2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽解答題匯編含答案

1、九年級實(shí)驗(yàn)班數(shù)學(xué)競賽試卷15已知關(guān)于x的方程x3ax22ax+a21=0有且只有一個實(shí)數(shù)根. 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式。-104xyBCAOABCDEM第17題圖H17如圖，O為ABC的外接圓，BAC=60，H為邊AC、AB上高BD、CE的交點(diǎn)，在BD上取點(diǎn)M，使BM=CH。（1）求證：BOC=BHC；（2）求證：BOMCOH； （3）求的值

2、.18一個棋盤有13行17列，每個小方格里都寫了一個數(shù)，從左上角開始，第一行依次為1, 2, , 17；第二行依次為18, 19, , 34; ，一直寫到最后一行，現(xiàn)將此棋盤里的數(shù)重寫，從左上角開始，第一列從上到下依次為1, 2, , 13；第二列從上到下依次為14, 15, , 26；，一直寫到最后一列，這樣有一些小方格在兩種寫法里有相同的數(shù)，求所有這些小方格里（有相同數(shù)的）的數(shù)之和是多少？15、將原方程視為a的一元二次方程，即a2( x2+2x)a+x31=0. 分解因式得a(x1)a(x2+x+1)=0. 則x=a+1或x2+x+1a=0.（6分）因x=a+1不是方程的根，所以，當(dāng)方程無

3、實(shí)根時，原方程有且只有一個實(shí)根. 于是=14 ( 1a)0. 解得a0，由（）可知=，=，=， 所以 =，=.因?yàn)?，所?于是，即所以由（）中，即，所以于是，可求得 . 將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）. 15分再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 .所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對稱性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或. 20分解法二 設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.由（）可知，=，所以.故 .將代入上式，平方并整理得，即.所以 或.又由（），得，.若代入上式得 從而 .同理，若 可得 從而 .所以，直線的函數(shù)解析式為，或. 20分 （14）已知，且，證明：中一定存在兩個數(shù)，使得證明：令， 5分則. 10分故一定存在20

4、10，使得，從而 15分即 20分2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽（海南賽區(qū)） 初 賽 試 卷19如圖10，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），CP與BD相交于點(diǎn)Q（1）若CP平分ACB，求證：AP =2QO（2）先按下列要求畫出相應(yīng)圖形，然后求解問題. 把線段PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，并連接AE設(shè)線段BP的長度為x，APE的面積為S. 試求S與的函數(shù)關(guān)系式；ABCDPOQ圖10 求出S的最大值，判斷此時點(diǎn)P所在的位置 20文昌某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長到三亞進(jìn)行社會實(shí)踐，為了便于管理，所有人員必須乘坐在同一列火車上；根

5、據(jù)報名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需17010元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需11220元；已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為21，文昌到三亞的火車票價格（部分）如下表所示：運(yùn)行區(qū)間公布票價學(xué)生票上車站下車站一等座二等座二等座文昌三亞81（元）68（元）51（元）（1）參加社會實(shí)踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人？（2）由于各種原因，二等座火車票單程只能買張（小于參加社會實(shí)踐的人數(shù)），其余的須買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位坐的前提下，請你設(shè)計最經(jīng)濟(jì)的購票方案，并寫出購買火車票的總費(fèi)用（單程）與之間的函數(shù)關(guān)系式（3）請你做一個預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少

6、要花多少錢？最多要花多少錢？三、解答題（本大題滿分30分，每小題15分）ABCDPEEOQM12GF3圖1019.（1）證明：過點(diǎn)O作OM/AB交PC于點(diǎn)M，則COM=CAB. 四邊形ABCD是正方形， OA=OC，CAB=CBD=COM=45, AP=2OM. 又 1=2, 1+COM=2+CBD,即 OMQ=OQM. OM=OQ AP=2OQ（本小題也可以過點(diǎn)A作直線平行于OQ證明）（2）根據(jù)題意作出圖形，如圖10所示、當(dāng)PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90時，作EFAB交BA延長線于點(diǎn)F,則EFP=PBC=90，3+CPB=90. 又2+CPB=90,3=2.又PE由PC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)形成 PE=PC

7、EPFCPB.EF=BP=, AP=1 .APE的面積S與的函數(shù)關(guān)系式為 （）.、當(dāng)PC繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90時，作EGAB交AB延長線于點(diǎn)G,則同理可得EPGCPB，EG=BP=.APE的面積S與的函數(shù)關(guān)系式為 由、可得APE的面積S與的函數(shù)關(guān)系式為，（）由知S與的函數(shù)關(guān)系式為，（）即，（）當(dāng)時S的值最大，最大值為此時點(diǎn)P所在的位置是邊AB的中點(diǎn)處20.（1）設(shè)參加社會實(shí)踐的老師有人，學(xué)生有人，則學(xué)生家長有人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座學(xué)生票，依題意得：解得 則答：參加社會實(shí)踐的老師、家長與學(xué)生各有10、20與180人（2）由（1）知所有參與人員總共有210人，其

8、中學(xué)生有180人，當(dāng)時，最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：學(xué)生都買學(xué)生票共180張，（）名成年人買二等座火車票，名成年人買一等座火車票火車票的總費(fèi)用（單程）與之間的函數(shù)關(guān)系式為： 即 （）當(dāng)時，最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：一部分學(xué)生買學(xué)生票共張，其余的學(xué)生與家長老師一起購買一等座火車票共張火車票的總費(fèi)用（單程）與之間的函數(shù)關(guān)系式為：即 （）（3）由（2）小題知，當(dāng)時，由此可見，當(dāng)時，的值最小，最小值為11233元，當(dāng)時，的值最大，最大值為11610元當(dāng)時，由此可見，當(dāng)時，的值最小，最小值為11640元，當(dāng) 時，的值最大，最大值為16980元所以可以判斷按（2）小題中的購票方案，購買一個單程火車票至少要花11233元

9、，最多要花16980元2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬題二、簡答下列各題（第9、10題各8分，第11題9分，第12、13、14題各10分，共55分，要求寫出簡略過程）9、已知a，b，c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式 的值能被13整除時，那么代數(shù)式 的值是否一定能被13整除，為什么？10、如圖5所示，在四邊形ABCD中，四邊形ABEM，MEFN，NFCD的面積分別記為，和，求 =？（提示：連接AE、EN、NC和AC） 11、已知是正整數(shù)，且與都是完全平方數(shù). 是否存在，使得是質(zhì)數(shù)？如果存在，請求出所有的值；如果不存在，請說明理由.12、某市電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和第二位數(shù)之間加上3成為一個七

10、位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個八位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話號碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號碼的33倍。問這家原來的電話號碼是多少？13、圖6是一個99的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個9位數(shù). 請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由. 14、平面上有6個點(diǎn)，其中任何3個點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角形沒有公共頂點(diǎn)

11、，最多可以選出多少個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共邊，最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）三、詳答下列各題（每題15分，共45分，要求寫出詳細(xì)過程）15、壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時，王雪說：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”. 已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人年齡的總和是105歲. 請回答：誰是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是多少歲？16、請回答：能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能

12、，請給出一個例子；如果不能，請說明理由.17、甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的2 3，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈時速度提高了15. 已知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米，問：這條橢圓形跑道長多少米？9、解：設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè) 比較上式a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有 取，可以得到 ，則有 既然和都能被13整除，就能被13整除.【說明】 表式為均能被13整除的兩個代數(shù)式的代數(shù)和，表達(dá)方式不唯一，例如：取，則有 ，則有；實(shí)際上，是一組二

13、元整系數(shù)不定方程，我們先解第一個，得到 ，這里k是任意整數(shù)，將代入其余方程，解得，這里k是任意整數(shù)，則可以有.10、解：如圖5a，連接AE、EN和NC，易知 由 ，兩個式子相加得 并且四邊形AECN的面積=. 連接AC(如圖5b)由三角形面積公式，易知，兩個式子相加得 S四邊形AECN = 將式和相加，得到，既然，因此，.圖5b11、解：不存在正整數(shù)，使得是質(zhì)數(shù)。理由如下： 設(shè)，其中，都是正整數(shù)，則.若，則不是質(zhì)數(shù)；若，則于是，矛盾.綜上所述，不存在正整數(shù)，使得是質(zhì)數(shù).12、解：設(shè)原電話號碼為，則升位后為，令，即，化簡得，的整數(shù)），故，.于是.故所求的電話號碼為859375.13、解答：填數(shù)的

14、方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9，所以，原題圖6左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有數(shù)字5，所以，在圖6右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有數(shù)字6，圖6中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在（9，6）；此時，在第九行尚缺數(shù)字7和3，由于第9列有數(shù)字7，所以，7應(yīng)當(dāng)填在（9，8）； 3自然就填在（9，9）了，填法見圖6a. 九位數(shù)是 495186273.14、解答： （1）先從6個點(diǎn)中選取1個做三角形的一個頂點(diǎn)，有6種取法；再從余下的5個點(diǎn)中選取1個做三角形的第二個頂點(diǎn)，有5種

15、取法；再從余下的4個點(diǎn)中選取1個做三角形的第三個頂點(diǎn)，有4種取法. 因?yàn)槿魏?個點(diǎn)不在同一條直線上，所以，這樣選出的三個點(diǎn)可以做出1個三角形. 但是，如果選出的三個點(diǎn)相同的話，則做出的三角形相同，三個點(diǎn)相同的取法有321=6種，所以，以這6個點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造 個不同的三角形. （2）每個三角形有3個頂點(diǎn)，所以，6個點(diǎn)最多只能構(gòu)造2個沒有公共頂點(diǎn)的三角形.（3）用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個點(diǎn)，假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個三角形，它們共有15個頂點(diǎn)，需要15個英文大寫字母. 這里不同的英文大寫字母僅有6個. 因此，這5個三角形中至少有3個三角形有同一個頂點(diǎn)，無妨設(shè)為A. 根據(jù)假

16、設(shè)，這3個三角形兩兩沒有公共邊，即除去公共頂點(diǎn)A之外，其余6個頂點(diǎn)互不相同，即表示這6個頂點(diǎn)的字母不相同. 但是，除A之外，我們僅有5個不同的字母. 所以，不可能存在5個三角形，它們兩兩沒有公共邊. 又顯然，和這4個三角形兩兩沒有公共邊. 所以，最多可以選出4個三角形，其中任何兩個三角形都沒有公共邊.三、解答題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）15、解：設(shè)劉芳的年齡為x歲. 劉芳和路路的年齡和是36歲，是個偶數(shù)，他們的年齡差也是一個偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳. 注意到菲菲比劉芳小29歲，菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳.壯壯和媽媽劉芳的年齡的和

17、為( 路路歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是 歲，和為 菲菲歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是 歲，和為 由于6個人共105歲，所以，. 解出x=32,菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36，路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲.答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲.16、解： （1）由于，故有 . 所以，能表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）.（2）不妨設(shè)，現(xiàn)在的問題就是尋找整a，b，c，滿足由，則有，從而,所以 . 又有，所以 ，故或16.若，則有 ，由于，并且 ，所以，.故 ，100或121. 將 、100和121分別代入 ，沒有一個是完全平方數(shù)，說明當(dāng)

18、 時，無解.若 ，則 . 類似地，可得： ，即 ，此時，不是整數(shù). 綜上所述，不能表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和.17、解：讓我們畫兩個示意圖(上圖)，并設(shè)一開始時甲的速度是a，于是乙的速度便是23a。再設(shè)跑道長是L，則甲、乙第一次相遇點(diǎn)，按甲前進(jìn)方向距出發(fā)點(diǎn)為35L。甲跑完第一圈，乙跑了23L，乙再跑余下的13L，甲已折返，且以a(113)43a的速度跑，所以在乙跑完第一圈時，甲已折返跑了23L，這時，乙折返并以23a(1十15)45a的速度跑著。從這時起，甲、乙速度之比是43a45a53，即53。所以在二人第二次相遇時，甲跑了余下的L3的58，而乙跑了它的38，即第二次相遇時距出發(fā)點(diǎn)

19、38L3L8。可見兩次相遇點(diǎn)間的距離是35-18L190(米)，即1940L190(米)，L400(米)答：跑道長為400米 SDF2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省初賽試題解答第一試 一、（分）試確定，對于怎樣的正整數(shù)，方程有正整數(shù)解？并求出方程的所有正整數(shù)解解：將方程改寫為 ， 5由于表成兩個正整數(shù)的平方和，只有兩種不同的形式： 10所以， ，或 ，或 15由得（當(dāng)或）；由得（當(dāng)或）；由得 （當(dāng) 或）； 或 （當(dāng)或）；由得（當(dāng)）；或 （當(dāng)或） 20二、（分）銳角三角形的外心為，外接圓半徑為，延長，分別與對邊交于；證明：證： 延長交于，由于共點(diǎn)， 5則 10而，15同理有,， 20代入得， 所

20、以 25三、（分）設(shè)為正整數(shù)，證明：1、如果是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，那么也是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積；2、如果是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，那么也是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積證明：1、如果是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，設(shè)，其中為正整數(shù)，5則為兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積； 102、如果是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積，設(shè)，其中為正整數(shù)，則 15于是，是的倍數(shù)，且是奇數(shù)；設(shè)，由得， 20因此，即，它是兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積252011年全國初中數(shù)學(xué)競賽天津賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)三、解答題（本大題共4小題，每小題滿分20分，共80分）（11）（本小題滿分20分）若多項(xiàng)式加上一個單項(xiàng)式后，能成為一個含有的完全平方式，求所有滿足條件的

21、單項(xiàng)式【解】設(shè)滿足條件的單項(xiàng)式為，則當(dāng)時，； 5分當(dāng)時，； 15分當(dāng)時，、均滿足條件 可以證明滿足條件的單項(xiàng)式有且僅有以上4個20分BCDA（12）（本小題滿分20分）如圖，有任意四邊形，點(diǎn)依次是頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，設(shè)表示四邊形的面積，表示四邊形的面積，試求的值【解】如圖，連接，,根據(jù)題意，點(diǎn)是頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)， 點(diǎn)是頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)BCDA 10分同理可得：； 15分而，即 20分B CDMEA（13）（本小題滿分20分）如圖所示，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：【證明】 如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，連接在平行四邊形中，B CDMEAF，又， 5分由于

22、是的中點(diǎn)，又， 在中，有 10分由已知，有 15分而，又， 20分（14）（本小題滿分20分）已知拋物線上有一點(diǎn)位于軸的下方（）求證：已知拋物線必與軸有兩個交點(diǎn)；（）設(shè)已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)為，其中，求證：；（）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求（）中的整數(shù)，【解】（）點(diǎn)在拋物線上，且位于軸的下方，這表明二次方程根的判別式，則該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，于是拋物線必與軸有兩個交點(diǎn) 5分（）根據(jù)題意，拋物線與軸有兩個交點(diǎn)， 又點(diǎn)位于軸的下方，又， 10分（）點(diǎn)在已知拋物線上，且， 是整數(shù)，也均為整數(shù)，且由，有，或 即或 20分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯”2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題11已

23、知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x1，試求a、b的值。12.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根恰好比方程的兩個根都大1，求的值. 13如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求證：=；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且=60，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. （第13題）14（甲）如圖，ABC中，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且，求ABC的面積（第14題）11. 解：把x1代入原方程并整理得（b4）k72a要使等式（b4）k72a不論k取什么實(shí)數(shù)均成立，只有解之得，12解：設(shè)方程的兩個根為，其中為整數(shù)，且，則方程的兩根為，由題意得，兩式相加得

24、 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因?yàn)?所以；或者，故，或29. 13解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由（第13題）得 ，于是 ，即 . 于是 又因?yàn)?，所? 因?yàn)椋裕?故=.（2） 設(shè)，不妨設(shè)0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因?yàn)?，所?于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）. 再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對稱性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或.14解：如圖，作ABQ，使得則ABQACP . 由于，所以相似比為2.于是

25、（第14題）. 由知，于是所以 ，從而于是 . 故 初三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題二：解答題：（每題10分，共40分）19. 某射擊運(yùn)動員在一次比賽中，前6次射擊已經(jīng)得到52環(huán)，該項(xiàng)目的記錄是89環(huán)（10次射擊，每次射擊環(huán)數(shù)只取110中的正整數(shù)）.（1）如果他要打破記錄，第7次射擊不能少于多少環(huán)？（2）如果他第7次射擊成績?yōu)?環(huán)，那么最后3次射擊中要有幾次命中10環(huán)才能打破記錄？（3）如果他第7次射擊成績?yōu)?0環(huán)，那么最后3次射擊中是否必須至少有一次命中10環(huán)才有可能打破記錄？20.求關(guān)于的不等式的解GCABFD21.如圖，設(shè)是直角三角形，點(diǎn)在斜邊上，已知圓過點(diǎn)相交于，與相切于的中點(diǎn)，求證：。D22.先閱讀

26、短文，再回答短文后面的問題 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線KlyOMFx下面根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程如上圖，建立直角坐標(biāo)系xoy，使x軸經(jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合設(shè)KFp（p0），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線l的方程為x設(shè)點(diǎn)M（x，y）是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d，由拋物線的定義，拋物線就是滿足MFd的點(diǎn)M的軌跡MF dx x將上式兩邊平方并化簡，得y22px（p0） 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是（，0），它的準(zhǔn)

27、線方程是x一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式：y22px，x22py，x22py這四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px（p0）（，0）xy22px（p0）（，0）xx22py（p0）（0，）yx22py（p0）（0，）y解答下列問題：（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，準(zhǔn)線方程是 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，6），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （2）點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l：x50的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程（3）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB

28、的長 19.解：設(shè)第7、8、9、10次射擊分別為x7、x8、x9、x10環(huán)（1）52+x7+x8+x9+x1089 又x810 x910 x1010x77如果他要打破紀(jì)錄，第7次射擊不能少于8環(huán) （3分）（2）52+8+x8+x9+x1089 而 x8+x9+x1029又x8、x9、x10只取110中的正整數(shù)x8=x9=x10=10即：要有3次命中10環(huán)才能打破紀(jì)錄 （3分）（3）52+10+x8+x9+x1089 而x8+x9+x1027又x8、x9、x10只取110中的正整數(shù)x8、x9、x10中至少有一個為10即：最后三次射擊中必須至少有一次命中10環(huán)才可能打破紀(jì)錄 （4分）20：解：原不

29、等式可化為： （1分）(1) 當(dāng)時，不等式的解為； （2分）(2) 當(dāng)時， 時，不等式的解為； （2分） 時，不等式的解為； （2分） 時，不等式的解為全體實(shí)數(shù) （1分）(3) 當(dāng)時，不等式無解 （1分）綜上所述：當(dāng)或時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時，不等式無解（1分）21.證明：過D作DE AC于E BAC = 90 DEAB （3分）又 AB切圓于點(diǎn)G （切割線定理）又 AG = AB RtAED RtABF （5分） EAD = ABF EAD + DAB = 90 ABF + DAB = 90 即 AD BF （2分）22：（1）： （1分） （1

30、分） （2分）（2）： （3分）（3）：16/3 （三分之十六） （3分）2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、（本題滿分20分）已知三個不同的實(shí)數(shù)滿足，方程和有一個相同的實(shí)根，方程和也有一個相同的實(shí)根求的值解 依次將題設(shè)中所給的四個方程編號為，設(shè)是方程和方程的一個相同的實(shí)根，則 兩式相減，可解得5分設(shè)是方程和方程的一個相同的實(shí)根，則兩式相減，可解得。2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共8頁）所以 10分又方程的兩根之積等于1，于是也是方程的根，則。又 ，兩式相減，得 15分若，則方程無實(shí)根，所以，故于是 又，解得 20分二（本題滿分25分）如圖，在四邊形ABCD中，已知，對角線交于點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)求證：（1）；（2）證明 （1）由已知得 ，從而四點(diǎn)共圓，為直徑，為該圓的圓心 5分作于點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，所以，從而 10分（2）作于點(diǎn)，則又， ， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以 25分三（本題滿分25分）已知為正整數(shù)，設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若，且（1）證明：；（2）求圖象經(jīng)過三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式解 （1）因?yàn)椋?，即由，?分又2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 第5頁（共8頁），從而有，即 10分（2）由，知是關(guān)于x的一元二次方程 的兩個不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或 15分當(dāng)時，方程為，