《彈性力學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.ppt

重慶交通大學(xué),有限元分析 巖土工程數(shù)值計(jì)算,主講：翁其能 2009年9月,地質(zhì)工程專業(yè)課,重慶交通大學(xué),第三章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)（二）,3.1 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 3.2 邊界條件 3.3 圣維南原理及應(yīng)用 3.4 虛功原理 3.5 相容方程 3.6 求解示例（位移、應(yīng)力） 3.7 常體力情況下的平面問(wèn)題,重慶交通大學(xué),3.1 平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),前面我們介紹了平面問(wèn)題的三類(lèi)基本方程：平衡微分方程、幾何方程、物理方程。下面繼續(xù)從平面問(wèn)題的靜力學(xué)方面入手，考察一下平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,重慶交通大學(xué),x,y,O,P,P,A,B,(a),(b),重慶交通大學(xué),x,y,O,重慶交通大學(xué),x,y,O,令角 ，有,求法向和切向應(yīng)力,重慶交通大學(xué),設(shè)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為零，,則該斜面上僅有正應(yīng)力，該正應(yīng)力稱為P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，而該斜面稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面，該斜面的法線方向（也即主應(yīng)力的方向）稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主向。同時(shí)存在另外一個(gè)與此方向垂直的應(yīng)力主向。,重慶交通大學(xué),小 結(jié),物體內(nèi)的應(yīng)力是與作用面有關(guān)的，前面經(jīng)常提到基本位置函數(shù) ， ， 只是表示一點(diǎn)的 x , y 坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量。在校核強(qiáng)度條件時(shí)，還要求求出通過(guò)此點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。斜面上的全應(yīng)力 p 可以分解為沿坐標(biāo)方向的分量（ ， ）或沿斜面法向、切向的分量（ ， ）。 1、首先求斜截面應(yīng)力分量（ ， ）由三角形微分體的平衡條件可得,重慶交通大學(xué),2、分別計(jì)算（ ， ）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力： 3、求出主應(yīng)力和應(yīng)力主向（Mohr圓）,重慶交通大學(xué),4、進(jìn)一步求出最大和最小的正應(yīng)力和切應(yīng)力，設(shè) ，則有：,重慶交通大學(xué),本節(jié)內(nèi)容需重點(diǎn)掌握：,平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及求解；,重慶交通大學(xué),3.2 邊界條件,表示彈性體在邊界上位移與約束、或者應(yīng)力與面力間的關(guān)系式。分為：位移邊界條件，應(yīng)力邊界條件，混合邊界條件,1、位移邊界條件：如在彈性體部分邊界 上給定約束位移分量 和 ，則對(duì)于此邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù) u 和 v 應(yīng)該滿足條件 此即平面問(wèn)題的位移（約束）邊界條件。 特殊地：對(duì)于完全固定約束， 則,重慶交通大學(xué),2、應(yīng)力邊界條件：如在彈性體部分邊界 上給定面力分量 和 ，在邊界上任一點(diǎn)取出一個(gè)微分體（見(jiàn)上節(jié)），則根據(jù)微分體平衡條件可以導(dǎo)出應(yīng)力與面力的關(guān)系式。此時(shí)，斜面 AB 即相當(dāng)于邊界，此面上的應(yīng)力分量 和 對(duì)應(yīng)于面力分量 和 ，而坐標(biāo)面上的 分別成為應(yīng)力分量的邊界值，有平衡條件得出平面問(wèn)題的應(yīng)力（面力）邊界條件：,其中 和 在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，l，m 是 邊界面外法線的方向余弦。,重慶交通大學(xué),3.混合邊界條件: 部分位移邊界條件,部分應(yīng)力邊界條件。,重慶交通大學(xué),q,y,z,y,x,l,h,1,O,O,例:圖示薄板懸梁,試確定邊界條件,重慶交通大學(xué),薄板梁內(nèi)可視為平面應(yīng)力狀態(tài),板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量中 由：,重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),補(bǔ)充作業(yè)： 圖示薄板在y方向上受均布拉力作用，試證明：板中突出部分的尖端A點(diǎn)無(wú)應(yīng)力存在。,B,o,C,A,x,y,q,q,提示：不要實(shí)際求解應(yīng)力分量?？煞謩e列出AB邊界和AC上應(yīng)力分量及其邊界條件，A點(diǎn)為兩邊交界點(diǎn)，須同時(shí)滿足兩邊的條件。,n,n,重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),3.3 圣維南原理及其應(yīng)用,從前幾節(jié)的學(xué)習(xí)可以看出，求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力、形變和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，實(shí)際問(wèn)題中邊界條件往往非常復(fù)雜，欲使邊界條件完全得到滿足，往往非常困難。為此，必須進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化。,圣維南原理,重慶交通大學(xué),圣維南原理,圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么面力作用點(diǎn)近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。,圣維南原理可以大大簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件，為計(jì)算帶來(lái)了很大便利。,重慶交通大學(xué),F,F,F,F/2,F,F/2,F/2,F/2,F/2,F/2,F,F/A,F/A,應(yīng)力分析,重慶交通大學(xué),1、不能離開(kāi)“靜力等效”的條件（力等效、力矩等效）； 2、不僅變換的面力必須與原面力靜力等效，而且只能在局部邊界上進(jìn)行靜力等效變換。原理中提到的“近處”也是指局部邊界的附近區(qū)域（根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)區(qū)域一般是變換面力邊界的12倍范圍內(nèi)，此范圍外可以認(rèn)為是“遠(yuǎn)處”）。 3、圣維南原理指出：在近處范圍內(nèi)，應(yīng)力隨面力的變換發(fā)生顯著變化；此范圍外對(duì)應(yīng)力的影響很小，可略。即：在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換，僅僅改變局部區(qū)域的應(yīng)力分布，對(duì)其他大部分區(qū)域的應(yīng)力沒(méi)有顯著影響。,應(yīng)用圣維南原理必須注意：,重慶交通大學(xué),如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（應(yīng)力主矢量和主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。如：,p,p,圣維南原理的推廣（局部影響原理）：,重慶交通大學(xué),y,重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),O,x,y,h/2,h/2,l,l,M,y,dy,重慶交通大學(xué),虛功原理及虛功方程,圖示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫(xiě)力矩平衡方程：,杠桿繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，位移位：,則：,上式以功的形式表述：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零，叫虛功原理,重慶交通大學(xué),虛功原理,進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和 這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的P A和P B所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾牟淮嬖谖灰?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?jiàn)，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,重慶交通大學(xué),虛功原理,必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。 這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖1-8中，支點(diǎn)C沒(méi)有位移，故反力所作的虛功等于零)。反之，如圖1-8中的P A和P B是在位移過(guò)程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫(xiě)虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。,重慶交通大學(xué),虛功原理,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)， 體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,重慶交通大學(xué),彈性體的虛功原理,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對(duì)剛性，沒(méi)有任何的變形，因而在方程中沒(méi)有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即： W = T - U ；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - U = 0 外力虛功T = 內(nèi)力虛功U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,重慶交通大學(xué),彈性體的虛功原理,圖示i點(diǎn)外力分量為 ，j點(diǎn)外力分量為 外力分量用 表示，相應(yīng)引起的內(nèi)力分量用 表示,重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),彈性體的虛功原理,在虛位移發(fā)生時(shí)，外力在虛位移上的虛功為：,同樣，在虛位移發(fā)生時(shí)，彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功為：,因此，在整個(gè)彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功為：,根據(jù)虛功原理：,這就是彈性變形體的虛功議程，通過(guò)虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系,重慶交通大學(xué),彈性體的虛功原理,應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時(shí)，約束力(支座反力)不做功的，因?yàn)榧s束力在其所約束的方向是沒(méi)有位移的。但是如果解除了某一個(gè)約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時(shí)，這個(gè)約束力就要在相應(yīng)的虛位移上做虛功，而這個(gè)約束力的分量及其相應(yīng)的虛位移分量就應(yīng)當(dāng)作為列矩陣及中的元素進(jìn)入虛功方程。,重慶交通大學(xué),從幾何方程可知，應(yīng)變與位移的關(guān)系，三個(gè)方程、兩個(gè)未知量，則方程組存在矛盾的可能。為解決此問(wèn)題，補(bǔ)充一個(gè)方程，這個(gè)補(bǔ)充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來(lái)得到。下面來(lái)看一看具體步驟： 首先從幾何方程中消去位移分量。,幾何方程：,（2-16）,3.5、相容方程。,重慶交通大學(xué),對(duì)y求 二階導(dǎo)數(shù),對(duì)x求 二階導(dǎo)數(shù),+,=,=,(形變協(xié)調(diào)方程或相容方程),重慶交通大學(xué),相容方程的意義：在連續(xù)性假定下，物體的變形滿足幾何方程，并且形變分量 不是互相獨(dú)立的，它們之間是相關(guān)的，必須滿足相容方程給出的條件，才能保證對(duì)應(yīng)的位移分量u和v的存在。如果形變分量 是任意選取的，不滿足相容方程，則根據(jù)三個(gè)幾何方程中的任何兩個(gè)求出的位移分量必將和第三個(gè)方程相矛盾。即：不滿足相容方程的形變分量在物體中不存在，也求不出對(duì)應(yīng)的位移分量。 下面來(lái)看一看例子：,重慶交通大學(xué),形變分量為：,顯然該形變分量不滿足相容方程( ),根據(jù)幾何方程： 可知， 應(yīng)該是一個(gè)“y的函數(shù)+x的函數(shù)”的形式，不應(yīng)該含xy項(xiàng)，這和 相矛盾。,僅為y的函數(shù),僅為x的函數(shù),驗(yàn)證其是否滿足相容方程,重慶交通大學(xué),相容方程 是用應(yīng)變分量表達(dá)的，下面我們把物理方程代入上式，從中消去形變分量，得到用應(yīng)力分量表達(dá)的相容方程。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，物理方程為：,將其代入相容方程得：,用應(yīng)力表達(dá)的相容方程。,重慶交通大學(xué),應(yīng)用平衡方程可以將上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化：消去,重慶交通大學(xué),得到以下方程：,上式即為用應(yīng)力表示的相容方程。,以上的推導(dǎo)過(guò)程是針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行的，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須做如下變換：,，,即可得到平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力相容方程：,重慶交通大學(xué),相容方程的物理意義可以從以下兩個(gè)方面說(shuō)明： 1、相容方程是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果。在物體的連續(xù)性假定下，位移分量u和v必然是連續(xù)的，由此可以導(dǎo)出幾何方程，并進(jìn)一步導(dǎo)出相容方程。 2、相容方程是形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。當(dāng)形變分量滿足了相容方程后，我們就能求出對(duì)應(yīng)的位移分量，也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)的位移存在而且必然連續(xù)。反之，不滿足相容方程的形變分量，不是物體中實(shí)際存在的，也求不出對(duì)應(yīng)的位移。定性地說(shuō)就是：在變形前，物體內(nèi)各微分體之間是連續(xù)的。在變形后，各微分體都發(fā)生了變形，只有當(dāng)形變分量滿足相容方程的情況下，各微分體才能保持連續(xù)，既不互相重疊，也不互相脫離。下面我們從一個(gè)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的例子來(lái)理解一下這個(gè)含義。,重慶交通大學(xué),1,2,3,圖中三個(gè)連桿在變形前共同鉸接于 點(diǎn)。受力后發(fā)生變形，必然在 繼續(xù)保持共點(diǎn)，也就是說(shuō)，三根桿之間的形變之間必須保持協(xié)調(diào)。,重慶交通大學(xué),本節(jié)內(nèi)容需重點(diǎn)掌握：,1、圣維南原理的內(nèi)容、應(yīng)用圣維南原理時(shí)必須注意的問(wèn)題。,2、虛功原理。,3、相容方程的意義，判斷應(yīng)變分量是否滿足相容方程,重慶交通大學(xué),作業(yè) 驗(yàn)證下面的應(yīng)變分量是否可能發(fā)生：,式中a為常數(shù),重慶交通大學(xué),1、位移法（按位移求解）取位移分量為基本未知量(函數(shù))，從各方程和邊界條件中消去應(yīng)力和形變分量，導(dǎo)出只含有位移分量的方程(函數(shù))和邊界條件。由此解出位移分量，并進(jìn)而求出形變分量和應(yīng)力分量。（類(lèi)似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法）,2、應(yīng)力法（按應(yīng)力求解）取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從各方程和邊界條件中消去位移和形變分量，導(dǎo)出只含有應(yīng)力分量的基本方程和邊界條件。由此解出應(yīng)力分量，并進(jìn)而求出形變分量和位移分量。 （類(lèi)似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法）,平面問(wèn)題的求解方法分為兩大類(lèi),重慶交通大學(xué),2、平面問(wèn)題基本方程：,平衡微分方程：,幾何方程：,物理方程：,重慶交通大學(xué),平面問(wèn)題中共有8個(gè)未知函數(shù)：3個(gè)應(yīng)力分量、3個(gè)形變分量、2個(gè)位移分量。它們必須滿足彈性體區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程、物理方程以及邊界上的應(yīng)力或位移邊界條件。,應(yīng)力邊界條件：,位移邊界條件：,重慶交通大學(xué),下面以平面應(yīng)力問(wèn)題為例，看一看按位移求解的基本步驟。 1、取u和v為基本未知函數(shù)。 2、將其他未知函數(shù)用基本未知函數(shù)u和v表示。 首先，直接采用幾何方程將形變分量用u和v表示。 其次，將應(yīng)力分量用u和v表示。這一過(guò)程可分兩步：先用物理方程將應(yīng)力分量用形變分量來(lái)表示。即,3.6 按位移求解平面問(wèn)題,重慶交通大學(xué),將幾何方程代入上式，將應(yīng)力分量進(jìn)一步用u和v來(lái)表示。即,重慶交通大學(xué),重慶交通大學(xué),3、將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入?yún)^(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，得到用位移分量表示的平衡微分方程：,在 上的位移邊界條件仍然表示為：,重慶交通大學(xué),4、將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入 上的應(yīng)力邊界條件，得到用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件：,在 上的位移邊界條件仍然表示為：,重慶交通大學(xué),歸納起來(lái)講，平面應(yīng)力問(wèn)題按位移求解方法，就是要使位移分量u和v滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，并在邊界 上滿足應(yīng)力邊界條件，在 上滿足位移邊界條件。解出位移分量后，在根據(jù)幾何方程求出形變分量，進(jìn)而根據(jù)物理方程求出應(yīng)力分量。,平面應(yīng)變問(wèn)題步驟類(lèi)似，只須做簡(jiǎn)單變換：,，,位移法是彈性力學(xué)的一種基本解法，能適應(yīng)各種邊界條件問(wèn)題的求解。但由于用位移分量表示的基本方程和邊界條件形式比較復(fù)雜，因此求解較為困難，已經(jīng)得出的函數(shù)解答很少。,重慶交通大學(xué),y,O,x,h,例題：上端為固定,下端為自由,受自重體力:,例題求解：本例問(wèn)題可簡(jiǎn)化為y方向上的一維問(wèn)題，設(shè)：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,重慶交通大學(xué),y,O,x,h,例題求解：本例問(wèn)題可簡(jiǎn)化為y方向上的一維問(wèn)題，設(shè)：u=0,v=v(y),泊松比=0，代入位移分量表示的平衡方程：,第一式自然滿足，由第二式得：,上邊：,下邊：,由物理方程得,重慶交通大學(xué),y,O,x,h,上邊：,下邊：,重慶交通大學(xué),3.7 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題,按應(yīng)力求解的方法，我們?nèi)砸云矫鎽?yīng)力問(wèn)題為例（對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將E,作簡(jiǎn)單變換即可）闡述其基本步驟： 1、取 和 為基本未知函數(shù)。 2、將其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示。形變分量可通過(guò)物理方程用應(yīng)力來(lái)表示，再由形變分量求解位移分量。這是一個(gè)積分過(guò)程，因此，位移分量用應(yīng)力分量表示的公式一般含有積分帶來(lái)的未定項(xiàng)，形式比較復(fù)雜。這就使得位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。因此，再按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。,重慶交通大學(xué),兩個(gè)平衡微分方程中只包含應(yīng)力分量，可以作為求解應(yīng)力的分量。但應(yīng)力分量有三個(gè)，方程只有兩個(gè)，還缺少一個(gè)方程。這個(gè)補(bǔ)充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來(lái)得到。就是變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。,3、在彈性體區(qū)域內(nèi)導(dǎo)出求解應(yīng)力的基本方程,重慶交通大學(xué),應(yīng)用平衡方程可以將上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化：消去,重慶交通大學(xué),得到以下方程：,上式即為用應(yīng)力表示的相容方程。,以上的推導(dǎo)過(guò)程是針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行的，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須做如下變換：,，,即可得到平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力相容方程：,重慶交通大學(xué),4、應(yīng)力邊界條件。如果全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件，則有：,重慶交通大學(xué),2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），取應(yīng)力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件),重慶交通大學(xué),單連體,多連體,重慶交通大學(xué),小 結(jié),1、按位移求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），取位移分量u和 v為基本未知函數(shù)，u和 v 必須滿足下列全部條件： (1)用位移表示的平衡微分方程,(2)用位移表示的應(yīng)力邊界條件,(3)位移邊界條件：,重慶交通大學(xué),2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），取應(yīng)力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件),重慶交通大學(xué),本節(jié)需重點(diǎn)掌握的內(nèi)容：,1、按位移求解平面問(wèn)題的步驟及基本未知函 數(shù)須滿足的條件；,2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的步驟及基本未知函 數(shù)須滿足的條件。,重慶交通大學(xué),3.7 常體力情況下的簡(jiǎn)化應(yīng)力函數(shù),重慶交通大學(xué),3.7 常體力情況下的簡(jiǎn)化應(yīng)力函數(shù),在很多的工程問(wèn)題中，體力為常量，即體力分量 和 不隨坐標(biāo) x 和 y 而變化。例如重力和常加速度下平行移動(dòng)時(shí)的慣性力，就是常見(jiàn)的常量體力。在體力為常量的情況下，彈性力學(xué)問(wèn)題的求解可以得到大大簡(jiǎn)化。 在介紹本節(jié)內(nèi)容之前，為了便于理解，我們把前面幾節(jié)學(xué)過(guò)的彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程、邊界條件等知識(shí)再簡(jiǎn)單回顧一下。,重慶交通大學(xué),2、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題），取應(yīng)力分量 和 為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件： (1) 平衡微分方程,(2) 相容方程,(4) 若為多連體，還須滿足位移單值條件。,(3) 應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件),重慶交通大學(xué),5、按應(yīng)力求解時(shí)的相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）,（2-21）,（二）平面應(yīng)變問(wèn)題,（2-22）,（一）平面應(yīng)力問(wèn)題,重慶交通大學(xué),常體力情況下的簡(jiǎn)化,在常體力情況下，相容方程（2-21）和（2-22）的右邊成為零，因此兩種平面問(wèn)題的相容方程都簡(jiǎn)化為,即：在常體力情況下， 應(yīng)當(dāng)滿足拉普拉斯微分方程即調(diào)和方程，也就是說(shuō)， 應(yīng)當(dāng)是調(diào)和 函數(shù)。為了書(shū)寫(xiě)方便，以下用記號(hào) 代表 ，則上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為,（2-23）,重慶交通大學(xué),考察平面問(wèn)題的平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件可以看出，在體力為常量的情況下，上述各式中都不包含彈性常數(shù)，因而以上方程和邊界條件對(duì)于兩種平面問(wèn)題都是相同的。,因此可以得出如下結(jié)論：,當(dāng)體力為常量時(shí)，在單連體的應(yīng)力邊界問(wèn)題中，如果兩個(gè)彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力作用，那么，不管這兩個(gè)彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應(yīng)力情況下還是在平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量 和 的分布是相同的。,注意：兩種平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量 、以及形變和位移卻不一定相同。,重慶交通大學(xué),根據(jù)以上結(jié)論，如果物體邊界相同且受同樣外力作用，則：,2、針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題而求出的應(yīng)力分量同樣也適用于平面應(yīng)變問(wèn)題。,1、由某種材料構(gòu)成的物體求出的應(yīng)力分量同樣也適用于其他材料構(gòu)成的物體；,上述特點(diǎn)給彈性力學(xué)試驗(yàn)應(yīng)力分析及其在工程上的應(yīng)用帶來(lái)了極大的便利和經(jīng)濟(jì)效益。比如：在用實(shí)驗(yàn)方法量測(cè)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的應(yīng)力分量時(shí)，可以用便于加工和量測(cè)的材料來(lái)制造模型，以代替原來(lái)不便于加工和量測(cè)的材料；也可用低廉的材料代替昂貴的材料。又如，我們還可以用平面應(yīng)力情況下的薄板模型來(lái)代替平面應(yīng)變情況下的長(zhǎng)柱形結(jié)構(gòu)或構(gòu)件。,重慶交通大學(xué),光彈試驗(yàn)示意圖,重慶交通大學(xué),由以上討論可見(jiàn)，在體力為常量的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量 和 應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程,（a）,以及相容方程,（b）,在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件。多連體須滿足位移單值條件。,重慶交通大學(xué),平衡微分方程（a）是一個(gè)非齊次微分方程組，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，該方程組的解答包含兩部分：任意一個(gè)特解 + 對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解。,特解可取: , ,或者: , ,或者: ,重慶交通大學(xué),（c）,對(duì)應(yīng)的齊次方程為:,彈性力學(xué)問(wèn)題中偏微分方程組的求解一般都很復(fù)雜，英國(guó)數(shù)學(xué)家艾里對(duì)此進(jìn)行了研究，給出了一種簡(jiǎn)化的解法。,重慶交通大學(xué),艾里（G.B.Airy） （1801-1892） 英國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家 1862年，發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論，提出了應(yīng)力函數(shù)解法。,重慶交通大學(xué),求解: 設(shè)函數(shù) ,根據(jù)微分方程理論，在二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下,該函數(shù)對(duì) x , y 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)具有相容性，即,求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)。,根據(jù)這一性質(zhì)，假如函數(shù)C和D滿足: 則一定存在某一函數(shù) f ，使得 ,重慶交通大學(xué),將齊次微分方程組（c）的第一個(gè)方程改寫(xiě)為,由上述分析可知，一定存在某一個(gè)函數(shù) ，使得下面兩式成立 ，,同理，將齊次微分方程組的第二個(gè)方程改寫(xiě)為,則一定也存在某一個(gè)函數(shù) ，使得 ，,重慶交通大學(xué),考察方框內(nèi)公式，可以很顯然得到：,再次應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性 必然存在某個(gè)函 數(shù) ，使得,重慶交通大學(xué),將A、B代回 、 、 的表達(dá)式可得：,重慶交通大學(xué),將A、B代回 、 、 的表達(dá)式可得：,齊次方程的通解,，,，,將此通解與任一組特解相疊加，即得到平衡微分方程的全解：,，,，,重慶交通大學(xué),這里的函數(shù) 稱為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)，又稱為艾里應(yīng)力函數(shù)（Airy stress function ） 艾里在1862年首先提出這個(gè)概念。 由于上述全解是從平衡微分方程得出的解答，所以必然滿足該方程。同時(shí)，推導(dǎo)全解的過(guò)程本身也證明了應(yīng)力函數(shù) 的存在性。特別需要指出的是，雖然應(yīng)力函數(shù) 依然是一個(gè)待定的未知函數(shù)，但是三個(gè)應(yīng)力分量 ， 和 用 來(lái)表示后，可以使平面問(wèn)題的求解得到很大的簡(jiǎn)化：待求的未知函數(shù)從3個(gè)變?yōu)?個(gè)，并從求解應(yīng)力分量 ， 和 變換為求解應(yīng)力函數(shù) 。,重慶交通大學(xué),應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的條件,全解中所表示的應(yīng)力分量應(yīng)該滿足相容方程：,將 的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)代入上式得：,常量,重慶交通大學(xué),進(jìn)一步簡(jiǎn)化：,上式即為應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。從中可看出：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足重調(diào)和方程，也就是說(shuō)，它是重調(diào)和函數(shù)。,綜上所述，在常體力的情況下，彈性力學(xué)平面問(wèn)題中存在著一個(gè)應(yīng)力函數(shù) 。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，可以歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù) ，并使其滿足以下條件:,(1) 區(qū)域內(nèi)的相容方程；,(3) 對(duì)于多連體，還必須滿足位移單值條件。,(2) 邊界上的應(yīng)力邊界條件(設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)；,重慶交通大學(xué),應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程,重慶交通大學(xué),小 結(jié),1、常體力情況下，相容方程簡(jiǎn)化為（調(diào)和方程）,2、如果滿足以下三個(gè)條件： （1）體力為常量； （2）邊界形狀相同且均為應(yīng)力邊界條件（無(wú)位移條件）； （3）彈性體為單連體（位移單值條件自然滿足）。 則求解應(yīng)力分量 和 的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件中均不包含任何彈性常數(shù)，得出的應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。這一特點(diǎn)帶來(lái)了