隱函數(shù)的導數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù).ppt

第四節(jié) 隱函數(shù)的導數(shù)、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),一、隱函數(shù)的導數(shù),二、對數(shù)求導法,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),一、隱函數(shù)的導數(shù),若由方程,可確定y是x的函數(shù),由,表示的函數(shù)，稱為顯函數(shù)。,例如,可確定顯函數(shù),可確定y是x的函數(shù) ,對于不能顯化或不易顯化隱函數(shù)如何求導？,函數(shù)為隱函數(shù).,則稱此,隱函數(shù)求導方法:,（隱函數(shù)的顯化）,將y看做中間變量，運用復合函數(shù)求導法則在方,程兩邊直接對x求導。,隱函數(shù)求導方法:,兩邊對x求導 (注意y = y(x),(含導數(shù) 的方程),例1 方程 y = x lny 確定了函數(shù) y = y (x), 求 y .,解 方程兩邊同時對 x 求導, 得,例2 設 sin(xy) - ln(x + y) = 0 確定了函數(shù) y = y (x), 求 y .,解 方程兩邊同時對 x 求導, 把 y 看成 x 的函數(shù)有,解 方程兩邊同時對 x 求導, 把 y 看成 x 的函數(shù)有,例3 設 確定了函數(shù) y = y (x), 求,代入上式，得,例4 方程 x 2 + xy + y 2 = 4 確定了y 是 x 的函數(shù)求曲線上點 (2, 2) 處的切線方程.,解 方程兩邊同時對 x 求導, 得,于是, 點(2, 2)處的切線方程為,即 x y 4 = 0.,2x + y + xy + 2yy = 0,y ( 2) = 1 (x 2),例5 求由方程,函數(shù) y 的二階導數(shù) y .,所確定的隱,解 由隱函數(shù)求導法, 得,上式兩邊再同時對 x 求導, 得,例6 設 y = y (x) 由方程,所確定, 求 y .,解 方程變形為,兩邊同時對 x 求導, 得,上式兩邊再同時對 x 求導, 得,對于有些函數(shù), 使用對數(shù)求導法求導要比通常的方法簡便. 所謂對數(shù)求導法就是先在 y = f (x), 的兩邊取對數(shù), 然后再用隱函數(shù)求導法求出 y 的導數(shù).,二、對數(shù)求導法,觀察函數(shù),對數(shù)求導法適用于多個函數(shù)相乘或冪指函數(shù),求導。,例6 y = x x (x 0), 求 y .,解 兩邊取對數(shù), 得 lny = xlnx. 上式兩邊同時對 x 求導, 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).,上述方法實際上是對冪指函數(shù)求導的一般方法, 也可以按下列方法書寫, y = x x = e x lnx, 于是,y = e x lnx (xlnx) = x x(lnx + 1).,例7 設,解 顯然函數(shù)是冪指函數(shù)，可采用對數(shù)求導法。為此先將方程兩邊取對數(shù)得,上式兩邊同時對 x 求導, 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,例8 設 x 1, x 2, 3, 4,解 如果直接利用復合函數(shù)的求導公式求這個函數(shù)的導數(shù), 將是很復雜的. 為此先將方程兩邊取對數(shù)得,上式兩邊同時對 x 求導, 把 y 看成 x 的函數(shù), 得,例如,消去參數(shù),問題: 消參困難或無法消參如何求導?,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得,事實上，,求,解：,例1 設,求在,處的切線方程。,解：,切線方程：,例2 已知擺線方程,已知,注意 :,例3. 設,求,則有,解,解：,內容小結,1. 隱函數(shù)求導法則,直接對方程兩邊求導,2. 對數(shù)求導法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除，乘方，開方表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導法,作業(yè) P91 1（1）（3）； 2（2）； 3（1）（4）； 4（1）（4）,例5.設, 且,求,解:,一般地,在直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標 x、y 都是某個變量 t 的函數(shù) -(1) 并且對于t 的每一個允許值, 由方程組(1) 所確定的點M (x,y) 都在這條曲線上,那么方程組(1) 就叫做這條曲線的參數(shù)方程, 聯(lián)系x、y 之間的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡稱為參數(shù).,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),時, 有,求,已知,1、 隱函數(shù),前面我們遇到的函數(shù)表達式是，給出自變量 x的值時直接由一個公式求得因變量 y 的值。這種方式表達的函數(shù)叫做顯函數(shù)。如，,但有時會遇到因變量與自變量的對應規(guī)則是用一個方程 F (x, y)=0 表示的函數(shù)，這種函數(shù)稱為隱函數(shù)。如，,一、隱函數(shù)的導數(shù),一般的，如果變量 x 和 y 滿足方程 F (x, y)=0，在一定條件下，當 x 在某區(qū)間內任取一值時，相應的總有滿足該方程的唯一的 y 值存在，那么就說方程 F (x, y)=0 在該區(qū)間內確定了一個隱函數(shù)。,例如，方程,當自變量 x 在-1,1內取值時，變量 y 有確定的值與之對應；如果限定y0，則當 x=0 時，y=1.,從方程中把因變量 y 解出來化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。,例如，在上半平面內(y0)從方程,但并不是所有的隱函數(shù)都能被顯化，如,由隱函數(shù)的顯化我們可以看到，所謂方程F(x, y)=0確定一個函數(shù) y=f (x) 就是將此函數(shù)代入方程，則方程F (x, y)= F (x, f(x)0成為恒等式。,就得到 x 的恒等式,也就是說，當方程中的 y 被看作隱函數(shù)時，方程就成為 x 的恒等式。關于 y 的表達式部分就看做是自變量為 x 的復合函數(shù) 形式。,2、隱函數(shù)的導數(shù),對于容易顯化的隱函數(shù)，在求其導數(shù)時可以顯化后再求導.,對于不能顯化或