數(shù)字信號處理高西全課后答案.ppt

1.4 習題與上機題解答 1. 用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。,題1圖,解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1) +2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6) 2 給定信號： 2n+5 4n1 6 0n4 0 其它 (1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫x3(n)時， 先畫x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,題2解圖（三）,題2解圖（四）,3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 ,(1),(2),解： （1） 因為= , 所以 , 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。 （2） 因為= , 所以 =16, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。,4 對題1圖給出的x(n)要求： (1) 畫出x(n)的波形； (2) 計算xe(n)= x(n)+x(n)， 并畫出xe(n)波形； (3) 計算xo(n)= x(n)x(n)， 并畫出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進行比較， 你能得到什么結(jié)論？,解：（1） x(n)的波形如題4解圖（一）所示。 (2) 將x(n)與x(n)的波形對應相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個偶對稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。 (3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。,題4解圖（一）,題4解圖（二）,題4解圖（三）,(4) 很容易證明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。 偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算， 奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。 5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0) n0為整常數(shù) （4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n) 解： （1） 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n),故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（2） 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=2x(nn0)+3 y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n) 故該系統(tǒng)是非時變的。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3 Tax1(n)=2ax1(n)+3 Tbx2(n)=2bx2(n)+3 Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n) 故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,(3) 這是一個延時器， 延時器是線性非時變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為 x(nn1) 輸出為 y(n)=x(nn1n0) y(nn1)=x(nn1n0)=y(n) 故延時器是非時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0) =aTx1(n)+bTx2(n) 故延時器是線性系統(tǒng)。,(4) y(n)=x(n) 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x(n+n0) y(nn0)=x(n+n0)=y(n) 因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。,（5） y(n)=x2(n) 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x2(nn0) y(nn0)=x2(nn0)=y(n) 故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n) 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,（6） y(n)=x(n2) 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x(nn0)2) y(nn0)=x(nn0)2)=y(n) 故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（7） y(n)= x(m) 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)= =0DD)x(m-n0) y(nn0)= x(m)y(n) 故系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)= ax1(m)+bx2(m) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（8） y(n)=x(n) sin(n) 令輸入為 x(nn0) 輸出為 y(n)=x(nn0) sin(n) y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n) 故系統(tǒng)不是非時變系統(tǒng)。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n) =aTx1(n)+bTx2(n) 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （1） y(n)= x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n),解：（1）只要N1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M， 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （3） 如果|x(n)|M， 則|y(n)| |x(k)|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設(shè)n00， 系統(tǒng)是非因果的， 因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān)。,（4）假設(shè)n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 7 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。 解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm),題7圖,y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,解法（二） 采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故,y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+ x(n2) 將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5),8. 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(nm)確定y（n）對于m的 非零區(qū)間如下: 0m3 4mn,根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： n7時， y(n)=0,最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0n3 8n 4n7 y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如題8解圖（二）所示,y(n)=,題8解圖（一）,題8解圖（二）,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5n R5(m)0.5mu(nm) y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時， y(n)=0 0n4時，,=(10.5n1)0.5n=20.5n, n5時,最后寫成統(tǒng)一表達式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5),9 證明線性卷積服從交換律、 結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) （3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 證明： （1） 因為 令m=nm, 則,(2) 利用上面已證明的結(jié)果， 得到,交換求和號的次序， 得到,10 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)， 設(shè)x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。,解：,n=0時，,n0,n=1時，,n=2時，,最后得到,11 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：,設(shè)系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應。,解： 令x(n)=(n), 則,n=0時，,n=1時，,n=2時，,n=3時，,歸納起來， 結(jié)果為,12. 設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。 解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為(n)、 (n1)、 (n)+(n1)時， 求它的輸出， 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。 （1） 令x(n)=(n), 這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。,該情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)的輸出為 y1(n)=anu(n),(2) 令x(n)=(n1)， 這時系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。,n=0時，,n=1時，,n=2時，,任意 n 時，,最后得到,(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。,n=0時，,n=1時，,n=2時，,n=3時，,任意 n 時，,最后得到,由（1）和（2）得到 y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1) y1(n)=y2(n1) 因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描寫的系統(tǒng)， 當初始條件為零時， 是一個線性時不變系統(tǒng)。,13 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣， 試寫出采樣信號 的表達式； （3） 畫出對應 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(t)的周期為,（2）,（3） x(n)的數(shù)字頻率=0.8， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2) 畫出其波形如題13解圖所示。,題13解圖,14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為,（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應； （2） 如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形。 解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應， 即,（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(nk)和x(k)對應相乘， 再相加和平均， 得到相應的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。,15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為,用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m % 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2) xn=1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31 B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系數(shù),yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸 出信號y(n) n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8) title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 )； xlabel(n)； ylabel(y(n) 程序運行結(jié)果：,yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 程序運行結(jié)果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。,題15*解圖,16*. 已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2) 分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應。 解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B1=1， A1=1， 0.6， 0.08 （2） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為 B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1,2.5 習題與上機題解答 1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n) (3) x(n) (4) x(n)*y(n) (5) x(n)y(n) (6) nx(n) (7) x(2n) (8) x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0, 即n=n+n0， 則,（2）,（3）,令n=n， 則,（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立：,令k=nm, 則,（5）,或者,（6） 因為,對該式兩邊求導， 得到,因此,（7）,令n=2n， 則,或者,（8）,利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則,（9）,令n=n/2， 則,2 已知,求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。,解：,3. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應（頻率響應函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應h(n)為實序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應為,解： 假設(shè)輸入信號x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為,上式說明當輸入信號為復指數(shù)序列時， 輸出序列仍是復指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：,上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故,4設(shè),將x(n)以4為周期進行周期延拓， 形成周期序列 ， 畫出x(n)和 的波形， 求出 的離散傅里葉級數(shù) 和傅里葉變換。,解： 畫出x(n)和 的波形如題4解圖所示。,題4解圖,或者,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運算或工作：,題5圖,(1),(2),(3),(4) 確定并畫出傅里葉變換實部ReX(ej)的時間序列xa(n)；,(5),(6),解 (1),(2),(3),（4） 因為傅里葉變換的實部對應序列的共軛對稱部分， 即,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題5解圖,(5),(6) 因為,因此,6 試求如下序列的傅里葉變換： (1) x1(n)=(n3),(2),(3) x3(n)=anu(n) 0a1 (4) x4(n)=u(n+3)u(n4) 解,(1),(2),(3),(4),或者:,7 設(shè)： （1） x(n)是實偶函數(shù)， （2） x(n)是實奇函數(shù)， 分別分析推導以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解：令,(1) 因為x(n)是實偶函數(shù)， 對上式兩邊取共軛， 得到,因此 X(ej)=X*（ej） 上式說明x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)。,由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么,因此,該式說明X(ej)是實函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實偶函數(shù)時， 對應的傅里葉變換X(ej)是實函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej),由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么,因此,這說明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,題8解圖,9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。 解：,因為xe(n)的傅里葉變換對應X(ej)的實部， xo(n)的傅里葉變換對應X(ej)的虛部乘以j， 因此,10 若序列h(n)是實因果序列， 其傅里葉變換的實部如下式： HR(ej)=1+cos 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解：,11 若序列h(n)是實因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為 HI(ej)=sin 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解：,12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為 x(n)=(n)+2(n2) 完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解 (1),(2),13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號 和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出 的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出 和x(n)的表達式； （3） 分別求出 的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解：,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中 0=0T=0.5 rad 上式推導過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2nu(n) (2) 2nu(n1) (3) 2nu(n) (4) (n) (5) (n1) (6) 2nu(n)u(n10),解 (1),(2),(3),(4) ZT(n)=10|z| (5) ZT(n1)=z10|z| (6),15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j= 0.25 rad (3),式中， N=4。,解 (1),由z41=0， 得零點為,由z3(z1)=0， 得極點為 z1, 2=0, 1 零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點相互對消。,題15解圖,(2),零點為,極點為,極零點分布圖如題15解圖(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n), 則 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2,因為,因此,極點為 z1=0, z2=1 零點為,在z=1處的極零點相互對消， 收斂域為0|z|， 極零點分布圖如題15解圖(c)所示。,16 已知,求出對應X(z)的各種可能的序列表達式。 解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為收斂域總是以極點為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)N不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5：,令,n0時， 因為c內(nèi)無極點，x(n)=0; n1時， c內(nèi)有極點 0 ， 但z=0是一個n階極點， 改為求圓外極點留數(shù)， 圓外極點有z1=0.5, z2=2， 那么,(2) 收斂域0.5|z|2:,n0時， c內(nèi)有極點0.5，,n0時， c內(nèi)有極點 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， c外極點只有一個， 即2， x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1) 最后得到,（3）收斂域|z|2:,n0時， c內(nèi)有極點 0.5、 2，,n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)，c外無極點， 所以x(n)=0。,最后得到,17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換； (2) nx(n)的Z變換； (3) anu(n)的Z變換。 解： (1),(2),(3),18 已知,分別求： （1） 收斂域0.52對應的原序列x(n)。 ,解：,（1） 收斂域0.5|z|2: n0時，c內(nèi)有極點0.5， x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2n n0時， c內(nèi)有極點0.5、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)， c外極點只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n,最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n| 2: n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2，,n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但極點0是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， 可是c外沒有極 點， 因此 x(n)=0 最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n) 19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：,(1),(2),解： (1),(2),20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：,試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。,解： 解法一,令m=n+m, 則,解法二,因為x(n)是實序列， X(ej)=X*(ej)， 因此,21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1 (2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0 n1 (3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當n3時。 解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1,n0時，,n0時， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n),(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n), y(1)=1, y(n)=0 n1,n0時，,n0時， y(n)=0 最后得到 y(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當n2時 Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0時，,y(n)=4.365 0.3n+6.375 0.5n n0時, y(n)=0 最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n),22 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡， 即|H(ej)|=常數(shù)； （2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點分布及收斂域。 解：,(1),極點為a, 零點為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度， 按照題22解圖(a)， 得到,因為角公用，,，且AOBAOC， 故,，即,故H(z)是一個全通網(wǎng)絡。 或者按照余弦定理證明:,題22解圖,（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) （1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點分布圖； （2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應h(n)； （3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1) 將上式進行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1,因此,零點為z=0。 令z2z1=0， 求出極點：,極零點分布圖如題23解圖所示。,題23解圖,(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點在內(nèi)的收斂域， 即 。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應； 另一種方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。,式中,，,令,n0時， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2,因為h(n)是因果序列, n0時， h(n)=0， 故,(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|,n0時， c內(nèi)只有極點z2， 只需求z2點的留數(shù)，,n0時， c內(nèi)只有兩個極點： z2和z=0， 因為z=0是一個n階極點， 改成求圓外極點留數(shù)， 圓外極點只有一個， 即z1, 那么,最后得到,24 已知線性因果網(wǎng)絡用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) （1） 求網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應h(n)； （2） 寫出網(wǎng)絡頻率響應函數(shù)H(ej)的表達式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1) Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1,令,n1時，c內(nèi)有極點0.9，,n=0時， c內(nèi)有極點0.9 ， 0，,最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n),（2）,極點為z1=0.9, 零點為z2=0.9。 極零點圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）,題24解圖,25 已知網(wǎng)絡的輸入和單位脈沖響應分別為 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1 （1） 試用卷積法求網(wǎng)絡輸出y(n)； （2） 試用ZT法求網(wǎng)絡輸出y(n)。 解： （1） 用卷積法求y(n)。,n0時，,n0時， y(n)=0 最后得到,（2） 用ZT法求y(n)。,，,令,n0時， c內(nèi)有極點： a、 b, 因此,因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時， y(n)=0。 最后得到,26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n) 式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0r1, =常數(shù)， 試求系統(tǒng)的響應y(n)。 解： 將題中給出的差分方程進行Z變換，,式中,，,因為是因果系統(tǒng)， 收斂域為|z|max(r, |a|)， 且n0時， y(n)=0， 故,c包含三個極點， 即a、 z1、 z2。,27 如果x1(n)和x2(n)是兩個不同的因果穩(wěn)定實序列， 求證：,式中， X1(ej)和X2(ej)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej) 進行IFT， 得到,令n=0, 則,由于x1(n)和x2(n)是實穩(wěn)定因果序列， 因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式， 得到,28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里葉變換的實部如 下式：,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。,解：,求上式的Z的反變換， 得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)為,因為h(n)是因果序列， he(n)必定是雙邊序列， 收斂域?。?a|z|a1。 n1時， c內(nèi)有極點： a，,n=0時，,c內(nèi)有極點： a、 0，,因為he(n)=he(n)， 所以,29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為,求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。,解：,令z=ej, 有,jHI(ej)對應h(n)的共軛反對稱序列ho(n)， 因此jHI(z)的反變換就是ho(n),因為h(n)是因果序列， ho(n)是雙邊序列， 收斂域取: a|z|a1。,n1時， c內(nèi)有極點： a,n=0時， c內(nèi)有極點： a、 0，,因為hI(n)=h(n), 所以,教材第3章習題與上機題解答 1 計算以下序列的N點DFT， 在變換區(qū)間0nN1內(nèi)， 序列定義為 (1) x(n)=1 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (4) x(n)=Rm(n) 0mN (5) (6) ,(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) (9) x(n)=cos(0n)RN(N) (10) x(n)=nRN(n) 解：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0kN1,(6),0kN1,(7),或,（8） 解法一 直接計算：,解法二 由DFT的共軛對稱性求解。 因為,所以,所以,即,結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。 此題驗證了共軛對稱性。 (9) 解法一 直接計算:,解法二 由DFT共軛對稱性可得同樣結(jié)果。 因為,（10） 解法一,上式直接計算較難， 可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。 因為x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n) 等式兩邊進行DFT， 得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k),故,當k=0時， 可直接計算得出X(0)為,這樣， X(k)可寫成如下形式：,解法二 k=0時，,k0時，,所以，,，即,2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k),(1),(2),其中， m為正整數(shù)， 0mN/2, N為變換區(qū)間長度。,解: （1）,n=0, 1, , N1,(2),n=0, 1, , N1,3 已知長度為N=10的兩個有限長序列：,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。,題3解圖,4 證明DFT的對稱定理， 即假設(shè)X(k)=DFTx(n)， 證明 DFTX(n)=Nx(Nk) 證： 因為,所以,由于,所以 DFTX(n)=Nx(Nk) k=0, 1, , N1 5 如果X(k)=DFTx(n)， 證明DFT的初值定理,證: 由IDFT定義式,可知,6 設(shè)x(n)的長度為N， 且 X(k)=DFTx(n) 0kN1 令 h(n)=x(n)NRmN(n) m為自然數(shù) H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1 求H(k)與X(k)的關(guān)系式。 解: H(k)=DFTh(n) 0kmN1 令n=n+lN, l=0, 1, , m1, n=0, 1, , N1, 則,因為,所以,7 證明: 若x(n)為實序列， X(k)=DFTx(n)N， 則X(k)為共軛對稱序列， 即X(k)=X*（Nk)； 若x(n)實偶對稱， 即x(n)=x(Nn)， 則X(k)也實偶對稱； 若x(n)實奇對稱， 即x(n)=x(Nn)， 則X(k)為純虛函數(shù)并奇對稱。,證: (1) 由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道， 如果將x(n)表 示為 x(n)=xr(n)+jxi(n) 則 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 其中， Xep(k)=DFTxr(n)， 是X(k)的共軛對稱分量； Xop(k)=DFTjxi(n), 是X(k)的共軛反對稱分量。 所以， 如果x(n)為實序列， 則Xop(k)=DFTjxi(n)=0， 故X(k)= DFTx(n)=Xep(k)， 即X(k)=X*(Nk)。,（2） 由DFT的共軛對稱性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n) 且 X(k)=ReX(k)+j ImX(k) 則 ReX(k)=DFTxep(n), j ImX(k)=DFTxop(n) 所以， 當x(n)=x(Nn)時， 等價于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有實部， 即X(k)為實函數(shù)。 又由（1）證明結(jié)果知道， 實序列的DFT必然為共軛對稱函數(shù)， 即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)， 所以X(k)實偶對稱。,同理， 當x(n)=x(Nn)時， 等價于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有純虛部， 且由于x(n)為實序列， 即X(k)共軛對稱， X(k)=X*(Nk)=X(Nk), 為純虛奇函數(shù)。 8 證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)： 設(shè)X(k)=DFTx(n)， Y(k)=DFTy(n)， 如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)， 則,證：,令m=k+l, 則,9 已知x(n)長度為N， X(k)=DFTx(n)，,求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。 解:,10 證明離散相關(guān)定理。 若 X(k)=X1* (k)2(k) 則,證： 根據(jù)DFT的惟一性， 只要證明,即可。,令m=l+n， 則,所以,當然也可以直接計算X(k)=X1 *(k)X2(k)的IDFT。,0nN1,由于,0nN1,所以,11 證明離散帕塞瓦爾定理。 若X(k)=DFTx(n)， 則,證：,12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)與y(n)均為長度為N的實序列。 設(shè) F(k)=DFTf(n)N 0kN1,(1),(2) F(k)=1+jN 試求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共軛對稱性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k),方法一 （1）,0nN1,由于,0n, mN1,所以 x(n)=an 0nN1 同理 y(n)=bn 0nN1 （2） F(k)=1+jN,，,方法二 令,只要證明A(k)為共軛對稱的，B(k)為共軛反對稱， 則就會有 A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k) 因為,，共軛對稱,，共軛反對稱,所以,由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n) y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n) 13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 對x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點， 采樣序列為,求有限長序列IDFTX(k)N。 解: 我們知道， , 是以2為周期的周期函數(shù)， 所以,以N為周期， 將 看作一周期序列 的DFS系數(shù)， 則,由式知 為,將式代入式得到,由于,所以,由題意知,所以根據(jù)有關(guān)X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有,由于0nN1， 所以,因此,說明： 平時解題時， 本題推導,的過程可省去， 直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。 14 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n0, 8n y(n)=0 n0, 20n 對每個序列作20點DFT， 即 X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19 Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19 試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？,解: 如前所述， 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19,15 已知實序列x(n)的8點DFT的前5個值為0.25,