九年級數(shù)學(xué)圓有關(guān)的角一周強化滬教版.doc

與圓有關(guān)的角一周強化一、一周知識概述(一)圓周角1、頂點在圓上，兩條邊都和圓相交的角叫做圓周角2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半3、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于90；90的圓周角所對的弦是直徑4、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的內(nèi)對角(二)弦切角1、弦切角：頂點在圓上，一條邊和圓相交，另一條邊和圓相切的角叫做弦切角2、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角二、重點難點疑點突破1、對圓周角的理解定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半突破：如圖，AOB與ACB是對的圓心角與圓周角，故有：，AOB=2ACB，ACB的度數(shù)等于的度數(shù)一半定理的作用是勾通圓心角，圓周角之間的數(shù)量關(guān)系定理的證明(1)為什么要分情況證明？應(yīng)不應(yīng)分情況，主要看各種情況的證明方法是否相同，相同，不分情況；不同，則必須分情況，而且分情況要分得正確，不能重復(fù)或遺漏而圓周角定理的證明，分三種情況，它們的證法都不相同，故要分情況證明(2)如何分類討論？以圓上任意一點為頂點的圓周角，雖然有無數(shù)多個，但它們與圓心的位置關(guān)系，歸納起來有三種情況：圓心在角的一邊上；圓心在角的內(nèi)部；圓心在角的外部(3)如何證明定理？先證明第一種情況，再用第一種情況證明第二、三種情況2、對圓周角定理的兩個推論的理解(1)推論1：是圓中證角相等最常用的方法之一若將推論1中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立了因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，一般情況不相等(如圖中的1與2)推論1中“相等的圓周角所對的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”離開這個前提條件，結(jié)論不成立(如圖中的)(2)推論2應(yīng)用廣泛，一般地，如果題目中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角直角；如果需要直角或證明垂直時，也往往作出直徑即可解決問題，推論也是證明弦是直徑常用的辦法3、對圓的內(nèi)接四邊形定理的理解(1)“內(nèi)對角”是圓內(nèi)接四邊形的專用名詞，是指與四邊形的一個外角相鄰的內(nèi)角的對角(2)定理的另一個含義是對角和相等(都為180)(3)定理是證明與圓有關(guān)的兩角相等或互補關(guān)系的重要依據(jù)(4)使用定理時，要注意觀察圖形，不要弄錯四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置4、對弦切角的理解弦切角所夾的弧是構(gòu)成弦切角的弦所對的夾在弦切角內(nèi)部的一條弧弦切角定理的證明可以仿照圓周角定理的證明，也分三種情況，第一種情況是特殊情況，其它兩種是一般情況，可通過作輔助線轉(zhuǎn)化為第一種情況弦切角可以是銳角、鈍角、直角，一條切線和過切點的弦形成兩個弦切角弦切角=它所夾弧對的圓周角=所夾弧對的圓心角的一半=所夾弧的度數(shù)一半三、解題方法技巧點撥1、圓心角、圓周角和弧之間的換算例1、已知：如圖，AB為O的直徑，弦CD交AB于P，且APD=60，COB=30，則ABD=_度 例2、如圖，ABC中，AB=AC，A=80，以AB為直徑的半圓交AC于D，交BC于E求的度數(shù) 2、圓內(nèi)角、圓外角、圓周角、弧之間的運算題圓內(nèi)角：角的頂點在圓內(nèi)的角叫做圓內(nèi)角圓外角：角的頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角例3、如圖，圓的弦AB、CD延長線交于P點，AD、BC交于Q點，P=28，AQC=92，求cosABC的值 點評：1）圓內(nèi)角與圓外角都通過圓周角建立聯(lián)系2）同弧對的圓內(nèi)角、圓外角、圓周角之間的大小關(guān)系是：圓內(nèi)角圓周角圓外角3）圓內(nèi)角等于它所對弦對的圓周角與它對頂角所對的弧對的周角之和(如圖，AQC=ABCA)4）圓外角等于它所截兩條弧所對的圓周角之差(如圖，P=ABCA)3、與圓周角有關(guān)的證明例4、如圖，ABC內(nèi)接于O，AEBC于D，交O于E，AF為O的直徑求證：BAF=CAE 思考：此題還可以證明以下結(jié)論：(1)；(2)ABAC=ADAF；(3)若過O作ONAB于N，則ON與CE之間有何數(shù)量關(guān)系？提示：(1)的度數(shù)=2ACB，的度數(shù)=2CAE，而ACBCAE=90故可證(2)可證ABFADC(3)連結(jié)BF，可知有BF=CE，另由三角形中位線定理知點評：圓中有垂直弦(或垂直條件)時，常作直徑對的圓周角得平行弦，再用平行弦夾的弧相等來證題例5、如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，O的直徑BD交AC于E，AFBD于F，延長AF交BC于G求證：AB2=BGBC 點評：這里連結(jié)AD構(gòu)造直徑對的圓周角，進而運用了推論2，這是證明本題的關(guān)鍵 4、與圓的內(nèi)接四邊形的有關(guān)計算問題例6、如圖，已知AB是半圓O的直徑，BAC=40，D是AC上任意一點，那么D的度數(shù)是_ 另外計算題還有以下幾個題型：與圓心角組合的題，主要利用同弧對的圓心角與圓周角關(guān)系解題；已知三個角的份數(shù)比求第四個角；主要利用對角的份數(shù)和相等解題，先由已知份數(shù)的這組對角求出一份的度數(shù)，再根據(jù)未知角的份數(shù)求出這個角的度數(shù)例7、已知：四邊形ABCD內(nèi)接于O，且BOD=100求A的度數(shù)分析：如圖，(1)(2)點A的位置有兩種可能：一是點A在BOD的內(nèi)部時如(1)圖；二是點A在BOD的外部時如圖(2)故A有兩個值5、與圓的內(nèi)接四邊形有關(guān)的證明問題例8、如圖，已知：AB是O的直徑，弦CDAB于E，G是上任意一點，AG、DC的延長線交于F求證：FGC=AGD注意：本題還可以有另外的考慮：如連結(jié)BC，用上述證明類似的步驟可以證明得結(jié)論；又如連結(jié)BG，證明BGD=BGC，通過等角的余角相等也可以證得結(jié)論點評：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通圓外角和圓內(nèi)角的橋梁，此題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形變換：此題條件不變，問DGCG是否與AGFG相等(提示：相等，只須證ADGCFG)是否有AC2=AGAF成立(提示：成立，只須證ADGAFD，有AD2=AGAF=AC2)6、與弦切角有關(guān)的計算例9、如圖，CE切O于B，直徑DA的延長線交CE于E，且的度數(shù)為40，則E=_例10、如圖，BC切O于B，且ABC=30，AB=4，則O的半徑為_點評：弦切角的有關(guān)計算，主要是考查弦切角與它所夾的弧，及此弧對的圓心角