§1.8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.ppt

1,1.8 函數(shù)的連續(xù)性 與間斷點,函數(shù)的連續(xù)(continuity),函數(shù)的間斷點,小結 思考題 作業(yè),(discontinuous point),2,間變化很小時,生物生長的也很少.,在函數(shù)關系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.,在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時,單擺擺長變化也很小.,時,在高等數(shù)學中,主要的研究對象就是連續(xù)函數(shù).,這種現(xiàn)象,從直觀上不妨這樣說, 連續(xù)函數(shù)的,特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以,一筆畫成.,3,1. 函數(shù)的增量,自變量,稱差,為自變量在,的增量;,函數(shù)隨著從,稱差,為函數(shù)的,增量.,如圖:,一、函數(shù)的連續(xù)性,4,連續(xù),2. 連續(xù)的定義,定義1,設函數(shù) f (x)在,內有定義,若,則稱函數(shù)f(x)在x0處,并稱x0為函數(shù)f(x)的,連續(xù)點.,定義2,若,則稱函數(shù)f(x)在x0處,連續(xù).,充分必要條件,5,連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有,但本質相同.,f (x)在,內有定義;,(1),(2),(3),三個要素:,定義3,把極限定義嚴密化,便于分析論證.,存在;,6,一般講,證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定 義1方便;,是判斷分段函數(shù)在分界點處是否連續(xù)用,判斷函數(shù)在某點是否連續(xù),尤其,定義2方便.,某一鄰域而言.,由上述定義可知,f(x)在x0點的連續(xù)性,是描述 f(x)在x0點鄰域的性態(tài)的.,即它是對,因此在孤立點處無連續(xù)可言.,7,例,證,都是連續(xù)的.,類似可證,是連續(xù)的.,即,8,例,證,定義2,試證函數(shù),處連續(xù).,9,3. 左、右連續(xù),左連續(xù)(continuity from the,右連續(xù)(continuity from the,left);,right).,左連續(xù),右連續(xù),10,定理1,此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點,處的連續(xù)性.,11,例,解,右不連續(xù).,所以,左連續(xù),12,例,解,13,練習,設,解,因為,所以,必需且只需,即,必需且只需,即,14,4. 連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間,上的,或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間,在開區(qū)間,右連續(xù),左端點,右端點,這時也稱該區(qū)間為,continuous,左連續(xù),連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.,內連續(xù),15,關于連續(xù)函數(shù), 有一個對某些問題的推理,定理2,很有用的定理.,的一個鄰域,使得在此鄰域內,是一條無縫隙的連綿而不斷的曲線.,連續(xù)函數(shù)的圖形,16,例如,有理整函數(shù)(多項式),內是連續(xù)的.,因此有理分式函數(shù)在其定義域內的每一點,有理分式函數(shù),只要,都有,因此有理整函數(shù)在,都是連續(xù)的.,第五節(jié)中已證,17,定義4,出現(xiàn)如下三種情形之一:,二、函數(shù)的間斷點及其分類,無定義;,不存在;,間斷點.,18,間斷點分為兩類:,第二類間斷點(discontinuity point of the second kind):,第一類間斷點(discontinuity point of the first kind):,及,均存在,及,中至少一個不存在.,若,稱 為可去間斷點.,若,稱 為跳躍間斷點.,若其中有一個為振蕩,若其中有一個為,稱 為無窮間斷點.,稱 為振蕩間斷點.,19,函數(shù)的間斷點,20,可能是連續(xù)點,初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點.,分段函數(shù)的分段點可能是間斷點,也,需要判定.,21,例,討論函數(shù),解,為函數(shù)的 間斷點.,第一類,且是可去間斷點(removable discontinuity).,連續(xù).,處無定義,可去間斷點.,22,則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.,對可去間斷點x0,如果,于A,(這就是為什么將這種間斷點稱為,使之等,可去間斷點的理由.),補充 x0的函數(shù)值,或改變,23,如補充定義:,如,但,24,例,有定義,故,為f (x)的 間斷點.,第一類,的第一類間斷點.,則點x0為函數(shù) f(x) 的,且是跳躍間斷點.,跳躍型間斷點(Jump,discontinuity).,及,均存在,則點x0為,25,第一類間斷點,左右極限存在,極限不相等,極限相等、補充定義,26,例,由于函數(shù),無定義,故,為f(x)的 間斷點.,且,皆不存在.,第二類,第二類間斷點:,至少有,且是無窮型間斷點.,一個不存在.,27,例,有定義,不存在,故,為f (x)的 間斷點.,第二類,且是無窮次振蕩型間斷點.,之間來回無窮次振蕩,28,第二類間斷點,左右極限至少有一個不存在,左右極限至少有一個為無窮,左右極限至少有一個振蕩,29,例 討論,若有間斷點判別其類型，并作出圖形,解,30,31,(見下圖),無窮型,無窮次振蕩型,三、小結,1. 函數(shù)在一點連續(xù)的三個定義、必須滿足的,2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,3. 函數(shù)間斷點的分類:,間斷點,第一類間斷點:,跳躍型,可去型,第二類間斷點:,三個條件;,32,可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,無窮次振蕩型,第二類間斷點,33,思考與練習,1. 討