貝葉斯統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí).doc

貝葉斯統(tǒng)計(jì)習(xí)題 1. 設(shè)是一批產(chǎn)品的不合格率，從中抽取8個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)3個(gè)不合格品，假如先驗(yàn)分布為 （1） （2）求的后驗(yàn)分布。解：2 設(shè)是來(lái)自均勻分布的一個(gè)樣本，又設(shè)的先驗(yàn)分布為Pareto分布，其密度函數(shù)為其中參數(shù)，證明：的后驗(yàn)分布仍為Pareto分布。解：樣本聯(lián)合分布為： 因此的后驗(yàn)分布的核為，仍表現(xiàn)為Pareto分布密度函數(shù)的核即即得證。3 設(shè)是來(lái)自指數(shù)分布的一個(gè)樣本，指數(shù)分布的密度函數(shù)為，（1） 證明：伽瑪分布是參數(shù)的共軛先驗(yàn)分布。（2） 若從先驗(yàn)信息得知，先驗(yàn)均值為0.0002，先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差為0.0001，確定其超參數(shù)。解：4. 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格品率為，檢查是一個(gè)接一個(gè)的進(jìn)行，直到發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品停止檢查，若設(shè)X為發(fā)現(xiàn)第一個(gè)不合格品是已經(jīng)檢查的產(chǎn)品數(shù)，則X服從幾何分布，其分布列為 假如只能以相同的概率取三個(gè)值1/4, 2/4, 3/4，現(xiàn)只獲得一個(gè)觀察值，求的最大后驗(yàn)估計(jì)。解：的先驗(yàn)分布為在給定的條件下，X=3的條件概率為聯(lián)合概率為X=3的無(wú)條件概率為的后驗(yàn)分布為5。設(shè)是來(lái)自如下指數(shù)分布的一個(gè)觀察值，取柯西分布作為的先驗(yàn)分布，即求的最大后驗(yàn)估計(jì)。解 后驗(yàn)密度6. 設(shè)是來(lái)自均勻分布的一個(gè)樣本，又設(shè)服從Pareto分布，密度函數(shù)為求的后驗(yàn)均值和后驗(yàn)方差。解：的先驗(yàn)分布為：令可得后驗(yàn)分布為：則的后驗(yàn)期望估計(jì)為：，后驗(yàn)方差為：.7. 設(shè)x服從伽瑪分布，的分布為倒伽瑪分布，（1） 證明：在給定x的條件下，的后驗(yàn)分布為倒伽瑪分布。（2） 求的后驗(yàn)均值與后驗(yàn)方差。解：由可以得出 （1）的后驗(yàn)分布為：即為倒伽瑪分布的核。所以的后驗(yàn)分布為（2）后驗(yàn)均值為后驗(yàn)方差為8. 對(duì)正態(tài)分布作觀察，獲得三個(gè)觀察值：2，3，5，若的先驗(yàn)分布為，求的0.95可信區(qū)間。9. 設(shè)某電子元件的失效時(shí)間X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為若未知參數(shù)的先驗(yàn)分布為倒伽瑪分布。計(jì)算該種元件在時(shí)間200之前失效的邊緣密度。解：10. 設(shè)相互獨(dú)立，且。若是來(lái)自伽瑪分布的一個(gè)樣本，找出對(duì)的聯(lián)合邊緣密度。解：11. 某廠準(zhǔn)備一年后生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，如今有三個(gè)方案供選擇：改建本廠原有生產(chǎn)線（）,從國(guó)外引進(jìn)一條自動(dòng)化生產(chǎn)線（）；與兄弟廠協(xié)助組織“一條龍”生產(chǎn)線（）。廠長(zhǎng)預(yù)計(jì)一年后市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量大致可分為三種：較高（）；一般（）；較低（）。假設(shè)其收益矩陣為（單位：萬(wàn)元），假設(shè)廠長(zhǎng)根據(jù)自己對(duì)一年后市場(chǎng)需求量是高，中，低，給出的主觀概率分別為0.6,0.3，0.1。求在悲觀準(zhǔn)則，樂(lè)觀準(zhǔn)則，和先驗(yàn)期望準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動(dòng)。解：悲觀準(zhǔn)則下：首先行動(dòng)，的最小收益分別為-200，-800，-30,。然后選出其中最大的收益為-30，從而最優(yōu)行動(dòng)為樂(lè)觀準(zhǔn)則下：首先行動(dòng)，的最大收益分別為700，980，400,。然后選出其中最大的收益為980，從而最優(yōu)行動(dòng)為。 先驗(yàn)期望準(zhǔn)則下：各行動(dòng)的先驗(yàn)期望收益為 從而最優(yōu)行動(dòng)為。12. 某水果店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批蘋(píng)果投放市場(chǎng)，市場(chǎng)需求量和采購(gòu)量都在500至2000公斤之間，已知其收益函數(shù)為，假設(shè)的先驗(yàn)分布為 上的均勻分布，該店應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少蘋(píng)果可使先驗(yàn)期望收益最大？解：先驗(yàn)期望收益為當(dāng)a=1343時(shí)，先驗(yàn)期望達(dá)到最大，故應(yīng)購(gòu)進(jìn)1343公斤蘋(píng)果。 13. 設(shè)某決策問(wèn)題的收益函數(shù)為，若服從上的均勻分布，（1） 求該決策問(wèn)題的損失函數(shù)。（2） 在先驗(yàn)期望損失最小的原則下尋求最優(yōu)行動(dòng)。解：14. 一位賣(mài)花姑娘每晚購(gòu)進(jìn)鮮花第二天去賣(mài)，假設(shè)每束花的購(gòu)進(jìn)價(jià)格為1元，售價(jià)為6元，若當(dāng)天賣(mài)不掉，因枯萎而不能再賣(mài)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一天至少能賣(mài)5束鮮花，最多能賣(mài)10束鮮花。（1） 寫(xiě)出狀態(tài)集和行動(dòng)集。（2） 寫(xiě)出收益函數(shù)。（3） 在折中準(zhǔn)則下，對(duì)樂(lè)觀系數(shù)的不同值，討論賣(mài)花姑娘前一天