高量17-角動(dòng)量耦合.pptVIP

討論討論 角動(dòng)動(dòng)量J1和J2的共同本征矢量 與J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量 之間間的關(guān)系，是兩組組基矢之間間的關(guān)系。 23-1 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合 互相對易的兩個(gè)角動(dòng)量算符J1和J2，它們的矢量和 算符是 J1和J2可以是系統(tǒng)兩個(gè)子系統(tǒng)的角動(dòng)量，這時(shí)J就是 大系統(tǒng)的總角動(dòng)量；也可以是同一個(gè)系統(tǒng)不同的角 動(dòng)量，如一個(gè)電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量，這 時(shí)J就是電子的總角動(dòng)量。 23 角動(dòng)量的耦合 1 一、Clebsch-Gordan系數(shù)（CG系數(shù)） 任何系統(tǒng)所在的Hilbert空間總可以寫成兩個(gè)空間 的直積： 其中 不受空間轉(zhuǎn)動(dòng)的影響， 在空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 要發(fā)發(fā)生相應(yīng)應(yīng)的變變化。 后一空間間的基矢就是這這個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)角動(dòng)動(dòng)量本征矢量。 子系統(tǒng)統(tǒng)2的相應(yīng)應(yīng)量為為， 和 和 大系統(tǒng)統(tǒng)的總總角動(dòng)動(dòng)量為為 設(shè)設(shè)子系統(tǒng)統(tǒng)1的角動(dòng)動(dòng)量算符為為 ，本征矢量為為 和 本征矢量為為 2 描寫大系統(tǒng)統(tǒng)的態(tài)態(tài)矢量隨空間轉(zhuǎn)動(dòng)間轉(zhuǎn)動(dòng) 而變變的那 一部分，從兩個(gè)子系統(tǒng)統(tǒng)角度講講是在空間間 中，而從大系統(tǒng)統(tǒng)的角度講講，是在空間間 中，兩組組基矢所張張的空間間是同一個(gè)空間間，兩 組組基矢可以通過過一個(gè)幺正變換變換 相聯(lián)聯(lián)系。 ， 3 和 ，取固定的 和的關(guān)系為為 式中 可寫成 式中 是在這這確定的子空間間中的兩組組基矢變換變換 的 不耦合表象： 耦合表象： 幺正矩陣，稱為CG系數(shù)，Wigner系數(shù)或矢量耦合系數(shù)。 4 二、由j1和j2確定j 1. 重要關(guān)系 j1和j2取定的子空間，從不耦合表象看，是 (2j1+1)(2j2+1)維的。耦合表象的基矢也應(yīng)該是 (2j1+1)(2j2+1)個(gè)，由此看j的取值范圍。 對23.3 兩邊邊用分別別作用，有 即 由此得 5 設(shè)設(shè)，即可以表示成 的疊加， 上式兩邊邊用作用（）， 當(dāng)左邊的m由于受到J的作用變?yōu)閙時(shí)，(-j mj)，右邊的m1和m2也由于受到J1和J2的作用 取不同的值，而且不會(huì)所有的項(xiàng)都成為0，這樣 23.3式仍然成立，這證明，若對某一個(gè)m，|jm 在此空間，則所有的2j+1個(gè)|jm必然也在此空間 。 6 2. j的最大值和最小值 最大的j應(yīng)該是j1+j2。 反證之：設(shè)jj1+j2的|jm也可表示為|j1m1|j2m2的 疊加，用J+=J1+J2+分別作用于等號兩邊若干次， 使左邊為|jj(jj1+j2），這時(shí)右邊各項(xiàng)已全部為0 ，此時(shí)m=m1+m2已不再滿足。所以jj1+j2是不可能 的。 7 設(shè)最小值為x，根據(jù)耦合表象和不耦合表象的基 矢數(shù)目相等，有 右邊是一個(gè)等差級數(shù)，共(j1+j2-x+1)，這樣有 由此得 即最小的j值是|j1-j2|，最后得 8 三、CG系數(shù)的正交性關(guān)系 CG系數(shù) 是幺正矩陣陣元，滿滿足正交性關(guān)系： 式中 事實(shí)上，CG系數(shù)的國際標(biāo)準(zhǔn)值都是實(shí)數(shù)，所以 9 23-2 CG系數(shù)的計(jì)算 一、m=j的特殊情況 若m=j，將 簡簡寫為為，根據(jù)CG系數(shù)的定義義 有 符號對對的取值值范圍進(jìn)圍進(jìn) 行了明確的限制。 計(jì)計(jì)算時(shí)時(shí)利用兩個(gè)性質(zhì)質(zhì)：等號兩邊邊都是 的本征矢量，本征值為值為；利用 的性質(zhì)質(zhì)。 10 即： 22.53 11 上式第二項(xiàng)項(xiàng)再做代換換， ，有 上式第一項(xiàng)項(xiàng)再做代換換， ，有 與星式比較，則第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)，第一項(xiàng)代換后 等于星式第二項(xiàng)，所以由第二項(xiàng)代換后等于星式第一項(xiàng)得： 12 得遞遞推公式： 遞遞推下去，得 即m1增大到最大j1，m2減小到最小j-j1。（m1+m2=j） 最終終： 其中 與m1,m2無關(guān)的常數(shù)，可以用|j1j2jj的歸歸一化條件得 出a即23.16式，代入23.14，得 23.17式 13 二、一般的CG系數(shù)的的求法 根據(jù) 易推出 次 （即作用之后，） 由此得 所以 取其負(fù)共軛，利用 ，得 14 由二項(xiàng)式定理得 則有 將此式代入23.18式，利用23.17式（m=j的情況）為“ 邊界”條件， 注意到 得到CG系數(shù)的最后結(jié)結(jié)果：23.19式（Edmonds） 為實(shí)數(shù)， 15 式中：滿滿足m=m1+m2，求和變變量的取值值范圍圍是不使 分母括號中的量為負(fù)為負(fù) 的所有正整數(shù)；j1, j2, m1, m2可 以取整數(shù)，也可以取半數(shù)。mj時(shí)時(shí)， 16 等價(jià)的Racah形式： 注意各值關(guān)系和范圍： ， 17 三、查CG系數(shù)表 j1j2 18 23-3 CG系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 一、CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)群表示之間的關(guān)系 19 于是在直積空間中有 式中 對對耦合表象基矢，它是和 的本征矢量，因而也是轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 群的一個(gè)不可約約表示的基矢： 20 以上兩套基矢通過CG系數(shù)聯(lián)系起來： 其逆變換是： 令(23.24)兩邊經(jīng)受一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)Q，則有 (23.25)代入 利用矩陣相乘 21 將此式與23.23式相比較，得 這這是CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 群的表示之間間的重要關(guān)系式。 和 二者的直積積矩陣陣也是轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 群的一個(gè)表示，上式 表明，兩個(gè)不可約約表示的直積積是可約約的，其約約 化矩陣陣就是以CG系數(shù)作為為矩陣陣元的矩陣陣S。（在 被S矩陣陣作用后，直積積矩陣陣被塊對塊對 角化） 都是轉(zhuǎn)動(dòng)群Q的不可約表示， 22 二、CG系數(shù)的一個(gè)普遍公式 由23.26得 寫成矩陣元的形式為 兩邊邊乘以，并對Q積分， 因?yàn)闉槭峭耆阎?，所以可以求出CG系數(shù) 的普遍公式：（23.27）。 23 23-4 CG系數(shù)和3j符號 一、CG系數(shù)的性質(zhì) 1. 在中，j1、j2和j可以是整數(shù)， 以及三角形條件： m1、m2和m必須滿足： 只有滿足這些條件，CG系數(shù)才不為零。 也可以是半數(shù)，但必須滿足： 24 2. CG系數(shù)是實(shí)數(shù) 3. CG系數(shù)滿足幺正性條件 25 4.其他關(guān)系 26 二3j符號 1.定義： 2.對稱性質(zhì)： 27 3.相關(guān)公式的3j符號表示 28 23-5 3個(gè)角動(dòng)量的耦合 考慮慮一個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)有三個(gè)不同的，互相對對易的角動(dòng)動(dòng)量 的情況。設(shè)設(shè)它們們的本征矢量分別為別為， 和。三個(gè)角動(dòng)動(dòng)量的矢量和，即系統(tǒng)統(tǒng)的總總角動(dòng)動(dòng)量為為 一、耦合表象基矢的構(gòu)造 描寫這這個(gè)系統(tǒng)統(tǒng)的Hilbert空間間中的角動(dòng)動(dòng)量有關(guān) 的直積積空間間，的部分是三個(gè)空間 其基矢是 29 第一套： 先將和耦合，令 則則 和四個(gè)算符的共同本征矢量是 然后根據(jù) 再把和耦合，得到 它們們是六個(gè)算符的共同本征矢量。 30 第二套：先將和 耦合，令 然后再將和耦合 與前類似，可以得到另一套基矢 由一個(gè)幺正變換聯(lián)變換聯(lián) 系起來： 定義義Racah系數(shù) 兩套基矢都是空間間中的基矢組， 31 二、Racah系數(shù)的計(jì)算 由23.68左乘得 又可證明 所以 32 并將式中的j12和m12改為為j12和m12,得 兩邊邊乘以再對對m1,m2取和， 利用CG系數(shù)的幺正性得 33 兩邊邊再乘以，對對m12,m3取和，最后得 Racah系數(shù)用CG系數(shù)表示的公式。 34 CG系數(shù)是完全已知的，所以Racah系數(shù)原則上已 經(jīng)求出。經(jīng)過化簡得到Racah系數(shù)的普遍公式： 在上式中 35 23-6 6j符號和9j符號 目前文獻(xiàn)上在使用Racah系數(shù)時(shí)，常用對稱性更 為明顯的6j符號，而當(dāng)遇到四個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)又 會(huì)使用9j符號。 一、6j符號 定義： 通常寫成： 36 The 6j symbol the coupling probability for three angular momenta. is related to It is valid when (“triangle relations“) 37 二、9j符號 在研究四個(gè)角動(dòng)量耦合時(shí)會(huì)遇到9j符號，例如原子系 統(tǒng)中的LS耦合和jj耦合之間的關(guān)系。 設(shè)設(shè)有四個(gè)互相對對易的角動(dòng)動(dòng)量J1,J2,J3,J4 ，則在Hilbert空間 中，可以建立兩組組新的基矢： 對于給定的J1,J2,J3,J4，這兩組基矢是以一個(gè)幺正 矩陣互相變換的，9j符號就是這個(gè)變換矩陣的矩陣 元乘以一個(gè)參數(shù)，其定義為38 The 9j symbol coupling probability for four angular momenta. is related to the It is valid when 39 9j符號具有很高的對稱性，對于行和列的偶數(shù)次對 調(diào)，對于兩個(gè)對角線的反射，9j符號都不改變數(shù)值 ；對于行和列的奇數(shù)次對調(diào)，9j符號只差一個(gè)符號( -1)s，s為其中所有9個(gè)量之和。當(dāng)9j符號有一個(gè)量為 0時(shí)，有 40 9j符號還有以下關(guān)系： 41 23-7 LS耦合和jj耦合 以具有兩個(gè)價(jià)電子的原子為例，討論這一雙電子 系統(tǒng)的態(tài)矢量的角向部分。 一、基矢的選擇 設(shè)兩電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量分別為L1,L2和 S1,S2，則根據(jù)前面的討論，在這一雙電子的 Hilbert空間中可以有兩組基矢系統(tǒng)。第一組是： 42 在這組基矢描寫的狀態(tài)中，總軌道角動(dòng)量L=L1+L2的 大小和總自旋角動(dòng)量S=S1+S2的大小以及總角動(dòng)量J的 大小和z分量取確定值。這組基矢稱為LS耦合的基矢 。 另一組基矢系統(tǒng)為 這組基矢表示的態(tài)中，兩粒子的總角動(dòng)量J1=L1+S1 和J2=L2+S2大小以及系統(tǒng)的總角動(dòng)量J的大小和z分 量取確定值，這組基矢稱為jj耦合基矢。 43 二、系統(tǒng)的Hamiltonian和Schrdinger方程的解 1對此雙電子系統(tǒng)，其哈密頓為 式中H0為電子在原子核及其余電子（原子實(shí)）的 場中的哈密頓： （23.91）等式右邊最后三項(xiàng)是雙電子系統(tǒng)中最重 要的兩種相互作用： 是兩電電子間間的靜電電相互作用， 第四第五項(xiàng)則是兩電子各自的自旋軌道相互作用(簡 稱“旋軌耦合”)。44 2. Schrdinger方程的解 系統(tǒng)的Schrdinger方程的解 當(dāng)兩電子完全沒有相互作用的時(shí)候（包括沒有 旋軌耦合）， 此時(shí)時(shí) LS耦合態(tài) 或jj耦合態(tài) 都可以是Schrdinger方程的解 為為與徑向方程有關(guān)的參數(shù) 45 兩電子只有靜電相互作用 由于r12（1/r12也一樣樣）具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)間轉(zhuǎn)動(dòng) 不變變性，它 肯定與L對對易，而（23.93）式是 的共同本征矢量， 與這這些算符都對對易， 的解肯定取LS耦合23.93的形式。 再加上較小的旋軌耦合作用 這種作用可以作為微擾來處理，根據(jù)微擾理論， 態(tài)函數(shù)與（23.93）比較差一個(gè)較小的修正