4 電動習題答案 郭碩鴻 第四章

第四章 電磁波的傳播 1考慮兩列振幅相同偏振方向相同，頻率分別為 d 和 d 的線偏振平面波。它們都沿 z 軸方向傳播 (1) 求 合成波 ， 求證波的振幅不是常數(shù) ， 而是一個波。 (2) 求 合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。 解： （ 1） d(c o 20A A c o s ( d ) z d d(c o d(c o 21 k z c o sc o 所以 振幅為 k 不是常數(shù) ， 而是一列波。 因為 d 和 起 和 k 來都是很小的量，所以該振幅改變得 很緩慢。 (2)相速度 t 時刻 1 時刻 . 1 群速度 1 1 d k z d t d k z z d t t g 2以平面電磁波以 045 從真空入射到 24 的介質。電場強度垂直于入射面。求反射系數(shù)和折射系數(shù)。 解：由 1122 1 12 解得 030 由 菲 涅耳公式： s c o s c o s1 r 2 rc o s c o s1 r 2 c o s 4 5 2 c o s 3 0c o s 4 5 2 c o s 3 01313 312c o sc o sc o 由定義 : 32323131n*3232122223312c o sc o n*3 有一可見平面波由水入射到空氣 ,入射角為 證明這時將會發(fā)生全反射 ,并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群瓦M入空氣的深度 o ,水的折射 率為 解 : v 水所以 水氣氣 2k 氣水氣氣水水氣水 水氣水氣4 頻率為 的電磁波在各向異性介質中傳播時，若 H,B,D,E 仍按 x p 變化，但 D 不再與E 平行（即 D = E 不成立）， （ 1）證明 0 ，但一般0 。 (2)證明 2 。 (3)證明能流 S 與波矢 k 一般不在同一方向上 。 解 : (1) 由 x , 0B 得 0x x x 00 0 由 0D f , x , 所以 00 由 , , 因為 x , 所以 0 由 , 0 由 0D f , 0 , 又由 x 由于各 向 異性條件， 0 (2)由 由 H,B,D,E 按 變化得 ki, 所以有 )2( 將（ 2）代入（ 1） 得 （ 3） 00 H E E B 因為 k 所以 20001不共向與 ,0 . 5 有兩個頻率和振幅都相等的平面單色波沿 軸傳播 ,一個波沿 方向偏振 ,另一個沿 方向偏振 ,但相位比前者超前2,求合成波的偏振 一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振 ? ,02成波為圓偏振 . 6 平面電磁波垂直射入到金屬表面上 ,試證明透入金屬內部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁?. 解 : x x , , )1(21210*)2ex p (2121 2002002041)2e x p (21)2e x p (21 , )2(24,212020 由（ 1） =（ 2） , 所以透入金屬內部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁?. 7 已知海水的 11 ,試計算頻率為 50, 96 1010 和 三種電磁波在海水中的透入深度 . 解 : 21, 72 , 7610r 6 1 6 m 7910r 9 8 平面電磁波由真空傾斜入射到導電介質表面上 ,入射角為1,求導電介質中電磁波的相速度和衰減長度 ,若導電介質為金屬 ,結果如何 ? 提示 :導電介質中的電磁波波矢量 ,只有 分量 。 解 :由邊值關系 )1( 有 )2(0, 則有 : )3(s i s i nk x 設折射波矢是 )4( 由（ 2 ）（ 3 ）兩式有 )5(0si 可見 ,透射波矢 k 中 只有 分量 ,因此 : )6( 而 )7(222 于是，由兩式得到關于z 和)8(s i n 22222 2 12 解得 2/1222222222222/122222222222si 得 0,0,s i nc 透入波的衰減長度為 , 透入波的相速度為 2若導電介質是金屬 ,即有 1 , 因而 222 因此 e k 這說明對于良導體 ,電磁波傾斜入射與垂直入射所得的結果是相近的 。 9 無限長的矩形波導管 ,在 z=0 處被一塊垂直地插入的理想導體平板完全封閉 ,求在 z=-到 z=0 這段管內可能存在的波模 . 解 : 設 E 的徑向分量為： 0ti(e x p)z,y,x(u)t,z,y,x( 代入 u 分離變量得 : 0 )s i nc o s)(s i nc o s)(s i nc o s(),(332211 0;0;,00;0;,00;0;,0解條件由 ,si nc o 00,001302,01,0同理由 nc o 00,002301,022,0由 ss i ns i n,00,000031,030由 22222 得 2222z 由 0E , 有 0 10 電磁波 kiy ) ex p,x(E)t,z,y,x(Ez 在波導 管 中 沿 z 方 向 傳 播 , 試 使 用 及 證明電磁場所有分量都可用 )y,x(E z 及)y,x(H z 這兩個分量表示 。 解 : z e x p,E p,H 由 001,)3(1)2(1)1(110000 ,0 )6(1)5(1)4(110000 z e x p,E p,H （ 7） 代入式中得 : )13()12(1(0(i)9(由 （ 8）（ 12） ，消去 消去 由（ 9）（ 11）解得： 0011 寫出矩形波導管內磁場 H 滿足的方程及邊界條件 . 解 : 由 222 t 由 0 H 得 0H 222 由 , 0,0 2222 , 令 22 得 : 022 由 0,0 得 : 0,0,0H,00,0,0H,0，12 論證矩形波導管內不存在0, 解：矩形波導 管內電磁波須滿足以下方程： 002 電磁波沿 z 軸方向傳播，它應有傳播子 把電場 , n,c o n,si nc o ,0, 對解還必需加上條件 E 0 0321 (1) 當 模為 (m,0)時 0 則電場的解為 : )2(0E)y ex px co s ks i n 當 模為 (0,n)時 , 0 則電場的解為 : 0y ex ps i n ) 即在（ m,0） ,(n,0)下，只有一組特解 。 由01 知 模為 (m,0)時 ,由（ 2）得： )e x p (c o sc o si 0 ,即不可能是 。否則，由（ 1）式知，電磁波無法存在。 （另：若0，則 由（ 2）式知該模電磁波無法存在。） 當 模為 (0,n)時 )e x p (c o sc o 0 0 ,即不可能是 。否則，由（ 1）式知，電磁波無法存在。 （另：若0，則 及 一個為零，則由（）式知該模電磁波無法存在。） 13 頻率為 的微波 ,在 矩形波導管內能以什么波摸傳播 ?矩形波導管內能以什么波摸傳播 ? 解 :頻率為 的微波波長為 1,寬為 a,高為 b 的矩形波導內 ,能傳播的 (m,n)型波截止角頻率 222200n,m,0 相應的截止波長為 2222n,m,cn,m,c 以 a=b=及 a=b=別代入上式，可算出最初幾個波形的截至波長，列如下表： 波形 102030010211112121n,m,c10,c0,c2,c1.1,c2.1,ca=0.7 b=a=0.7 b=以 ,對于 微波 ,矩形波導管只能傳10 矩形波導管只能傳10 14 一對無限大的平行理想導體板 ,相距為 b,電磁波沿平行于版面的正方 向傳播 ,設波在x 方向是均勻的 ,求可能傳播的波摸和每種波摸的截止頻率 . 解 : 0E 02 設 e x p, 0x x ;y s in s ys in s y s in s 由邊界條件 : . ; z 當 y=0,b 時 0 0其中 ,2222 222 , zz 獨立 2222 15 證明整個諧振腔內的電場能量和磁場能量對時間的平均值總相等 . 證明 : E A c o s k x s i n k y s i n k z e x p - i w x y s i n k x c o s k y s i n k z e x p - i w x y c o s k x s i n k y c o s k z e x p - i w x y 解得 將 E 的方程代入得 : i w e x py s i n kx c o s kc o s w e x py c o s kx s i n kc o s w e x py c o s kx c o s ks i n 電場能量密度對時間平均值為 : t d o c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s 代入得由 2Ts T w td t 2c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s 23222132103212303212203212102c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s xd yd zd xd yd zd xd yd *H( w t d ts i s i c o o s)c o s i o s)c o c o i 由 2Tw 代入 20208 s i c o s)co s