多元函數(shù)的基本概念.pptVIP

7.2 多元函數(shù)的基本概念,1. n 維空間,n 元有序數(shù)組,的全體所構(gòu)成的集合記作,中的每一個(gè)元素用單個(gè)粗體字母 x 表示, 即,定義:,線性運(yùn)算,其元素稱為點(diǎn)或,n 維向量.,xi 稱為 x 的第 i 個(gè)坐標(biāo) 或 第 i 個(gè)分量.,稱為 n 維空間,的距離定義為,與零元 0 的距離為,2. 區(qū)域,(1). 鄰域,點(diǎn)集,稱為點(diǎn) P0 的 鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成,點(diǎn) P0 的去心鄰域記為,(2). 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn),設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P :, 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E,則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；,則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;,則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .,的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E ,E 的外點(diǎn)必不屬于 E ,E 的,邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(3) . 開區(qū)域及閉區(qū)域, 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集；, 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集；, 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 D 是連通的 ;, 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開區(qū)域,閉區(qū)域, 整個(gè)平面, 點(diǎn)集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域 ;,但非區(qū)域 ., 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn),A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無(wú),7.2.3多元函數(shù)的概念,引例:, 圓柱體的體積, 三角形面積的海倫公式,定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù),當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù),映射,稱為定義,在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作,例如, 二元函數(shù),定義域?yàn)?圓域,說(shuō)明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三、二元函數(shù)的極限,定義2. 設(shè) n 元函數(shù),點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù),(也稱為 n 重極限),當(dāng) n =2 時(shí), 記,二元函數(shù)的極限可寫作：,P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,對(duì)一,記作,都有,對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切,7.2.3 多元函數(shù)的極限與連續(xù),例1. 設(shè),求證:,證:,故,總有,要證,例2. 設(shè),求證：,證：,故,總有,要證, 若當(dāng)點(diǎn),趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數(shù),函數(shù),例4. 求,解: 因,而,此函數(shù)定義域 不包括 x , y 軸,則,故,2. 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義7.3,例如, 函數(shù),在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷，稱為間斷線.,故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).,在圓周,結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對(duì)任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),閉域上二元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):,解: 原式,例5.求,例6. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,備用題,1. 設(shè),求,解法1 令,1 .,設(shè),求,解