專升本輔導(dǎo)-第9講向量代數(shù)與空間解析幾何.ppt

第9講 空間解析幾何與向量代數(shù),第一節(jié) 向量及其線性運算,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,第三節(jié) 曲面及其方程,第四節(jié) 空間曲線及其方程,第五節(jié) 平面及其方程,第六節(jié) 空間直線及其方程,第一節(jié) 向量及其線性運算,一、向量概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標(biāo)系,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算,五、向量的模、方向角,返回,復(fù)習(xí)要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。 （2）掌握向量的線性運算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的條件。,一、向量概念,向量：有向線段.,符號表示： ， ， ， ，等.,自由向量：只研究大小與方向，與起始點無關(guān).,自由向量的相等：大小相等且指向相同.,向量的模：向量的長度. | |， | |,向量平行：兩個非零向量的方向相同或者相反.,k個向量共面： k( 3)個有公共起點的向量的k個終點和起點在一個平面上.,返回,二、向量的線性運算,1. 向量的加減法,加法：,(2) 平行四邊形法則,(1) 三角形法則,多個向量相加，可以按照三角形法則.,特例：,2. 向量與數(shù)的乘法,向量 與實數(shù) 的乘積記作,設(shè) 表示與非零向量 同方向的單位向量，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.,三、空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)軸：取空間一個定點O,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫作x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸);點O叫作坐標(biāo)原點（或原點）.通常取x軸、y軸水平放置； z軸豎直放置，它們的正向符合右手法則.,Oxyz坐標(biāo)系可記作O； ， ， 坐標(biāo)系,坐標(biāo)面：空間直角坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面。xOy面、 yOz面、xOz面.,卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個卦限，用字母、表示.,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限,向量 的坐標(biāo)分解式：,向徑： 以原點為起點，M為終點的向量，例如 .,坐標(biāo)面上的點,返回,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算,設(shè),（ 為實數(shù)）,推論：,則,五、向量的模、方向角,1. 向量的模與兩點的距離公式,向量的模：,例 求證以 三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.,解 因為,同理可得,所以, , 即 為等腰三角形.,2. 方向角與方向余弦,兩向量的夾角的概念：,特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.,設(shè),類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,M,方向余弦:,方向余弦的特征:,單位向量 的方向余弦為:,第二節(jié) 數(shù)量積 向量積,一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,返回,一、兩向量的數(shù)量積,實例,數(shù)量積也稱為“點積”、“內(nèi)積”.,關(guān)于數(shù)量積的說明：,證,證,數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,若 、 為數(shù)：,數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,設(shè),兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：,由此可知兩向量垂直的充要條件為,例 已知三點M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求 .,代入兩向量夾角余弦的表達(dá)式，得,由此得,二、兩向量的向量積,實例,定義,證,/,/,設(shè),向量積的坐標(biāo)表達(dá)式,向量積還可用三階行列式表示,/,由上式可推出,補充：,例如，,解,例 設(shè) ， ，計算 .,例 已知三角形ABC的頂點分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積.,于是,第五節(jié) 平面及其方程,一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,復(fù)習(xí)要求 （1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。 （2）會求點到平面的距離。 （3）了解直線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。 （4）會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。,一、平面的點法式方程,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線 向量. 容易知道，平面上的任一向量均與該平面的法線向量 垂直.,則,由于,所以,由此可知，平面II上的任一點的坐標(biāo)x，y，z都滿足方程,所以方程叫做平面的點法式方程.,例 求過點(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法線向量的平面的方程.,解 根據(jù)平面的點法式方程，得所求平面的方程,(x - 2) 2(y + 3) + 3z=0,例 求過三點M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和M3 (0, 2, 3)的平面 的方程.,解 先找出這平面的法線向量 n. 由于向量n與向量,都垂直，而,=14i + 9j k,二、平面的一般方程,由此可知，任一三元一次的圖形總是一個平面.,對于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點.,當(dāng)D=0時，Ax + By + Cz = 0表示一個通過原點的平面.,當(dāng)A=0時，By + Cz + D = 0，法線向量n(0, B, C)垂直于x軸，其表示一個平行于x軸的平面.,同樣，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分別表示一個平行于y軸和z軸的平面.,例 求通過x軸和點(4, -3, -1)的平面的方程.,解 由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直于x軸，于是 法線向量在x軸上的投影為零， 即A=0；又由平面通過x軸， 它必通過原點，于是D=0. 因此可設(shè)這平面的方程為,By + Cz = 0.,y 3z = 0.,因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三點都在 這平面上，所以點P、Q、R的坐標(biāo)都滿足 方程；即有,本方程叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z軸上的截距.,故所求的平面方程為,三、兩平面的夾角,兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.,設(shè)平面II1和II2的法線向量依次為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2),那么,例 求兩平面xy + 2z 6 = 0和2x + y + z 5 = 0的夾角.,解 由前公式有,因此，所求夾角,例如，求點(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距離.,d=,可利用公式，便得,第六節(jié) 空間直線及其方程,一、空間直線的一般方程,二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,四、直線與平面的夾角,復(fù)習(xí)要求 （1）了解直線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會判定兩直線平行、垂直。 （2）會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。,一、空間直線的一般方程,設(shè)兩個相交的平面II1 和II2 的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0 和A2x+B2y+C2z+D2=0，則其交線（直線）L上的任一點的坐標(biāo) 應(yīng)同時滿足這兩個平面的方程，即應(yīng)滿足方程組,(1),方程組(1)叫做空間直線的一般方程.,通過空間一直線L的平面有無限多個，只要在這無限多個平面 中任意選取兩個，把它們的方程聯(lián)立起來，所得的方程組就表 示空間直線L.,二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程,如果一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條 直線的方向向量.,設(shè)直線L上一點M0(x0,y0,z0)，已知它的一方向向量為s=(m,n,p)， 下面建立這直線方程.,從而有,上方程組稱為直線的對稱式方程或點向式方程.,直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向 數(shù)，而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.,由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 如設(shè),那么,上方程組就是直線的參數(shù)方程.,例 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解 先找出這直線上的一點(x0,y0,z0). 例如，可以取x0=1， 代入方程組，得,即(1, 0, -2)是這直線上的一點.,下面再找出這直線的方向向量s. 由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量n1 =(1,1,1)， n2(2,-1,3)都垂直，所以可取,因此，所給直線的對稱式方程為,令,得所給直線的參數(shù)方程為,三、兩直線的夾角,兩條直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角.,設(shè)直線L1和L2的方向向量依次為s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2)， 那么L1和L2的夾角 則,例 求直線L1：,和L2：,的夾角.,解 直線L1的方向向量為s1 =(1,-4,1)；直線L2的方向向量為 s2=(2,-2,-1).,=,所以,按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有,四、直線與平面的夾角,例 求過點(1,-2,4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.,解 因為所求直線垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法線向量(2,-3,1)作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為,五、雜例,例1 求與兩平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交線平行且過點(-3,2,5) 的直線的方程.,解 因為所求在直線與兩平面的交線平行，也就是直線的方向 向量s一定同時與兩平面的法線向量n1、n2垂直，所以可以取,因此所求直線的方程為,是所求直線的一個方向向量，故所求直線的方程為,有時用平面束的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來介紹它的方程.,反之，通過直線L的任何平面(除平面(2)外)都包含在方程 (3)所表示的一族平面內(nèi). 通過定直線的所有平面的全體 稱為平面束，而方程(3)就作為通過直線L的平面束的方程 (事實上，方程(3)表示缺少平面(2)的平面束).,第三節(jié) 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱面,四、二次曲面,返回,復(fù)習(xí)要求: 了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。,曲面方程的定義：,一、曲面方程的概念,以下給出幾例常見的曲面.,解,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,三、柱面,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.,柱面舉例,拋物柱面,平面,C,L,C,L,x,y,z,O,C,F (x, y)=0,x,y,z,O,x -z=0,L,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實 例,橢圓柱面 / 軸,雙曲柱面 / 軸,拋物柱面 / 軸,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸,旋轉(zhuǎn)過程中的特征：,將 代入,設(shè),將 代入,得方程,解,圓錐面方程,解 繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面:,繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面:,x,y,o,z,z,單葉雙曲面圖形,雙葉雙曲面圖形,x,y,o,z,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,四、二次曲面,O,x,