為的情況下通過已知的前四個(gè) 時(shí)刻的值依次求出下一個(gè)時(shí)刻的值，直到求出指定區(qū)間上的所有的時(shí)刻的零狀態(tài)響應(yīng)。則 y0 0,y0，y0，y0，用 Mathematica 軟件進(jìn)行編程求解，程序見附 B。 結(jié)果如圖 4.2 所示： 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 6 頁 共 11 頁 20406080100 0.20 0.15 0.10 0.05 0.05 圖 4.2 零狀態(tài)響應(yīng)的圖像 4.3 求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的編程技巧求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的編程技巧 全響應(yīng)就是線性系統(tǒng)或電路在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)之和。它是系統(tǒng)或電 路在輸入和初始條件共同作用下的響應(yīng)。是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加的結(jié)果,也體現(xiàn)了線性電 路的疊加性6。 用迭代法求解指定時(shí)區(qū)上零狀態(tài)響應(yīng)的，即是綜合了零輸入零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，輸入狀 態(tài)和初始狀態(tài)均不為 0，其他的編程技巧均不變。 5 迭代法求解迭代法求解 LTI 系統(tǒng)的系統(tǒng)的 Mathematica 程序程序設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)思路 例如用迭代解法求解方程 yt+150000yt-12yt-5.67yt+123yt100Sin15.7t （5.1- 1） y00,y0-4，y0-1.86，y012 的數(shù)值解，并用 Mathematica 進(jìn)行編程求解它在 0-50s 的解。 在離散化的過程中，將導(dǎo)函數(shù)的離散化結(jié)果帶入到微分方程（5.1）中，合并同類項(xiàng)，將 yk 的系數(shù)化為 1，其它項(xiàng)的系數(shù)分別用字母表示，這樣就得到離散化的差分方程為： yk+yk-1+yk-2+yk-3+qyk-4=qTs4fnk （5.1- 2） 求解的具體過程，用 Mathematica 編程，程序如下： Cleary,u; ta=0;tb=50;n=200; Ts=(tb-ta)/n; 自變量的離散化編程： ts=Range0,n*Ts; 輸入函數(shù)的離散化編程： fn=100*Sin15.7ts; 方程的離散化編程： q=1/(1+150000*Ts-12*Ts2-5.67*Ts3+123Ts4); =q*(-4-3*150000*Ts+2*12*Ts2+5.67*Ts3); =q*(6+3*150000*Ts-12*Ts2); =q*(-4-150000*Ts); 初值的離散化編程： y-1=0; y-2=4Ts; y-3=-1.86Ts2+8Ts; y-4=-3*1.86Ts2+12Ts-12Ts3; 將數(shù)值解存入數(shù)組編程： u=ConstantArray0,n+1+4; 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 7 頁 共 11 頁 u1;4=y-4,y-3,y-2,y-1; Forj=5,jn+5,j+,uj=-A*uj-1-B*uj-2-C*uj-3- q*uj-4+q*Ts4 fnj-4; 用圖像表示解的結(jié)果： data=Transposets,u5;-1; ListPlotdata,JoinedTrue 畫出它的圖形，如圖.所示： 1020304050 600 400 200 200 400 600 800 圖 5.1 輸出信號(hào)響應(yīng)波形圖 6 程序應(yīng)用實(shí)例程序應(yīng)用實(shí)例 6.1 用用 Mathematica 軟件編程求解連續(xù)軟件編程求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)數(shù)值解的思路系統(tǒng)數(shù)值解的思路 （1）先給定一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，比如一個(gè)三階的 RLC 電路，對(duì)電路進(jìn)行分析，得到它的系統(tǒng)函數(shù)； （2）根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)寫出它的微分方程，再將微分方程離散化為差分方程，連續(xù)系統(tǒng)的初值也 離散化為差分方程的初值； （3）利用 Mathematica 軟件和迭代法求出差分方程的數(shù)值解。 6.2 用用 Mathematica 軟件編程求解連續(xù)軟件編程求解連續(xù) LTI 系統(tǒng)的實(shí)例系統(tǒng)的實(shí)例 以 RLC 三階電路電路為例7，具有電阻電感電容的二端網(wǎng)絡(luò)如圖 5.1 所示，其中：R1=2 ，R2=80，L1=0.4H, L2=0.2H ,C=5*10-3F。電壓為輸入，電壓=150Cos18t為輸 1( ) u t 2( ) u t 出，求該三階電路系統(tǒng)的離散化數(shù)值解。 圖 6.1 RLC 時(shí)域電路 利用拉普拉斯變換進(jìn)行分析，建立復(fù)頻域代數(shù)方程8： L2 和 R2 的串聯(lián)阻抗為 （6.2-122zL sR 1） C 和 L2 與 R2 的并聯(lián)阻抗為 （6.2- 1 2 11z z z sc 2）總阻抗為 （6.2-3211zzRL s 3） 系統(tǒng)函數(shù)為 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 8 頁 共 11 頁 23 2 12121 2 (s 2 11 21 ) 2 R RRLLcR Rsc L H RL RscL L s (6.2-4) 代入 R,L,C 的值，得系統(tǒng)函數(shù)9： （6.2- 23 200000 2050003500 ( 4 s) 05 H sss 5） 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)可以列出微分方程： yt+405yt+3500yt+205000yt=200000ft y00，y00，y00 （6.2- 6） 用上文的方法將（6.2-6）離散化為以下形式： yk+yk-1+yk-2+yk-3=200000qTs3fnk （6.2- 7） y-1=0，y-2=0，y-3=0 用 Mathematica 進(jìn)行編程求解，程序見附錄 C10。 結(jié)果如圖.所示： 12345 400 200 200 400 圖 6.3 輸出系統(tǒng)響應(yīng)波形圖 7 結(jié)語結(jié)語 畢業(yè)設(shè)計(jì)是對(duì)大學(xué)四年學(xué)習(xí)成果的一次大檢閱，平時(shí)課堂上學(xué)到的知識(shí)很難以融會(huì)貫通，通過 本次畢業(yè)設(shè)計(jì)，讓我在平時(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)得到了進(jìn)一步鞏固和加強(qiáng)，通過畢業(yè)設(shè)計(jì)還可以將平時(shí)所學(xué) 的一些知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際的設(shè)計(jì)中。 設(shè)計(jì)剛開始時(shí)，由于對(duì)編程不是很熟悉，出現(xiàn)了許多錯(cuò)誤，造成了多次的返工。但是，正是這 一次次的嘗試磨練了我的耐性，并提高了我對(duì)軟件的操作水平。在這次設(shè)計(jì)中，我不僅收獲了專業(yè) 知識(shí)，還在與同學(xué)的溝通交流中增長了很多的見識(shí)，特別是要非常感謝龍老師細(xì)心和認(rèn)真的指導(dǎo)， 正因?yàn)橛辛死蠋熀屯瑢W(xué)的幫助，我的畢業(yè)設(shè)計(jì)才能順利完成。這次畢業(yè)設(shè)計(jì)為我未來踏上社會(huì)、步 入工作崗位打下了良好基礎(chǔ)。 這個(gè)畢業(yè)設(shè)計(jì)，讓我深深地體會(huì)到這是一個(gè)連接學(xué)習(xí)和工作的橋梁。畢業(yè)設(shè)計(jì)的完成標(biāo)志著大 學(xué)生活的結(jié)束，今后迎接我的是更多的挑戰(zhàn)，通過畢業(yè)設(shè)計(jì)的磨練，我相信我能夠更好的面對(duì)這些， 把握機(jī)遇，創(chuàng)造未來。在大學(xué)里我得到了最好的鍛煉，我要將學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)換成力量，為了自己的 夢(mèng)想而努力奮斗。 陜西理工學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 第 9 頁 共 11 頁 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 1錢琳琳,牛瑞燕,李秀麗.離散 LTI 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)求解方法研究N.電氣電子學(xué)報(bào),2010(01). 2 Alan VOppenheim.Discrete-Time Signal Processing（Third Edition）M北京:電子工業(yè)出版社,2011:9-70. 3張正文,鐘東.基于 Matlab 的離散時(shí)間系統(tǒng)分析N.咸寧學(xué)院學(xué)報(bào),2007(06). 4楊忠根,任蕾.陳紅亮因果周期信號(hào)通過 LTI 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)N.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2011(03). 5柴黎,姚秀芳.基于復(fù)頻域的連續(xù)時(shí)間 LTI 系統(tǒng)時(shí)域分析J,北京:電子技術(shù),2013(04):1-3. 6侯靜怡,劉志杰.離散時(shí)間 LTI 系統(tǒng)的響應(yīng)求解與其 Matlab 的實(shí)現(xiàn)J,北京:中國科技信息 2012(2