高中數(shù)學(xué)第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例學(xué)案含解析.docx

二 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1貝努利不等式如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx.2貝努利不等式的推廣當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)時(shí)，(1)若01)；(2)若1或1)3利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，難點(diǎn)是由nk時(shí)命題成立推出nk1時(shí)命題成立這一步為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設(shè)，還要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明：2n2n2，nN*.當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN*)時(shí)，不等式成立當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，則k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)，原不等式對(duì)于任何nN都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為滿足題目的要求，常常要采用“湊”的手段，一是湊出假設(shè)的形式，便于用假設(shè)；二是湊出結(jié)論的形式，再證明1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2，nN*)證明：當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立，即.當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由知，原不等式對(duì)一切n2，nN*均成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(n2，nN*)證明：當(dāng)n2時(shí)，12，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)不等式成立，即12.當(dāng)nk1時(shí)，12Qn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時(shí)，Pn0.所以0an11，且0a11.所以0an1.所以an11，且a11.所以an2，所以|ak2ak1|對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解：取n1，.令a.n1時(shí)，已證結(jié)論正確假設(shè)nk(kN*)時(shí)，則當(dāng)nk1時(shí)，有.，0.即nk1時(shí)，結(jié)論也成立由可知，對(duì)一切nN*，都有.故a的最大值為25.課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十三)1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()A1 B2C1,2 D以上答案均不正確解析：選A需驗(yàn)證n01時(shí)，x11成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D6解析：選Cn取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“11)”時(shí)，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1 B2k1 C2k D2k1解析：選C由nk到nk1，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k項(xiàng)4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析：選D選項(xiàng)A、B與題設(shè)中不等號(hào)方向不同，故A、B錯(cuò)；選項(xiàng)C中，應(yīng)該是k3時(shí)，均有f(k)k2成立；選項(xiàng)D符合題意5證明11)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_解析：當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為213.答案：21”時(shí)，n的最小取值n0為_解析：左邊為(n1)項(xiàng)的乘積，故n02.答案：27設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)(nN*)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：當(dāng)n1時(shí)，MabN.當(dāng)n2時(shí)，M(ab)2，Na22abM.當(dāng)n3時(shí)，M(ab)3，Na33a2b22，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立，即(12k)k2.則當(dāng)nk1時(shí)，有左邊(12k)(12k)(k1)1k21(k1).當(dāng)k2時(shí)，11，左邊k21(k1)k22k1(k1)2.這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由可知當(dāng)n1時(shí)，不等式成立9設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a3時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113；由a23，得a3a2a214；由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即akk2.那么，當(dāng)nk1時(shí)，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)2.根據(jù)和，對(duì)于所有n1，有ann2.10設(shè)aR，f(x)是奇函數(shù)(1)求a的值；(2)如果g(n)(nN*)，試比較f(n)與g(n)的大小(nN*)解：(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.故a1.(2)f(n)g(n).只要比較2n與2n1的大小當(dāng)n1,2時(shí)，f(n)2n1，f(n)g(n)下面證明，n3時(shí)，2n2n1，即f(x)g(x)n3時(shí)，23231，顯然成立，假設(shè)nk(k3，kN*)時(shí)，2k2k1，那么nk1時(shí)，2k122k2(2k1)2(2k1)4k22k32k10(k3)，有2k12(k1)1.nk1時(shí)，不等式也成立由可以判定，n3，nN*時(shí)，2n2n1.n1,2時(shí)，f(n)g(n)本講高考熱點(diǎn)解讀與高頻考點(diǎn)例析考情分析通過(guò)分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，還考查用數(shù)學(xué)歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的正確性數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過(guò)變化分子或分母，通過(guò)裂項(xiàng)相消等方法達(dá)到證明的目的真題體驗(yàn)1(江蘇高考)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù)(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n6時(shí)，寫出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)滿足：若a1，則b1,2,3,4,5,6；若a2，則b1,2,4,6；若a3，則b1,3,6.所以f(6)13.(2)當(dāng)n6時(shí)，f(n)(tN*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n6時(shí)，f(6)6213，結(jié)論成立假設(shè)nk(k6)時(shí)結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：a若k16t，則k6(t1)5，此時(shí)有f(k1)f(k)3k23(k1)2，結(jié)論成立；b若k16t1，則k6t，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立；c若k16t2，則k6t1，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；d若k16t3，則k6t2，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；e若k16t4，則k6t3，此時(shí)有f(k1)f(k)2k22(k1)2，結(jié)論成立；f若k16t5，則k6t4，此時(shí)有f(k1)f(k)1k21(k1)2，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對(duì)滿足n6的自然數(shù)n均成立2(安徽高考)設(shè)實(shí)數(shù)c0，整數(shù)p1，nN*.(1)求證：當(dāng)x1且x0時(shí)，(1x)p1px；(2)數(shù)列an滿足a1c，an1ana.求證：anan1c.證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)p2時(shí)，(1x)212xx212x，原不等式成立假設(shè)pk(k2，kN*)時(shí)，不等式(1x)k1kx成立當(dāng)pk1時(shí)，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以pk1時(shí)，原不等式也成立綜合可得，當(dāng)x1，x0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明anc.當(dāng)n1時(shí)，由題設(shè)a1c知anc成立假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.當(dāng)nk1時(shí)，a1.由akc0得11p.因此ac，即ak1c.所以nk1時(shí)，不等式anc也成立綜合可得，對(duì)一切正整數(shù)n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.歸納猜想證明不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納猜想證明的方法來(lái)解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問(wèn)題已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an52n2(n2，nN*)(2)當(dāng)n2時(shí)，a252225，等式成立假設(shè)nk時(shí)成立，即ak52k2(k2，kN*)，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故nk1時(shí)公式也成立由可知，對(duì)n2，nN*有an522n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)an數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題必須分兩個(gè)步驟：第一步論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；第二步推證命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)特征求證tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2，nN*)當(dāng)n2時(shí)，左邊tan tan 2，右邊222tan tan 2，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk.當(dāng)nk1時(shí)，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)kkk(k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由和知，n2，nN*時(shí)等式恒成立用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)(2n1)能被6整除當(dāng)n1時(shí)，123顯然能被6整除假設(shè)nk時(shí)，命題成立，即k(k1)(2k1)2k33k2k