淺析因式分解 畢業(yè)論文.doc

學(xué) 士 學(xué) 位 論 文題 目 淺析因式分解 學(xué) 生 指導(dǎo)教師 年 級(jí) 2009級(jí)專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2013年4月1因式分解淺析 摘 要：因式分解是數(shù)學(xué)中恒等變形的一種重要的方法，它在初等數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，都有廣泛的應(yīng)用。本論文首先運(yùn)用類比和大量的舉例對(duì)因式分解概念作了說(shuō)明；其次給出了因式分解的一些方法以及應(yīng)用過(guò)程，然后對(duì)因式分解中所涉及到的數(shù)學(xué)思想作了歸納和總結(jié)；最后通過(guò)調(diào)查分析了解了學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解中常出錯(cuò)的地方，并給出了應(yīng)對(duì)方法。因?yàn)楸菊撐闹饕獜睦碚撋详U述了因式分解中的一些重要內(nèi)容及方法，因此對(duì)于一般因式、數(shù)域、公因式等的定義都沒(méi)有另行敘述而直接采用。關(guān)鍵詞： 因式分解 概念 方法 思想 錯(cuò)誤分析一、因式分解概念在算術(shù)中，我們已掌握了整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的概念，如：；在此基礎(chǔ)上，由數(shù)向式過(guò)渡，我們得到因式分解的一般定義：通常把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)不能再分的因式的乘積，稱作多項(xiàng)式的因式分解。對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式能否因式分解，不能孤立的來(lái)考慮，在不同的數(shù)域內(nèi)有不同的結(jié)論，為了說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題，我們必須引進(jìn)幾個(gè)概念。1所謂多項(xiàng)式在給定的數(shù)集內(nèi)討論，是指多項(xiàng)式中的一切系數(shù)，以及自變量所取的值，都要屬于這個(gè)數(shù)集。例1 分解的因式在有理數(shù)域中，它的分解式是：，分解到這里就不能再繼續(xù)分解，不然的話，分解式的系數(shù)將超出有理數(shù)的范圍。在實(shí)數(shù)域中，它的分解式是：，分解到這里，就不能再繼續(xù)分解。在復(fù)數(shù)域中，它的分解式：。由此可見(jiàn)，對(duì)多項(xiàng)式的分解，必須先明確系數(shù)的數(shù)域，再理解其不能再分的含義。2當(dāng)然因子和非當(dāng)然因子。在給定的數(shù)集內(nèi)，任一多項(xiàng)式總能被該數(shù)集內(nèi)的一個(gè)非零數(shù)整除，而且所除得的商與原多項(xiàng)式只差一個(gè)非零數(shù)值因子。例2 在有理數(shù)集內(nèi)分解 這種和原多項(xiàng)式只差一個(gè)非零數(shù)值因子的多項(xiàng)式叫做原多項(xiàng)式的當(dāng)然因子，一切其他因子叫做原多項(xiàng)式的非當(dāng)然因子。如上例中，等是的當(dāng)然因子，而，是它的非當(dāng)然因子。因此，我們研究多項(xiàng)式的因式分解，只是從它能否表示成非當(dāng)然因子的積來(lái)考慮的。3可約多項(xiàng)式和不可約多項(xiàng)式。在某個(gè)數(shù)域上次數(shù)的多項(xiàng)式，如果他不能表示成這個(gè)數(shù)域上兩個(gè)次數(shù)比的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積，我們稱多項(xiàng)式為這個(gè)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。按照定義，一個(gè)多項(xiàng)式是否可約，是依賴于它的系數(shù)域的。當(dāng)系數(shù)域改變后，它的可約與否就可能改變。如在指定的數(shù)集內(nèi)多項(xiàng)式有非當(dāng)然因子，那么這個(gè)多項(xiàng)式在這個(gè)數(shù)集內(nèi)是可約的，否則就叫做不可約。關(guān)于因式分解中不能再分問(wèn)題，有幾個(gè)重要命題。（1）在復(fù)數(shù)域。推論1 多項(xiàng)式總可以在復(fù)數(shù)域中分解成個(gè)一次式的積。推論2在復(fù)數(shù)域上，只有一次式是不可約的，任何大于的多項(xiàng)式都是可約多項(xiàng)式。定理1如果實(shí)系數(shù)次多項(xiàng)式有一個(gè)虛數(shù)根（其中，為實(shí)數(shù)，），那么也是的根。例3 在復(fù)數(shù)域上分解下列各式：其中，（，）（2）在實(shí)數(shù)域。定理2在實(shí)數(shù)域中只存在一次和二次不可約多項(xiàng)式；任何次數(shù)的多項(xiàng)式總是可約的。在實(shí)數(shù)集內(nèi)，一個(gè)二次三項(xiàng)式是不可約的充要條件是：。例4 在實(shí)數(shù)域上分解下列各式：(的，在實(shí)數(shù)域上不能再分)（因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域上最多有二次不可約多項(xiàng)式，像上面的一定可以再分，這一點(diǎn)往往會(huì)被忽略）（3）在有理數(shù)域。除一次式不可約外，次數(shù)高于一次的多項(xiàng)式，都可能會(huì)是不可約的。有理系數(shù)多項(xiàng)式可以歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式來(lái)討論。設(shè)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)乘以，總可以使是整系數(shù)多項(xiàng)式，如果的各項(xiàng)系數(shù)有公因式，可以提出來(lái)，即，其中是各項(xiàng)系數(shù)互質(zhì)的整系數(shù)多項(xiàng)式。例5 ，這里 。關(guān)于整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有以下定理： 定理3（艾森坦因判別法）設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)使得那么在有理數(shù)域上不可約。例6 證明下列各式在有理數(shù)域上不可約。證：，；取，因?yàn)槟苷?，；不能整除，不能整除，由艾氏判別法知，原式在有理數(shù)上不可約。證：因?yàn)椋?；取素?cái)?shù)，那么不能整除，不能整除，能整除，故由艾氏判別法知，在有理數(shù)域上不可約。在中學(xué)課本中，一方面以“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解。”來(lái)替代本文開(kāi)頭的嚴(yán)格定義；另一方面又加了幾個(gè)注意：“分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能分解為止?！倍谥袑W(xué)范圍內(nèi)，學(xué)生所掌握的數(shù)還只限于有理數(shù)。因此，“分解到每一個(gè)因式都不能分解為止”是指所分得因式的系數(shù)為有理數(shù)。隨著學(xué)生接觸的數(shù)的范圍不斷擴(kuò)大，這句話就有了新的意義，有些本來(lái)認(rèn)為不能再分解了，而這時(shí)還可以繼續(xù)分解。因此交代這個(gè)“注意”時(shí)不要把話說(shuō)死了，而要留有余地。二、 因式分解的一般解法 一元多項(xiàng)式的因式分解1根據(jù)多項(xiàng)式的有理根，要是的根則就是的因式，根據(jù)多項(xiàng)式的有理根可知，要是得根必須是的形式，其中,是多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)的約數(shù)，是多項(xiàng)數(shù)常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)。給出所有的的值再逐一的驗(yàn)證，實(shí)際問(wèn)題中的根往往是整數(shù)，所以我們可以優(yōu)先驗(yàn)證整數(shù)，在具體的題里我們可以優(yōu)先驗(yàn)證那些相對(duì)小的整數(shù)。2根據(jù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，在理論上已經(jīng)證明任意一個(gè)次數(shù)大于0的多項(xiàng)式都可以分解成為不可約多項(xiàng)式乘積的形式，即都可以分解成則其中每個(gè)都不能整除。由于存在使。由此可見(jiàn)和具有完全相同的形式，差別只是中的因式的重?cái)?shù)為，所以求的因式就可以轉(zhuǎn)化成求的因式。例1 求多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：由，得，所以得不可約因式為。但是，又由重因式定理，是的重因式，所以。 二元一次多項(xiàng)式的因式分解1提取公因式 找多項(xiàng)式每項(xiàng)的公因式； 提公因式 。注意問(wèn)題： 每個(gè)括號(hào)多不能提； 每個(gè)括號(hào)的第一項(xiàng)不能提數(shù)； 數(shù)字的最大約數(shù)不一定為； ； ；。 分解后答案不能有多重括號(hào)，每個(gè)括號(hào)都要化簡(jiǎn)； 數(shù)字和單個(gè)字母要寫在最前面； 能變相同的要寫相同因式； 求代數(shù)的值：先因式分解在求值。2公式法 平方差公式：；注意：分解的結(jié)果不能為根號(hào)。 完全平方公式：； 注意： 必須是三項(xiàng)式。 有兩個(gè)“項(xiàng)”的平方（有兩個(gè)“項(xiàng)”的符號(hào)相同）。 有這兩“項(xiàng)”的倍或倍。3分組分解法如果整式是 項(xiàng)：分組方法有 分， 分；（必須是完全平方） 項(xiàng)：分組分解是 分； 項(xiàng)：分組分解是 分； 分； 分。例2 分解因式。解法一： 分解法二： 分4十字相乘法定義： 常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)同號(hào)的因數(shù)，它們與一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同。 常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次系數(shù)符號(hào)相同。例3 分解因式 。分析 解：例4 分解因式。分析 解： 二元二次多項(xiàng)式的因式分解二元二次多項(xiàng)式 的因式分解，與二元二次方程租的求解及二次曲線的討論都有密切的關(guān)系。對(duì)的因式分解，一般都是采用待定系數(shù)法。假設(shè)能分解為兩個(gè)一次因式和的乘積，即與比較，應(yīng)有 反之如果存在實(shí)數(shù)使，三個(gè)式子同時(shí)成立，則必可以分解成為兩個(gè)一次因式和的乘積。由此可知，如果、和至少有一個(gè)不能分解，或者不存在使，三個(gè)式子同時(shí)滿足、的實(shí)數(shù)，則就不可以分解成為兩個(gè)一次因式的乘積。在解題的時(shí)候，我們可以先求出、中任意兩個(gè)分解式，再驗(yàn)證另外一個(gè)式子是否成立。例5 判斷下列兩個(gè)多項(xiàng)式是否可以分解成為兩個(gè)一次因式的乘積。若能分解，求出其分解式。 解：因?yàn)?。所以。原式可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積： 顯然，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解，所以原式不能分解成為兩個(gè)一次因式的乘積。.對(duì)于系數(shù)比較簡(jiǎn)單的情形，我們可以不寫出分解式、，而只要利用十字相乘法便可以得到結(jié)果。三、因式分解的特殊解法1拆項(xiàng)法它是指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)分裂成為兩項(xiàng)，利用分組來(lái)分解因式的方法，它常適用于雙二次三項(xiàng)式、二次三項(xiàng)式、三次四項(xiàng)式、四次二項(xiàng)式、四次三項(xiàng)式等多項(xiàng)式的因式分解。例1 分解因式 。分析 把常數(shù)項(xiàng)分解為解：例2 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。分析 把二次項(xiàng)分解為兩項(xiàng)解：2添項(xiàng)法它是指在多項(xiàng)式中添加某一輔助項(xiàng)，利用分組來(lái)分解因式的方法。它也常適用于雙二次三項(xiàng)式、二次三項(xiàng)式、三次四項(xiàng)式、四次二項(xiàng)式、四次三項(xiàng)式等多項(xiàng)式的因式分解。例3 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。分析 添加輔助項(xiàng)解：3待定系數(shù)法它是指形如二次二項(xiàng)式，在指定數(shù)域內(nèi)能分解成為，通過(guò)恒等的性質(zhì)，確定、, 待定分解因式的方法。它適用于有二次齊次項(xiàng)的多項(xiàng)式的因式分解，以及某些缺項(xiàng)的高次多項(xiàng)式的因式分解。例4 分解因式。解：由設(shè)原式 與原式比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得解得故。4對(duì)稱法它是指形如二元二次式形式的多項(xiàng)式的因式分解的方法。他通常有一般的解法和特殊的解法兩種。一般說(shuō)來(lái)，在初中階段應(yīng)重點(diǎn)掌握特殊解法。例5 分解因式。分析 當(dāng)時(shí)原式，故可斷定是原式的一個(gè)因子，同理、也是原式的因子解：設(shè)原式，令；把他們代入等式的兩邊，得化簡(jiǎn)整理，得，解得。故。5綜合除法法它是指根據(jù)多項(xiàng)式的除法原理，找出多項(xiàng)式的有理因式，再尋求因式分解的方法。它常適用于高次多項(xiàng)式的因式分解。例6 分解因式。分析 設(shè)，則可知，。故可斷定原式有因子或，通過(guò)綜合除法，可找出其余的因子解：由經(jīng)驗(yàn)得、，均為的根，可知原式有或兩個(gè)因子，根據(jù)多項(xiàng)式除法，得 四、因式分解在解題中的運(yùn)用1在求值問(wèn)題中的運(yùn)用例1 已知求的值。解：由對(duì)分別配方，得因?yàn)椋杂谑堑玫焦?。本題是利用配方法將已知等式化成的形式，從而得出。例2 已知為任意實(shí)數(shù)，試求的最小值。解：因?yàn)?，由于，且僅當(dāng)時(shí)，故。且僅當(dāng)時(shí)，因此得到最小值是，僅當(dāng)時(shí)，。由以上兩例的求解過(guò)程可以看出，利用配方法變形代數(shù)式以達(dá)到問(wèn)題的解決是一種常用的方法。2在分式運(yùn)算中的運(yùn)用例3 化簡(jiǎn)。解：例4 計(jì)算。解：對(duì)分式的運(yùn)算，通常應(yīng)先化簡(jiǎn)，因而應(yīng)將因式的分子，分母分解因式后約分，然后再計(jì)算；當(dāng)然，在運(yùn)算過(guò)程中亦應(yīng)注意簡(jiǎn)化。3在二次根式計(jì)算中的運(yùn)用例5 滿足等式的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（ ）。a；b；c；d。解：由等式得出此式重新組項(xiàng)，得分別提取共因式，得出進(jìn)而得到由于，所以。從而得出，又因?yàn)檎麛?shù)是質(zhì)數(shù)，必然有或，故應(yīng)選擇答案b。4在等式恒等式中的運(yùn)用例6 設(shè)n為正整數(shù)，且 求證 。證明： 式去分母，移項(xiàng)得 上式中，時(shí)等式成立；又由上式左端的對(duì)稱性可知，當(dāng)，時(shí)，等式亦成立。注意到式左端三次多項(xiàng)式，因而它可分解因式為其中，是一待定常數(shù)，令即可得出。這樣，式變形為故，已知條件式等價(jià)于且、中至少有一個(gè)等于。若，由此有，分別代入求證式的左、右兩端，得到 故，當(dāng)時(shí)求證式成立。類似可證當(dāng)時(shí)求證式亦成立，因此在條件之下求證式成立。此例中，已知式的變形（特別是其左端的因式分解）是解題的關(guān)鍵。五、因式分解中涉及的數(shù)學(xué)思想 1類比思想利用數(shù)形性結(jié)合的方法，類比揭示因式分解是一種代數(shù)式的恒等變形。例1 觀察圖1和圖2，求陰影部分的面積我們可求出圖1-1中陰影部分的面積是 ，圖1-2中陰影部分的面積是同時(shí)觀察圖1-1和圖1-2的結(jié)構(gòu)可知圖1-2是由圖1-1的部分旋轉(zhuǎn)、平移后得到的，這兩種圖形變換不改變圖形的面積，因此 。從而可認(rèn)識(shí)到因式分解是一種式的恒等變形。（2）通過(guò)對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)因式分解的理解。學(xué)習(xí)因式分解，首先要明確因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別，即整式乘法是把幾個(gè)整式相乘并展開(kāi)為一個(gè)多項(xiàng)式。而因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式相乘，而且必須把每個(gè)因式分解到不能再分解為止。對(duì)此，我們總結(jié)出以下表格。表1-1整式乘法名稱整式乘法因式分解因式分解名稱特點(diǎn)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式提取公因式法提出各項(xiàng)公有的因式平方差公式平方差公式法僅二項(xiàng)，都為完全平方項(xiàng)且為減法完全平方公式完全平方二次三項(xiàng)式中，二項(xiàng)是完全平方式且為同號(hào)，另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍立方和或立方差公式立方和或立方差二項(xiàng)和或差，且每項(xiàng)都為某數(shù)的立方多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式分組分解法四項(xiàng)，分組后能直接提公因式十字相乘法二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)為1，且不為完全平方公式二次三項(xiàng)式，二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且不為完全平方公式通過(guò)列表，把整式乘法同因式分解對(duì)應(yīng)起來(lái)，學(xué)生通過(guò)對(duì)比分析，就可以明確因式分解和整式乘法相互間的聯(lián)系與區(qū)別。2 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想就是對(duì)于不能直接分解的某些多項(xiàng)式，若通過(guò)轉(zhuǎn)化，如添項(xiàng)拆項(xiàng)等變形，則可以因式分解。例2 在復(fù)數(shù)域分解因式。解：這個(gè)式子可以配乘積項(xiàng)，利用平方差共公式分解例 3 在有理數(shù)域分解因式。分析 這是一個(gè)五項(xiàng)式，沒(méi)有公因式可提，也不能用公式法或分組分解，但其中有三項(xiàng)式，如果把拆成，則可得平方差公式。解：3換元思想將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用其它字母代換，通過(guò)換元可以將復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式,將陌生的形式轉(zhuǎn)變成熟悉的形式，再分解因式。例4 分解。解：設(shè)，則把原始化為，這是個(gè)二次三項(xiàng)式，它的分解式是，再把帶回原式，則例5 分解。解： 設(shè) ，則上式為原式為 4整體思想用整體思想分解因式，是指將要分解的多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)看成一個(gè)整體而加以分解。六、錯(cuò)誤分析現(xiàn)列出平時(shí)書面檢測(cè)中，有關(guān)因式分解的問(wèn)題。指出哪些是因式分解，那些不是因式分解。1）2）3）4）經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)正確指出）題是因式分解的學(xué)生占90%，正確指出）不是因式分解的學(xué)生各占81%、68%、68% ，）兩題等號(hào)右邊有一部分和因式分解相似，答對(duì)的人數(shù)明顯降低，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)定義中“幾個(gè)整式的積的形式”作了片面的理解。當(dāng)他們看見(jiàn)等式右邊的一部分式子具有“積的形式”，與因式分解相似，就把它與因式分解等同起來(lái)，因此，指出錯(cuò)誤的題目就要比指出正確的題目要困難些。經(jīng)過(guò)類似的調(diào)查和分析，我們知道了學(xué)生在因式分解中出錯(cuò)的主要原因是：1）混淆了乘法運(yùn)算和因式分解，如：（分解后又作乘法）；2）只“分解”多項(xiàng)式的某幾項(xiàng)，如：；3）不知分解到何時(shí)為止，尤其把“不會(huì)”與“不能”混淆，以為不會(huì)就是不能；4）不正確的按字母按順序分，如：；5）不能正確地改變符號(hào)，如：；針對(duì)以上情況，應(yīng)采取以下措施：類比質(zhì)因式數(shù)提出分解多項(xiàng)式的問(wèn)題，并且指出多項(xiàng)式因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分成幾個(gè)整式的積的形式。再對(duì)比說(shuō)明，乘法運(yùn)算是把幾個(gè)整式“乘出來(lái)”。要用實(shí)例讓學(xué)生了解，尚能分解時(shí)，還要繼續(xù)分解下去，直到不能再分解為止。要讓學(xué)生注意字母型形象和各項(xiàng)順序?qū)σ蚴椒纸獾挠绊懀⑶乙箤W(xué)生充分掌握符號(hào)法則和基本順序。參考文獻(xiàn)：1 牛繼武 張羽 張寅 因式分解及其應(yīng)用，天津市數(shù)學(xué)會(huì)，中學(xué)數(shù)學(xué)叢書，1998(1)2 李穎一元多項(xiàng)式因式分解的方法，大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(4)3 霍思瓊二元二次式因式分解的簡(jiǎn)便方法，昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001(9)author factoringpanabstract:factoring is identical deformation of a kind of important method in mathematics, in elementary mathematics and higher mathematics, it has a wide range of applications. first