16_4256776_65.立體幾何問題的基底向量解法VIP

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 立體幾何問題的基底向量解法 基底向量解法 的 應(yīng)用程序 不需要建系求點的坐標(biāo) ,直接利用向量也可解決立體幾何問題 ,我們稱其為基底向量法 ;基底向量法的理論基礎(chǔ)是基底定理 ,基底向量法為我們提供了解決立體幾何問題的又一利器 ,尤其是對“不規(guī)則” 的 幾何 體最為有效 . 母題結(jié)構(gòu) : 如果 a、 b 是平面內(nèi)二個不共線向量 ,那么存在唯一的一組實數(shù)(x,y),使得 x=xa+如果點 則三點 A、 B、 其中 , + =1. 如果 a、 b、 c 是空間內(nèi)三個不共面的向量 ,x 是空間內(nèi)的任意向量 ,那么存在唯一 的一組實數(shù) (x,y,z),使得x=xa+yb+如果點 則四點 A、 B、 C、 其中 , + + =1. 解 題 程序 :尋找確定三個不共面 (最好具有公共始點 )且模長及兩兩夾角已知或可求的向量作為基底向量 ;將待求的有關(guān)向量用基底向量表示 ;利用向量關(guān)系 和計算求解 有關(guān) 問題 . 子題類型 :(2014 年 大綱 高考試題 )已知正四面體 ,E 是 中點 ,則異面直線 成角的余弦值為( ) (A)61(B)63(C)31(D)33解析 :設(shè) 正四面體 棱長為 2,2a,2b,2c,則 |= 3 , 2c(|63 B). 點評 :對于 正 四面體 ,可 選擇 任意一個頂點上的三條棱 上的 向量 a,b,c 為基底向量 ,若 |a|=|b|=|c|=2,則 ab=bc=. 子題類型 :(2009年全國 高考試題 )已知三棱柱 則異面直線 ) (A)43(B)45(C)47(D)43解析 :不 妨設(shè)棱長為 2,選擇基向量 1,則 |= 3 , 1 1 1 1( 1= 3 D). 點評 :若 幾何體中存 在三條兩兩 垂直的 線段 ,且 其 長度的比是確定的 ,則 可 選擇 這 三 條 線段 上的 向量為基底向量 . 子題類型 :(2008年 四川 高考試題 )若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為 2的正方形 ,另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為 600的菱形 ,則該棱柱的體積為 ( ) (A) 2 (B)2 2 (C)3 2 (D)4 2 解析 :設(shè) 11a, 11b, c,作 底面 ,設(shè) (a+b),則 (a+b);由 11 0 aa+b)=0 =31 a+b) |=362 該棱柱的體積 =2 2 B). 點評 :若 幾何體中存 在三條兩兩 夾角已 知 的 線段 ,且 其 長度的比是確定的 ,則 可 選擇 這 三 條 線段 上的 向量為基底向量 . 1.(1995 年 上海市高中數(shù)學(xué)競賽 (新知杯 )試題 )正四面體 棱長是 16,E 是棱 中點 ,F 在棱 ,若 ,則線 段 長等于 . 2.(2005年 上海市高中數(shù)學(xué)競賽 (新知杯 )試題 )正四面體 棱 、 F,若 F=2線段 3.(2005年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東 初賽試題 )已知正四面體 1F=41則直線 弦值 是 ( ) (A)134(B)133(C)2012 年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西 初賽試題 )在正四面體 ,平面 足為 是線段 一點 ,且滿足 ,則 . 5.(2005年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 試題 )空間四點 A、 B、 C、 |=3,|=7,|=11,|=9,則 的取值 ( ) (A)只有一個 (B)有二個 (C)有四個 (D)有無窮多個 6.(2008年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北 初賽試題 )已知正三棱錐 ,其外接球的球心 A + =0,則這個正三棱錐的體積為 . 7.(2012年 大綱 高考試題 )三 棱 柱 底面邊長和 側(cè)棱長都相等 , 00,則異面直線 . 8.(2010年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 試題 )正三棱柱 條棱長都相等 ,二面角 ,則 . 9.(2007 年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽 初賽試題 )平行六面體 頂點 A 出發(fā)的三條棱 長度分別為2、 3、 4 且兩兩夾角都為 600,那么這個平行六面體的四條對角線 按順序 )分別為 . 10.(1992年 上海市高中數(shù)學(xué)競賽 (新知杯 )試題 )在平行六面體 已知對角線 ,是空間一點使,則 . 設(shè) 8a,8b,8c,則 |a|=|b|=|c|=2,ab=bc=,25b+211|= 137 . 設(shè) 3a,3b,3c,則 |a|=|b|=|c|=2,ab=bc=,2b+|= 23 . 設(shè) 正四面體 的棱長 為 4,a,b,c,則 41F =3b+41c |2=(41a- c)2=13,|2=(3b+41c)2=13, (413b+41c)=4 (A). 設(shè) a, b, c,則 31(a+b+c),設(shè) (a+b+c),則 (a+b+c) (a+b+c)M =0 ( -1)( + 2 2+ -1) 2 ( -1) =61 1. 設(shè) a,b,c,則 |a|=3,|7,|11,|c|=9 ,9,2