計算方差-協(xié)方差矩陣.pptVIP

l e c t u r e,10,FINANCIAL MODELING,金融建模,第10章 計算方差-協(xié)方差矩陣,要計算有效投資組合，我們就必須計算股票收益數(shù)據(jù)的方差-協(xié)方差矩陣。本章中，我們將討論在Excel中怎樣實現(xiàn)這個計算。其中最顯而易見的計算為樣本方差-協(xié)方差矩陣：這是直接由歷史收益計算而得的矩陣。我們介紹幾種計算方差-協(xié)方差的方法，包括在電子表中用超額收益矩陣直接計算、VBA實現(xiàn)該方法計算。 即使樣本方差-協(xié)方差矩陣看起來像一個很明顯的選擇，但我們將用大量的文字說明它也許不是方差與協(xié)方差最好的估計。樣本方差-協(xié)方差矩陣有兩個不盡人意的缺陷：一是它常使用不現(xiàn)實的參數(shù)，二是它難以用于預(yù)測。這些將主要在10.5和10.6節(jié)中討論。作為樣本矩陣的替換，10.9和10.10節(jié)將討論用于優(yōu)化方差-協(xié)方差矩陣估計的“壓縮”方法。 在開始本章之前，你應(yīng)先閱讀第34章數(shù)組函數(shù)的內(nèi)容。里面有一些Excel函數(shù)，其參數(shù)是向量和矩陣；它們的實施與標(biāo)準(zhǔn)Excel函數(shù)略有不同。本章重點討論這些數(shù)組函數(shù)Transpose()和MMult()，還有“自制”的數(shù)組函數(shù)的使用。,10.1 引言,我們用我們的數(shù)字例子來說明計算方差-協(xié)方差矩陣的矩陣方法。我們通過減去資產(chǎn)各自的平均收益，得到超額收益矩陣（接下來的電子表中的42-52行）。在55-61行中我們計算樣本方差-協(xié)方差矩陣。,10.2.1一個稍微更有效率的替代方法 正如你所期望那樣，的確存在其他計算方差-協(xié)方差矩陣可選方法。這里所介紹的方法跳過了超額收益的計算，并且直接使用單元格B71：G76中的公式進(jìn)行計算。它通過使用數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B23：G33-B35：G35)，B23：G33-B35：G35)/10。通過寫入B23：G33-B35我們直接將每項收益減去均值得到超額收益向量：,10.3 我們應(yīng)該除以M還是M-1？Excel與統(tǒng)計量？ 在前面的計算中我們除以M-1而非M，以此得到無偏的方差和協(xié)方差的估計。不過這個選擇看起來幾乎沒有多大影響。我們引用主流的教科書：“對于為什么要用M-1取代M這兒有一段很長的歷史。如果你從來沒有聽說過，你可以參考任何一本好的統(tǒng)計教材。這里我們主要想提醒你，如果你在計算一個分布的方差時，這個分布存在已知的先驗的均值，而不需要從歷史數(shù)據(jù)估計的時候，那么M-1應(yīng)該變回M。（我們同樣想說關(guān)于在分母上用M-1替代M上，我們認(rèn)為對你是已知的，但這卻是對你不負(fù)責(zé)任的例如，試圖用圖例說明去證明一個充滿疑問的假設(shè)）” Excel本身某程度上在除以M還是M-1這個問題上也有些混亂。在下面的電子表中我們給出幾種計算均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差的方法。,Excel區(qū)分總體方差（Varp，除以M）、樣本方差（Var，除以M-1），以及總體和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（分別為Stdevp和Stdev）。但是Excel并沒有在協(xié)方差函數(shù)Covar中作此區(qū)分。你可以看到B30中Covar除以M，和Varp一樣。如果你想得到一個相應(yīng)的除以M-1的協(xié)方差函數(shù)，那么你得像單元格B33那樣用Covar乘以,，或者你需要使用像單元格B32那樣的數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B3：B13-B16)，C3：C13-C16)/10。如果Excel是完全合理的，它應(yīng)該有兩個函數(shù)：Covarp，它除以M（對應(yīng)Varp或Stdevp），以及Covar，它除以M-1（對應(yīng)Var或Stdev）。 困惑了嗎？沒關(guān)系！正如該部分開始的教科書引用指出的那樣，它不是一個至關(guān)重要的問題。,10.4計算方差-協(xié)方差矩陣的其他方法 在這一節(jié)中，我們介紹兩種替代計算方差-協(xié)方差矩陣的方法。 第一種是使用一個VBA數(shù)組函數(shù)，它可以直接計算出樣本方差-協(xié)方差矩陣。第二種是使用Excel的Offset函數(shù)。 10.4.1一個計算方差-協(xié)方差矩陣的VBA函數(shù) 我們的第一種替代方法是用一個VBA函數(shù)：,我們的第一種替代方法是用一個VBA函數(shù)：,Function VarCovar(rng.Range) As Variant Dim i As Integer Dim j As Integer Dim numCols As Integer numCols = rng. Columns.Count Dim matrix( ) As Double ReDim matrix(numCols - 1, numCols- 1) For i = j To numCols For j = 1 To numCols matrix(i - 1, j - 1) = Application.WorksheetFunction. Covar(rng.Columns(i), rng.Columns(j) Next j VarCovar=matrix End Function,這個函數(shù)是一個數(shù)組函數(shù)。（意味著它必須使用Ctrl-Shift-Enter）。下面有一個例子：,應(yīng)注意以上6只股票的GMVP包含兩個空頭（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一個非常大正向頭寸。這是一個潛在的不主張使用樣本方差-協(xié)方差矩陣計算GMVP的例子：一個尋找最小方差的投資者是不會將77%的BA和10%的MSFT的賣空得資金，投放到投資組合的61%的GE和100%的IBM上去的。這些用樣本方差-協(xié)方差矩陣計算產(chǎn)生的不合理的投資組合使得我們必須尋找各種其他方法來計算該矩陣，它們將在10.7-10.9節(jié)中討論。但在進(jìn)入這些主題之前，我們還是先討論有效投資組合的計算。,該電子表中的行16給出了每只股票在數(shù)據(jù)的最后一天的市場價值（從2004年1月開始）。行17計算出以每項資產(chǎn)的市場權(quán)重為投資比例的投資組合。市場權(quán)重和有效投資組合權(quán)重之間有顯著差別。 該電子表顯示了另外兩個利用樣本方差-協(xié)方差矩陣優(yōu)化配置投資組合所產(chǎn)生的問題。 第一個問題是，這個最優(yōu)的投資組合包含了一些非常大的賣空和一些的不切實際的非常大的多頭。在運行模擬運算表計算不同c值下的包絡(luò)線投資組合時我們發(fā)現(xiàn)，整條有效前沿均含有非常大的空頭和多頭投資組合。被標(biāo)注的部分顯示出由c變化而導(dǎo)致的變動。只有JNJ在所有包絡(luò)線組合中保持著正的權(quán)數(shù)。,如果我們認(rèn)為通過這樣的方式獲得投資組合的比例是不合理的，那么在該優(yōu)化過程中，不是方差-協(xié)方差矩陣出了問題，就是均值向量出了問題（甚至兩者都是）。我們將在本章的10.7-10.10節(jié)和第13章的Black-Litterman模型中再回到該主題上。 這個例子揭示的第二個問題與該樣本方差-協(xié)方差矩陣不像真實的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。在接下來的電子表中我們給出相關(guān)系數(shù)矩陣。在調(diào)查期內(nèi)，最大的相關(guān)系數(shù)（通用汽車公司和波音公司之間）為0.89；檢查該矩陣顯示存在一些非常大且不像真實的相關(guān)系數(shù)：有6個相關(guān)系數(shù)大于0.5。這是難以置信的！最小的相關(guān)系數(shù)（波音公司和家樂氏之間）為-0.1，這也許也是一個問題：當(dāng)波音公司的收益上升時，谷類食品銷量會下降？,使用Excel中的數(shù)組函數(shù)（見第35章），我們可以計算SIM方差-協(xié)方差函數(shù)：,這個數(shù)組函數(shù)需要被單獨提取出來： 它包含了一個If函數(shù)，我們知道它包括三部分：IF（condition，answer if condition is ture， answer if condition is false）。 條件B24：G24=A25：A30表示在行B24：G24的“跨越輸入”（它包含了一行股票名字）是和列向量A25：A30的輸入相等。為了讓大家更清楚地看到這個條件，我們在下面的電子表中插入了公式IF（B24：G24=A25：A30，1，0），可以發(fā)現(xiàn)它生成了一個對角線上為1，而其余為0的電子表：,首先，在我們的SIM方差-協(xié)方差矩陣中的第一個IF條件為IF（B24：G24=A25：A30，B18：G18，）。這說明了假如我們在對角線上，我們應(yīng)該放在資產(chǎn)的收益方差中。 其次，IF條件說明當(dāng)不在對角線上時，我們應(yīng)該輸入MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)*H18。公式MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)生成了一個,矩陣。該公式用S&P500的方差乘以該矩陣，在H列給出。,在電子表中我們通過該6只股票樣本相關(guān)系數(shù)均值來確定該常數(shù)相關(guān)系數(shù)（單元格B19）。當(dāng)然這是允許變化的：假如我們覺得股票平均相關(guān)系數(shù)在未來是0.3，那么可以從收益數(shù)據(jù)中直接估計出該方差-協(xié)方差矩陣。,目前很少理論涉及怎么選擇合適的收縮估計。我們建議選擇一個收縮因子使得GMVP所有權(quán)數(shù)均為正（詳見下一節(jié)）。,GMVP的平均收益為12.73%（單元格F17），標(biāo)準(zhǔn)差為7.73%（單元格F19）。 有一個更加簡潔的計算方法：,這是一個更加簡潔的方法，它借用了數(shù)組函數(shù)IF(A14：A19=A14：A19，1，0)來計算1的向量。,10.10.2用替代方