八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)勾股定理練習(xí)題

精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 1 / 23 八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)勾股定理練習(xí)題 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) : 1. 下列說(shuō)法正確的是 a、 b、 c 是 三邊，則 a、 b、 c 是 三邊，則 a、b、 c 是 三邊， ?A?90?，則 a、b、 c 是 三邊， ?C?90?，則 b、 c， 2. 三條邊長(zhǎng)分別是 a、則下列各式成立的是 A a?b?a?b?a?b?a2?b2? 如果 的兩直角邊長(zhǎng)分別為 1， 2k，那么它的斜邊長(zhǎng)是 A、 2k+1C、 1D、 . 已知 a， b， c 為 滿足 0，則它的形狀為 直角三角形中一直角邊的長(zhǎng)為 9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長(zhǎng)為 A 121B 120 C 90D不能確定 ， 5， 13，高 12，則 周長(zhǎng)為 A 42B 32C 4或 D 3 或 3. 直角三角形的面積為 S，斜邊上的中線長(zhǎng)為 d，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 2 / 23 2d d 8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P 的坐標(biāo)是，則 A： 3B： 4C： 5D： 9若 ， 56 4,則 A 1 B. 10已知 a、 b、 c 是三角形的三邊長(zhǎng)， 如果滿足 2c?10?0 則三角形的形狀是 A：底與邊不相等的等腰三角形 B：等邊三角形 C：鈍角三角形 D：直角三角形 11斜邊的邊長(zhǎng)為 17條直角邊長(zhǎng)為 8 12. 等腰三角形的腰長(zhǎng)為 13，底邊長(zhǎng)為 10，則頂角的平分線為 . 13. 一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)的平方和為200，則斜邊長(zhǎng)為 14一個(gè)三角形三邊之比是 10:8:6，則按角分類它是 三角形 15. 一個(gè)三角形的三邊之比為51213 ，它的周長(zhǎng)為 60，則它的面積是 . 16. 在 ，斜邊 ，則 _ 17若三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是 1:2:3，最短邊長(zhǎng)為1長(zhǎng)邊長(zhǎng)為 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 3 / 23 2這個(gè)三角形三個(gè)角度數(shù)分別是，另外一邊的平方 是 18如圖，已知 ?C?90?， 5， 2，以直角邊 B 這個(gè)半圓的面積是 19 一長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為 3積為 12么它的一條對(duì)角線長(zhǎng) 2 C A 是 二、綜合發(fā)展 : 1如圖，一個(gè)高 4m、寬 3要在對(duì)角線的頂點(diǎn)間加固一個(gè)木條，求木條的長(zhǎng) 2、有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊 C=8將直角邊 角平分線 疊，使它落在斜邊與 合，你能求出 52025個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是多少？ 4如圖，要修建一個(gè)育苗棚，棚高 h=3m，棚寬 a=4m，精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 4 / 23 棚的長(zhǎng)為 12m，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？ B E A 5如圖，有一只小鳥(niǎo)在一棵高 13m 的大樹(shù)樹(shù)梢上捉蟲(chóng)子，它的伙伴在離該樹(shù) 12m，高 8立刻以 2m/s 的速度飛向小樹(shù)樹(shù)梢，它最短要飛多遠(yuǎn)？這只小鳥(niǎo)至少幾秒才可能到達(dá)小樹(shù)和伙伴在一起？ 15 “ 中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例 ” 規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò) 70km/一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢 測(cè)儀正前方 30m 處，過(guò)了 2s 后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為 50m，這輛小汽車超速了嗎？ 小汽車 小汽車 觀測(cè)點(diǎn) 答案 : 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1. 解析 :利用勾股定理正確書寫三角形三邊關(guān)系的關(guān)鍵是看清誰(shuí)是直角 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 5 / 23 答案 : D. 2. 解析：本題考察三角形的三邊關(guān)系和勾股定理 . 答案： B. 3 解析：設(shè)另一條直角邊為 x，則斜邊為利用勾股定理可得方程，可以求出 x然 后再求它的周長(zhǎng) . 答 案： C 4解析：解決本題關(guān)鍵是要畫出圖形來(lái)，作圖時(shí)應(yīng)注意高 形的外部，有兩種情況，分別求解 . 答案： C. 222 5 解析 : 勾股定理得到： 17?8?15，另一條直角邊是15， 1 ?15?8?60 所求直角三角形面積為 2答案 :0 6 解析：本題目主要是強(qiáng)調(diào)直角三角形中直角對(duì)的邊是最長(zhǎng)邊 ,反過(guò)來(lái)也是成立 答案 :a2?b2?c， 直角，斜，直角 7 解析 :本題由邊長(zhǎng)之比是 10:8:可知滿足勾股定理，即是直角三角形答案：直角 解析：由三角形的內(nèi)角和定理知三個(gè)角的度數(shù) ,斷定是直角三角形答案： 30?、 60?、 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 6 / 23 90?， 3 222222 9 解析：由勾股定理知道： B?5?12?9，所以以直角邊 為直徑的半圓面積為 答案： 10 解析 :長(zhǎng)方形面積長(zhǎng) 寬，即 12 長(zhǎng) 3 ，長(zhǎng) ?4，所以一條對(duì)角線長(zhǎng)為 5 答案 ： 5 二、綜合發(fā)展 11 解析：木條長(zhǎng)的平方 =門高長(zhǎng)的平方 +門寬長(zhǎng)的平方 答案： 5m 222 12解析：因?yàn)?15?20?25，所以這三角形是直角三角形，設(shè)最長(zhǎng)邊上的高為 直角三角形面積關(guān)系，可得 1?15?20?1?25?x，x?12 答案： 12 2 13解析：透陽(yáng)光最大面積是塑料薄膜的面積，需要求出它的另一邊的長(zhǎng)是多少，可以借助 勾股定理求出 . 答案：在直 角三角形中，由勾股定理可得：直角三角精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 7 / 23 形的斜邊長(zhǎng)為 5m, 2 所以矩形塑料薄膜的面積是： 520=100 14解析：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求斜邊的值是 13m，也就是兩樹(shù)樹(shù)梢之間的距離是 13m，兩再利用時(shí)間關(guān)系式求解 . 答案： 15解析：本題和 14題相似，可以求出 利用速度等于路程除以時(shí)間后比較 0 米，時(shí)間是 2s，可得速度是 20m/s=72km/h 70km/h 答案：這輛小汽車超速了 八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全 章知識(shí)點(diǎn)和典型習(xí)題 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 勾股定理 內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； 表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為 a， b，斜邊為 c，那么 a2?b2?c 勾股定理的由來(lái)：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了 “ 勾三，股四，弦五 ” 形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 D 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 8 / 23 H 圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變 E 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 b 常見(jiàn)方法如下： A c C B 1 方法一： 4S?正方形 4?簡(jiǎn)可證 2 方法二： 四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三 ba c a b b 品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 9 / 23 a a 角形的面積與小正方形面積的和為 S?4?ab?ab?c 大正方形面 2 積為 S?2a?2 B b 11 S 梯形 ?， S 梯形 ?2S?ab?簡(jiǎn)得證 222 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形 已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在 ?C?90? 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 10 / 23 ，則 c ， b ， a 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)系 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 如果三角形三邊長(zhǎng) a， b， c 滿足 a2?b2?么這個(gè)三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò) “ 數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ” 來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和 a2?較長(zhǎng)邊的平方 比較，若它們相等時(shí)，以 a， b， c 為三邊的三角形是直角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中 a， b， c 及 a2?b2?是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng) a， b， c 滿足 a2?c2?么以 a， b， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是 b 為斜邊 勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 11 / 23 股數(shù)，即 a2?b2?， a， b， c 為正整數(shù)時(shí)，稱 a， b， c 為一組勾股數(shù) 記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等 用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù)： ,2n,； 2n?1,2n,2n?1m2?mn,m2?股定理的應(yīng)用 勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用 勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論 C 勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決常 B D 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 12 / 23 見(jiàn)圖形： C A C A B D A 10、互逆命題的概念 如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。 二、經(jīng)典例題精講 題型一：直接考查勾股定理 例 ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 長(zhǎng)分 析：直接應(yīng)用勾股定理 a2?b2?： 0 詳細(xì)解題步驟如下： 解：設(shè)正方形 品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 13 / 23 的邊長(zhǎng)為 4a, 則 E=a,AF=a,a 在 ，D+=20 a 同理 a, 5a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在 ， a+0a=25a=222 直角三角形，且 0. 注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。 題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度 例題如圖 4，已知長(zhǎng)方形 C=10邊 取一點(diǎn) E，將 疊使點(diǎn) D 恰好落在 上的點(diǎn) F，求 解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 14 / 23 合理設(shè)元是 詳細(xì)解題過(guò)程如下： 解：根據(jù)題意得 t0, 0E 設(shè) CE= 則 F= x 在 由勾股定理得： F= 8+0， C 0 6=4 在 由勾股定理可得： E+ =x+64 16x+x=2+1x=3, 即 CE=：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。 題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直 例題如圖 5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面 是否垂直與 測(cè)得 0000樣去驗(yàn)證 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 15 / 23 2 2 2 2 關(guān)鍵。 解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖 4，矩形 截取 2 截取 結(jié) 量 如果 5,則 N=以 如果 MN=a15, 則 9+12=81+144=225, a225, 即9+12 a ，所以 A 不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題 例題有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，何東西只要移至 5 米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高 的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？ 解析：首先要弄清楚人走過(guò) 去，是頭先距離燈 5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖所示， A 點(diǎn)表示控制燈， CC 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 16 / 23 頭距離 A 有 5 米時(shí)，求 長(zhǎng)度。已知 ,所以 米，由勾股定理，可計(jì)算 米 米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。 題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題： 例 1、如圖， 斜邊，將 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 重合，若 ，求 的長(zhǎng)。 變式 1：如圖， P 是等邊三角形 , 邊長(zhǎng) . 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 點(diǎn) B 逆時(shí)針選擇 60 ，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形 . 變式 2、如圖， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 的點(diǎn)，且 5 ， 試探究 的關(guān)系，并說(shuō)明理由 . 題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題 例 1、如圖，矩形紙片 B=10C 上一點(diǎn) ，將矩形紙片沿 疊，點(diǎn) B 恰好落在 上的點(diǎn) G 處，求 變式：如圖， 中線， 5 ，把 C 落在點(diǎn) C 的位置， ,求 的長(zhǎng) . 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 17 / 23 題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理典型例習(xí)題 一 、經(jīng)典例題精講 題型一：直接考查勾股定理 例 ， ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2?b2?： 0 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 18 / 23 解析：首先要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈 5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該 是頭先距離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖所示， B CN 當(dāng)頭距離 A 有 5 米時(shí)，求 長(zhǎng)度。已知 所以 米， 由勾股定理，可計(jì)算 米 米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。 題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題： 例 1、如圖， 直角三角形， 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與 重合，若 ，求 長(zhǎng)。 變式 1：如圖， P 是等邊三角形 , 邊長(zhǎng) . 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 點(diǎn) 0 ，將三條線段集中到同一個(gè)三角形 中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形 . 變式 2、如圖， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 5 ， 試探究 說(shuō)明理由 . 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 19 / 23 題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題 例 1、如圖，矩形紙片 B=10矩形紙片沿 疊，點(diǎn) B 恰好落在 處，求 長(zhǎng) . 變式：如圖， 中線， 5 ，把 C 落在點(diǎn) C 的位置， ,求 的長(zhǎng) . 題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用： 例 1、如圖，公路 公路 P 點(diǎn)處交匯，點(diǎn) 60 米，點(diǎn) A 到公路 0米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)， 周圍 100 米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知 拖拉機(jī)的速度是 18 千米 /小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間 為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題 例 5 、如右圖 1 19，壁虎在一座底面半徑為 2 米，高為 4精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 20 / 23 米的油罐的下底邊沿 A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B 處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)， 為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從 背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn) 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng) ?變式：如圖為一棱長(zhǎng)為 3所有面都分為 9 個(gè) 小正方 形，其邊長(zhǎng)都是 1設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2它從下地面 A 點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B 點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？ 22 三、課后訓(xùn)練： 一、填空題 1如圖，在高 2 米，坡角為 30 的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需 E 第 4 題圖 第 3 題圖 圖 2種盛飲料的圓柱形杯，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為 高為 12 ，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出 ，問(wèn)吸管要做 。 3已知：如圖， ， C =0 ，點(diǎn) O 為 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨(dú)家原創(chuàng) 21 / 23 的三條角平分線的交點(diǎn)， C ， C ， D、 E、 F 分別是垂足，且 點(diǎn) O 到三邊 在一棵樹(shù)的 10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)