理論力學題庫第一章.doc

應用物理專業(yè)理論力學題庫-第一章一、 填空題1. 在質點運動學中給出質點在空間任一時刻所占據的位置，故其表示了質點的運動規(guī)律，被稱為質點的運動學方程。2. 運動質點在空間一連串所占據的點形成的一條軌跡，被稱為軌道。3. 一個具有一定幾何形狀的宏觀物體在機械運動中的物質性體現在：不能有兩個或兩個以上的物體同時占據同一空間；不能從空間某一位置突然改變到另一位置。4. 質點的運動學方程是時間的單值的、連續(xù)的函數。5. 質點的運動軌道的性質，依賴于參考系的選擇。6. 平面極坐標系中速度的表達式是 ，其中 稱為徑向速度， 稱為橫向速度。7. 平面極坐標系中，徑向速度是由位矢的量值變化引起的，橫向速度是由位矢的方向改變引起的。8. 平面極坐標系中加速度的表達式是 ，其中 稱為徑向加速度， 稱為橫向加速度。9. 自然坐標系中加速度的表達式是 ，其中兩項分別稱為 和 。10. 自然坐標系中，切向加速度是由于速度的量值改變引起的，法向加速度是由于速度的方向改變引起的。11. 對于切向加速度與法向加速度，質點運動時，只存在切向加速度，做變速率直線運動；只存在法向加速度，做勻速率曲線運動；切向加速度與法向加速度同時存在，則做變速曲線運動；切向加速度與法向加速度都不存在，則做勻速直線運動。12. 我們通常把物體相對于“靜止”參考系的運動叫做絕對運動，物體相對于運動參考系的運動叫做相對運動，物體隨運動參考系一起運動而具有相對于靜止參考系的運動，叫做牽連運動。13. 絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和。14. 絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。15. 已知是系相對于系的加速度，在相對于系作加速直線運動的參考系中觀察質點的運動時，質點的速度和加速度和在系中所觀察到的和不同，分別寫出它們的關系式：，。16. 物體如果不受其他物體的作用，其速度將保持不變。17. 物體在不受其他物體作用時保持運動狀態(tài)不變的性質，稱為慣性。18. 物體的質量是物體慣性大小的量度。19. 已知某質點的運動方程為，式中b和c都是常數，則其速度的大小為 ，加速度的大小為 。20. 某質點沿螺旋線，則其速度大小為 ，加速度的大小為 。21. 牛頓運動定律成立的參考系是 參考系。22. 牛頓運動定律不成立的參考系是非慣性參考系。23. 對于一個相對于慣性參考系作勻速直線運動的參考系，其內部所發(fā)生的一切力學過程，都不受參考系本身勻速直線運動的影響。24. 在所有相對于慣性參考系作勻速直線運動的參考系中的力學過程所遵從的規(guī)律，都與相對于靜止參考系時完全一樣。25. 相對于慣性參考系作勻速直線運動的一切參考系都是慣性參考系。26. 一切慣性參考系對所有的力學過程都是等價的，此即 原理。27. 一切慣性參考系對所有的物理過程都是等價的，此即 原理。28. 若質點不受任何約束而運動，稱為自由質點。29. 若質點受到某種約束，稱為非自由質點。30. 僅靠約束反作用力本身， （填“不能”或“能夠”）引起質點的運動。約束反作用力是 （填“主動力”或“被動力”）。在無摩擦的情況下，約束反作用力的方向沿著曲面或曲線的 （填“切向”或“法向”）。31. 若在非慣性參考系中使牛頓運動定律形式上成立，需引入 。32. 慣性力是虛擬的力，沒有施力物體，沒有反作用力。33. 相對于慣性系作加速（加速度為）平動的參考系所要加的慣性力是 。34. 所作的功只取決于初末位置，而與中間路徑無關的力稱為 力，反之稱為 力。35. 判斷一個力是保守力的條件是 。36. 保守力與相應勢能改變量之間的關系是 。保守力做正功，質點的勢能減少，保守力做負功，質點的勢能增加。37. 質點動量定理的數學表達式是。38. 質點不受外力作用時，其動量保持不變，質點作慣性運動。39. 質點角動量定理的數學表達式是。40. 質點機械能守恒的條件是：質點受到的力中，只有保守力做功。41. 比耐公式的具體形式是 。42. 開普勒第一定律的內容是 。43. 開普勒第二定律的內容是 。44. 開普勒第三定律的內容是 。45.理論力學是研究物體機械運動一般規(guī)律的科學。它的內容包括 靜力學 、 運動學 、 動力學 。46、二力平衡公理與作用反作用公理都是指大小相等、方向相反、在同一作用線上的兩個力。兩個公理的最大區(qū)別在于(二力平衡公理中二力作用于同一物體，而作用與反作用公理中作用力與反作用力作用于不同物體)。47、三鉸鐵兩半拱分別作用大小相等、轉向相反的力偶，不計自重，如圖11所示，試確定A處反力的作用線和指向(沿AB連線，由A指向B)48、在曲線運動中，動點的加速度在副法線軸上的投影a b=(0)，說明加速度總是在(密切)面內。49、動點M自坐標原點O出發(fā)，沿X軸作直線運動，其運動方程為x=9tt3，(t以s計，x以cm計)，則M點在最初6秒內所經過的路程為(54cm)50、圖16所示，輪質量為M，半徑R，現繞軸C作定軸轉動，角速度為，繞在輪上的細繩連接一質量為m的物質A，A在水平面上作平動，則此系統(tǒng)動量大小為(mR)51、如圖1.1所示結構,已知力F，ACBCADa，則CD桿所受的力FCD（ 2F ），A點約束反力FAx=（ F ）。52、如圖1.2 所示結構，,不計各構件自重，已知力偶矩M，AC=CE=a，ABCD。則B處的約束反力FB=（ ）；CD桿所受的力FCD=（ ）。53.如圖1.3所示，已知桿OA長L，以勻角速度繞O軸轉動，如以滑塊A為動點，動系建立在BC桿上，當BO鉛垂、BC桿處于水平位置時，滑塊A的相對速度vr=（ L ）；科氏加速度aC=（ 2L2 ）。 54.平面機構在圖1.4位置時， AB桿水平而OA桿鉛直，輪B在水平面上作純滾動，已知速度vB，OA桿、AB桿、輪B的質量均為m。則桿AB的動能TAB=（ mvB2， ），輪B的動能TB=（ mvB2 ）。55、如圖1.5所示均質桿AB長為L,質量為m,其A端用鉸鏈支承,B端用細繩懸掛。當B端細繩突然剪斷瞬時, 桿AB的角加速度=（ 3g/2L ， ），當桿AB轉到與水平線成300角時，AB桿的角速度的平方2=（ 3g/2L ）。56、圖1.6所示機構中,當曲柄OA鉛直向上時,BC桿也鉛直向上,且點B和點O在同一水平線上；已知OA=0.3m,BC=1m，AB=1.2m,當曲柄OA具有角速度=10rad/s時,則AB桿的角速度AB=（ 0 ）rad/s,BC桿的角速度BC=（ 3 ）rad/s。57、.自然坐標系中的法向加速度為 ，切向加速度為 。 58、.平面極坐標系中的徑向加速度為 ，橫向加速度為 。59.在介質中豎直上拋一質量為m的小球，已知小球所受阻力，若選擇坐標軸x鉛直向上，則小球的運動微分方程為_ _。60. 質量為0.5 kg的質點，受力F的作用，在光滑水平面上運動，設（t以s計，F以N計），初瞬間（t = 0）質點位于坐標原點，且其初速度為零。則t時刻，質點的速度等于，位移等于 。61一質量為10kg的質點在力的作用下運動。已知，t=0時，質點位于原點，初速度為則質點在任意時刻的速度是 ，位置為 62. 質點的法向加速度等于零的運動可能是 直線運動 或 相對靜止 。63一質量為m的小球，以速率為v0、與水平面夾角為60的仰角作斜拋運動，不計空氣阻力，小球從拋出點到最高點這一過程中所受合外力的沖量大小為 ，沖量的方向是 沿 y 軸負方向 。64今有倔強系數為k的彈簧（質量忽略不計）豎直放置，下端懸掛一小球，球的質量為m0，開始時使彈簧為原長而小球恰好與地接觸。今將彈簧上端緩慢地提起，直到小球剛能脫離地面為止，在此過程中外力作功為 。65一個質點在恒力作用下的位移為：。則這個力在該位移過程中所作的功為： ，質點的動能變化為：。66一質點沿軸運動，其加速度為a = 4t (SI制)，當t = 0 時，物體靜止于x = 10m處。則該質點的速度為：，位置x與時間t的關系式.為： 。67質點沿x軸運動，其加速度a與位置坐標的關系為a = 3 + 6x2 (SI)，如果質點在原點處的速度為零，則該質點在任意位置處的速度為： 。68已知一物體質量m，沿水平方向運動，初速度為v0，所受阻力，則該物體停止運動時，運動的距離x為：。69兩個質量不等的物體，具有相等的動能，則質量 大 的物體的動量較大。（大或小）。70兩個質量不等的物體，具有相等的動能，則質量 小 的物體的速度較大。（大或?。?1加速度為常量的質點運動形式有：勻變速直線、勻變速圓、拋體、勻變速螺旋線運動 。72勢能存在的必要條件(即積分與路徑無關的充要條件):是系統(tǒng)內力為F=F(r) ，且滿足： 73. 判斷一個力是否為保守力的充要條件為：當是坐標的單值、有限、可微函數時，等式 、 成立。74有心力的作用線始終通過 一定點 ，所以該定點的力矩為 0 ，系統(tǒng)角動量 守恒 。75a 粒子彈性散射的軌跡為：雙曲線的右半支 。76a 粒子彈性散射的盧瑟福公式對 引力、斥力 庫侖場都適用。77對同一參考點，質點所受的沖量矩等于質點 角動量 的增量。78當質點所受的對某定點的合外力矩為零時，質點對該定點的角動量為一 恒矢 量。79.各質點對質心角動量對時間的微商等于 外力對質心的力矩 之和。二、 選擇題1. 以下關于慣性力的說法正確的是（）A. 慣性力在慣性系和非慣性系中都存在；B. 慣性力沒有施力物體，不存在其反作用力；C. 慣性力是相互作用力，有其反作用力；D. 慣性力的具體表達式與參考系運動的方式無關。2. 關于有心力，下列說法錯誤的是（）A 有心力是保守力；B 有心力對力心的動量矩守恒；C 質點在有心力的作用下，必在一個平面上運動；D 有心力的方向并不總是沿著質點和力心的連線。3. 給出質點任意時刻在空間所占據的位置，它給出了質點的（ ）A 質點的運動方程； B 質點的軌道方程；C 質點的平衡方程；D 質點的動力學方程。4. 以下關于慣性系的表述錯誤的是（ ）A 相對于慣性系作勻速直線運動的一切參考系都是慣性參考系；B 一切慣性參考系對所有物理過程都是等價的；C 牛頓運動定律對任何參考系都成立；D 牛頓運動定律不成立的參考系是非慣性系。5. 以下不屬于開普勒三定律的是（ ）A 行星繞太陽作橢圓運動，太陽位于橢圓的一個焦點上；B 行星在有心力的作用下，角動量守恒； C 行星和太陽之間的連線，在相等的時間內掃過的面積相等；D 行星公轉的周期的平方與軌道半長軸的立方成正比。6.一質點以勻速率沿阿基米德螺線自外向內運動，則點的加速度: 【C】A 不能確定；B 越來越??；C 越來越大；D 等于零。7. 求解質點動力學問題時，質點的初始條件是用來【C 】A 分析力的變化規(guī)律； B 建立質點運動微分方程；C 確定積分常數； D 分離積分變量。8.一動點作平面曲線運動，若其速率不變，則其速度矢量與加速度矢量【B】A 平行； B 垂直； C 夾角隨時間變化; D不能確定。9. 已知某質點的運動方程為S=a+bt（S以米計,t以秒計，a、b為常數），則點的軌跡【A】。A 是直線；B是曲線； C 不能確定；D拋物線。10. 如圖所示，三棱柱重P，放在粗糙的水平面上，重Q的勻質圓柱體靜止釋放后沿斜面作純滾動，則系統(tǒng)在運動過程中【D】A 動量守恒，機械能守恒；B 沿水平方向動量不守恒，機械能守恒；C 沿水平方向動量守恒，機械能不守恒；D 以上說法都不正確。11. 關于質心的概念中，下列說法中正確的是【D】A 質心就是物體的幾何中心；B 質心就是物體的重量中心；C 質心一定在物體上； D 物體的質心與物體的相對位置一定不發(fā)生變化。12. 如圖所示距地面H的質點M，具有水平初速度v0，則該質點落地時的水平距離與下列哪項成正比？【D】A H； B ； C ； D 。 13. 一運動質點在某瞬時矢徑 ，其速度大小為；?！綝】14. 一質點在平面上運動，已知質點位置矢量的表達式為：（其中a、b為常量）則該質點作【B】A勻速直線運動；B. 勻變速直線運動；C拋物線運動；D. 一般曲線運動。15. 甲、乙、丙三物體的質量之比是1：2：3，若它們的動能相等，并且作用于每一個物體上的制動力都相同，則它們制動距離之比是：A1：2：3；B1：4：9；C1：1：1；D3：2：1【C】16 一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過程中【D】A它的加速度方向指向圓心，速率保持不變；B它受到的軌道的作用力的大小不斷增加；C它受到的合外力的大小變化，方向永遠指向圓心；D它受到的合外力的大小變化，速率不斷增加。17如果一個質量為m的物體自空中落下，它除受重力外，設還受到一個與速度平方成正比的阻力的作用，比例系數為k（k為正常數），則該下落物體的收尾速度（即最后物體做勻速直線運動的速度）將是：【A】（A）；（B）；（C）gk ；（D）18. 射線與重金屬原子相互作用后的軌跡一般為：【D】A 橢圓；B 拋物線；C 雙曲線的一支，焦點在凹方一側； D雙曲線的一支，焦點在凸方一側。19. 如果某質點的動能變大，則該質點的【D】A 動量變大； B 角動量變大；C 能量變大；D 不能確定。20. 如果某質點所受合外力變大，則該質點的【D】A 動量變大；B 角動量變大；C 動能變大；D不能確定。21. 如果某質點的動量變大，則該質點的【D】A 動能變大； B 角動量變大；C 能量變大；D不能確定。22. 如果某質點的角動量變大，則該質點的【D】A 動量變大； B 動能變大；C 能量變大；D不能確定。23 用水平力把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止。當逐漸增大時，物體所受的最大靜摩擦力的大小A不為零，但保持不變；B隨成正比地增大；C開始隨增大達到某一最大值后，就保持不變；D無法確定?！綛】24人造地球衛(wèi)星, 繞地球作橢圓軌道運動, 地球在橢圓的一個焦點上, 則衛(wèi)星的：(A) 動量不守恒, 動能守恒； (B) 動量守恒, 動能不守恒； (C) 角動量守恒, 動能不守恒； (D) 角動量不守恒, 動能守恒?！綜】25. 兩個力，它們的大小相等、方向相反和作用線沿同一直線。這是 D(A)它們作用在物體系統(tǒng)上，使之處于平衡的必要和充分條件；(B)它們作用在剛體系統(tǒng)上，使之處于平衡的必要和充分條件；(C)它們作用在剛體上，使之處于平衡的必要條件，但不是充分條件；(D)它們作用在變形體上，使之處于平衡的必要條件，但不是充分條件；三、簡答題1. 平均速度與瞬時速度有何不同？在上面情況下，它們一致？答：平均速度是運動質點在某一時間間隔內位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿對應的軌跡割線方向；瞬時速度是運動質點在某時刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時刻質點所在點軌跡的切線方向。在的極限情況，二者一致，在勻速直線運動中二者也一致的。2.在內稟方程中， 法線方向的加速度是怎樣產生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線方向？當質點沿空間運動時，副法線方向的加速度等于零，而作用力在副法線方向的分量一般不等于零，這是不是違背了牛頓運動定律呢？ 答：質點運動時，徑向速度和橫向速度的大小、方向都改變，而中的只反映了本身大小的改變，中的只是本身大小的改變。事實上，橫向速度方向的改變會引起徑向速度大小大改變，就是反映這種改變的加速度分量；經向速度的方向改變也引起的大小改變，另一個即為反映這種改變的加速度分量，故，。這表示質點的徑向與橫向運動在相互影響，它們一起才能完整地描述質點的運動變化情況2. 雨點以勻速度落下，在一有加速度的火車中看，它走什么路經？答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度的勻速水平直線運動的合成運動如圖所示， 3. 物體運動的速度是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？ 不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。4 在那些條件下，物體可以作直線運動？如果初速度的方向和力的方向一致，則物體是沿力的方向還是沿初速度的方向運動？試用一具體實例加以說明. 答：當速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。在曲線運動中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻既可沿初速度方向運動，也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運動，到達最高點下落過程中沿力的方向運動。 在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻的運動方向與外力的方向及初速度的方向都有關。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。 1.11 答：質點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達到任意點的速度只和初末時刻5 質點僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，達到任一點時的速度只和什么有關？為什么是這樣？假如不是光滑的將如何？答：質點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達到任意點的速度只和初末時刻的高度差有關，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結論 假如曲線不是光滑的，質點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關，還與路徑有關，故質點到達任一點的速度不僅與初末高度差有關，還與曲線形狀有關。6為什么被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否求出約束力？如不能，應當怎樣去求？答：質點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質點的運動方向，故約束力不做功，動能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質點在某位置的速度，從而得出 a ，有牛頓運動方程 F + R = ma便可求出. R ，即為約束力7.動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？已知質點受有心力作用而運動時，動量矩是守恒的，問它的動量是否也守恒？答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守恒。如質點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質點受的力并不為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。8. 在平方反比引力問題中，勢能曲線應具有什么樣的形狀？答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能，其勢能曲線如圖所示， =9.我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的交角為685，比蘇聯及美國第一次發(fā)射的都要大。我們說，交角越大，技術要求越高，這是為什么？又交角大的優(yōu)點是什么？答：地球附近的物體都受到隨地球自轉引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探測面積越大，其科學使用價值越高。10.盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？ o答：對庫侖引力場有，軌道是雙曲線的一點，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內側；若，軌道橢圓或拋物線，盧瑟福公式不適用， 仿照課本上的推證方法，在入射速度的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學的正， 負粒子的對撞試驗可驗證這一結論的近似正確性。 12人以速度向籃球網前進，則當其投籃時應用什么角度投出？跟靜止時投籃有何不同？ 答：不論人是靜止投籃還是運動投籃，球對地的方向總應指向籃筐，其速度合成如題1.6圖所示，故人以速度向球網前進時應向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實上要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。13雨點以勻速度落下，在一有加速度的火車中看，它走什么路經？14答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度的勻速水平直線運動的合成運動如題1.7圖所示，是固定于車的坐標系，雨點相對車的加速度，其相對運動方程消去的軌跡如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內側，垂直于方向的分量在改變著的方向，該軌跡上凹。15 某人以一定的功率劃船，逆流而上.當船經過一橋時，船上的漁竿不慎落入河中.兩分鐘后，此人才發(fā)現，立即返棹追趕.追到漁竿之處是在橋的下游600 米的地方，問河水的流速是多大？ vr v a答：設人發(fā)覺干落水時，船已上行，上行時船的絕對速度，則 船反向追趕竿的速度，設從反船到追上竿共用時間，則 又竿與水同速，則 +=得1. 推算極坐標系下質點速度的分量表示式。2. 推算極坐標系下質點加速度的分量表示式。3. 推算自然坐標系下質點加速度的分量表示式。4. 根據牛頓第二定律證明質點的角動量定理。5. 質點所受的力，若恒通過某一個定點，則質點必在一平面上運動，試證明之。6. 推算比耐公式。7. 由開普勒三定律推算萬有引力定律。三、 計算題1. 如質點受有心力作用而作雙紐線的運動時，試運用比耐公式證明。2. 質點沿著半徑為的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角保持不變。求：質點的速度隨時間而變化的規(guī)律。已知初速度為。3. 試自 出發(fā)，計算及。并由此推出徑向加速度及橫向加速度。4. 檢驗下列的力是否是保守力。如是，則求出其勢能。 ， 5. 沿水平方向前進的槍彈，通過某一距離s的時間為t，而通過下一等距離s的時間為t2，試證明槍彈的減速度（假定是常數）為。6. 一質點自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點自由滑下。問滑至何處，此質點將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為。7.點沿空間曲線運動，在點M處其速度為 ，加速度與速度夾角，且。求軌跡在該點密切面內的曲率半徑和切向加速度。答：由已知條件得 法向加速度則曲率半徑 切向加速度 8.一點向由靜止開始作勻加速圓周運動，試證明點的全加速度和切向加速度的夾角與其經過的那段圓弧對應的圓心角之間有如下關系證明：設點M沿半徑為R的圓作圓周運動，t時刻走過的路程為AM=s，速度為，對應的圓心角為。由題設條件知C為常數 積分(b)式得 所以將（c）式代入（a），并考慮，所以9.質點M的運動方程為 求t=1秒時，質點速度、切向加速度、法向加速度的大小。解：由于 所以有又： 則點M沿半徑為R的圓周運動。如果為已知常數），以初始位置為原點，10.原點初速度為。求點的弧坐標形式的運動方程及點的速度減少一半時所經歷的時間。解：設點的初始位置為A。依題意積分上式 得則弧坐標形式的運動方程為當時11.一質點沿圓滾線的弧線運動，如為常數，則其加速度亦為一常數，試證明之。式中為圓滾線某點P上的切線與水平線（x軸）所成的角度，s為P點與曲線最低點之間的曲線弧長。解：因 故式中=常量（題設）又 而所以故=常數 結論得證設質點沿螺旋線運動，試求質點的速度、加速度和軌道的曲率半徑。解：因故所以又所以又所以而12.小環(huán)的質量為m。套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為，試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。質點所受的力如恒通過一定點，則質點必在一平面上運動，試證明之。證明：取力通過的定點為坐標原點，則質點的位矢與力共線，則有所以質點的動量矩守恒，即其分量式為由得到由解析幾何知識知上式為一平面方程，故質點只能在這個平面上運動。一物體質量m=10kg ,在變力作用下運動。設物體初速度，開始時力的方向與速度方向相同。問經過多長時間后物體速度為零，此前走了多少路程？（知識要點）質點運動學微分方程，質點運動學第二類問題解答：由 得 積分得 再積分 得 由 解得 再代入前式得 S=7.07 m13.質點作平面運動，其速率保持為常數，試證明速度矢量與加速度矢量正交。證明：采用自然坐標系，由題意知 c為常量于是有又在自然坐標系中所以由于 故 得證動點M以勻速沿軌跡運動，求當時動點M的速度沿x和y分量的大小，以及M的加速度解：由根據求導數得而時（2）代入（1）得整理得代入（2）得又 則即又由數學知識知 而根據微分得 當 時所以有故14.某力場的力矢為 其中分別為x,y,z軸的單位矢，試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數。解： +故力場為保守力場。由 （1） 式積分得：對（4）式求偏導數得： 即上式得： 代入（4）式得：對（5）式求偏導數得：即 積分得：代入（5）式得： 取 則所以勢能函數為 某力場的力矢為試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數。解：故力場為保守力場。由 對（1）式積分得：對（4）式求偏導數得：即上式得： 代入（4）式得：對（5）式求偏導數得：即 積分得：代入（5）式得：取 則所以勢能函數為已知作用于質點上的力為式上系數都是常數，問這些滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計算其勢能。解：要滿足勢能存在須使力場為保守力場，既力場的旋度為零，所以即 即勢能存在滿足條件是： 由（1）式積分得（4）式對y偏微分=（2）式得即（5）式積分得（6）式代入（4）式得（7）式對z偏微分=（3）式得即（8）式積分得（9）式代入（4）式得取 則得勢能為15.某力場的力矢為試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數。解：由于故力場為保守力場由 積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得（6）式對z偏微分=（3）式得 積分得代（7）入（6）得取 則得勢能函數為16.有一質點在xy平面上運動，質點受到的力為，質點在平面上由點A（1,0）沿直線運動到點B（1,1）,求力所作的功解法1：由功的定義計算又所以解法2：由功的定義計算或解法3：由保守力性質計算故力場為保守力場積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得取 則得勢能函數為則由保守力與功的關系可知設作用于質點上的力場的力矢為17. 求此質點沿螺旋線運行，自至時力場所作的功解：由保守力性質計算故力場為保守力場積分（1）式得（4）式對y偏微分=（2）式得 積分得代（5）入（4）得（6）式對z偏微分=（3）式得 積分得代（7）入（6）得取 則得勢能函數為又由知當時；時則由保守力與功的關系可知18.一劃平面曲線的點，其速度在y軸上的投影于任何時刻均為常數c，試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示證明1：由 （1）式求導得 （因，故） 由此得出 又（2）=（3）得整理得 結論得證證明2： 如圖設v與y軸夾角為，則由，故有由圖示幾何關系知 即又 則有（2）代入（1）得 結論得證19、船得一初速 ，在運動中受到水的阻力，阻力的大小與船速的平方成正比，而比例系數為，其中為船的質量。問經歷多長時間船速減為其初速的一半。（15分）解：由題意知 阻力為 則船的運動方程為 即 而時 設船經歷時間為時， 積分上式得 即從而得20.質點M在力的作用下沿x軸作直線運動，在初瞬時，。 求質點的運動方程。解：由 積分 ，得 即 積分 得 點在xy平面內運動，當0x4時，點的軌跡為，當x4時，軌跡為水21.平線（如圖示）。點的x坐標按規(guī)律變化，式中x以毫米計，t以秒計。求當t=2秒時，點的位置、速度和加速度。解：當t=2秒時, ，所以點的位置坐標為 又 故速度為 所以加速度為：22、質量m=g kg的質點，在不均