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1.定義,極限為零的變量稱為無窮小.,一、無窮小,第八節(jié) 無窮大與無窮小,例如,注:,無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,1. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,無窮小量性質(zhì),2. 無窮小的運算性質(zhì):,定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,注意 無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的 乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,二、無窮大,特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大,注:,無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,不是無窮大,無界，,證,定理4 在同一自變量變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,A）無窮??；,B）無窮大；,C）有界但不是無窮?。?D）無界但不是無窮大。, 選D.,思考：,解: D正確.,例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,四、無窮小的比較,定義:,記作=O()或 =O(),例1,解,例2,解,常用等價無窮小:,用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:,例如,解,定理(等價無窮小替換定理),證,五、等價無窮小代換,例3,解,不能濫用等價無窮小代換.,對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.,注意,例4,解,解,錯,例5,解,例6,例7 已知當(dāng)x0時，,是等價無窮小，求a .,1.無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較.,2.等價無窮小的替換:,求極限的又一種方法, 注意適用條件.,高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.,小結(jié),思考題,任何兩個無窮小量都可以比較嗎？,思考題解答,不能,例當(dāng) 時,都是無窮小量,但,不存在且不為無窮大,故當(dāng) 時,比較下列各對無窮小的階,1）x1時 與,2）x1時, 與2(1-x),4）x1時, 與,3）x0時, 與,解 1）,2）,與2(1-x)是同階無窮小。,3）,是比sinx tanx低階無窮

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