講座多元微分學

1、最新資料推薦第八章多元函數(shù)微分學第一節(jié)基本概念、定理與公式一、二元函數(shù)的定義及定義域1 二元函數(shù)的定義定義 1 設 x ， y ， z 是三個變量如果當變量 x ， y 在在一定范圍 D 內(nèi)任意取定一對數(shù)值時， 變量z 按照一定的法則 f 總有確定的數(shù)值與它們對應， 則稱變量 z 是變量 x ，y 的二元函數(shù)，記為 z f ( x, y) . 其中 x ， y 稱為自變量， z 稱為因變量 . 自變量 x ， y 的取值范圍 D 稱為函數(shù)的定義域 .二 元函數(shù)在 點x0 , y0所取得的 函數(shù)值記 為z xx0 ， z ( x ,y) 或 f ( x0 , y0 )yy00 02 二元函數(shù)的定

2、義域二元函數(shù)的定義域一般為平面區(qū)域上的點集二元函數(shù)的定義域較復雜，它可以是一個點，也可能是一條曲線或幾條曲線所圍成的部分平面，甚至可能是整個平面整個平面或由曲線圍成的部分平面稱為區(qū)域；圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界；邊界上的點稱為邊界點，邊界內(nèi)的點稱為內(nèi)點不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域， 連同邊界在內(nèi)的區(qū)1最新資料推薦域稱為閉區(qū)域，部分包括邊界的區(qū)域稱為半開半閉區(qū)域能用封閉曲線圍成的區(qū)域稱為有界區(qū)域， 反之稱為無界區(qū)域開區(qū)域如 : ( x, y) 1 x2y24yyoxxo閉區(qū)域 如:( x, y) 1x2y24注：和一元函數(shù)一樣，二元和二元以上的函數(shù)也只與定義域和對應關(guān)系有關(guān)， ，與用什么字母表

3、示自變量與因變量無關(guān)例 1求下列函數(shù)的定義域，并畫出的圖形(1)zln 1 x2y2（2） zarcsin(xy)解（ 1） 要使函數(shù)有意義，應有 1x2y20即x2y21，定義域為有界開區(qū)域( x, y) x2y 21（ 2 ） 要 使 函 數(shù) 有 意 義 ， 應 有 x y1 ， 即2最新資料推薦1xy1定義域為無界閉區(qū)域( x, y)1xy13 二元函數(shù)的幾何意義設 P( x, y) 是二元函數(shù) zf (x, y) 的定義域 D 內(nèi)的任一點 , 則相應的函數(shù)值為zf ( x, y) , 有序數(shù)組 x ，y ， z 確 定 了 空 間 一 點 M (x, y, z) , 稱 點 集( x,

4、 y, z) zf ( x, y),( x, y) D 為二元函數(shù)的圖形 .二元函數(shù) zf ( x, y) 的圖形通常是一張曲面 .注：和一元函數(shù)一樣，二元和二元以上的函數(shù)也只與定義域和對應關(guān)系有關(guān)，與用什么字母表示自變量與因變量無關(guān) .二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1二元函數(shù)的極限以點 P0 ( x0 , y0 ) 為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點的集3最新資料推薦合 ( x, y) (xx0 )2( y y0 ) 2稱為點 P的鄰域，記0作 U ( P0 , ) 定義 2設二元函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 )的某一鄰域內(nèi)有定義（點P0 可以除外） , 點 P(x, y)

5、是該領(lǐng)域內(nèi)異于P0 的任意一點如果當點 P(x, y) 沿任意路徑趨于點 P0 ( x0 , y0 ) 時 , 函數(shù) f ( x, y)總無限趨于常 數(shù) A ， 那 么 稱 A 為 函 數(shù) zf ( x, y) 當( x, y) ( x0 , y0 ) 時的極限，記為limf ( x, y) A或limf ( x, y) Ax x0( x, y) ( x0 , y0 )y y0說明：（1）定義中 PP0的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù) .（2）倘若沿兩條不同的路徑，limf

6、(x, y)不相等，x x0y y0limf ( x, y)不存在，這是證明多元函數(shù)極限則可斷定 x x0y y0不存在的有效方法（ 3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似，如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、等價無窮小代換等 .4最新資料推薦例 2lim sin(x2 y)求極限 x 0x2y2y 0解其中l(wèi)imsin(x2y)lim sin( x2y)x2yx2y2x 0x 0x2 y x2y2y 0y 0x2 y1sin( x2 y)0x2y22 xlimy2x 0 x2y0例 3 證明limx3 y不存在x6y2x 0y 0證明：設 y3limx3 ylimkx6k其6626

7、2kx，則 x0xy2x0xkx1ky0y0值隨 k 的不同而變化，故極限不存在確定極限不存在的方法：（1）令點 P( x, y) 沿 ykx趨向于 P0 (x0 , y0 ) ，若極限值與k 有關(guān)，則 f ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 處極限不存在 ;（2）找出兩種不同趨近方式，使lim f (x, y) 存在，但x x0y y0兩者不相等，則此時f ( x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 處極限不存在;2二元函數(shù)的連續(xù)性定義 3 設函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 (x0, y0 ) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果處連續(xù) .x x0, y0 ), 則稱函數(shù)

8、f ( x, y)在點P0(x0 , y0 )lim f (x, y) f (x0yy05最新資料推薦定義 4 設函數(shù) z f ( x, y) 在點 P0 (x0 , y0 ) 的某一鄰域內(nèi)有定義，分別給自變量 x ， y 在 x0 ， y0 處以增量 x ， y ，得全增量z f (x0x, y0y)f (x0 , y0 )如果極限limz0x0y0則稱 z f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 處連續(xù)如果函數(shù) zf ( x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)每一點都連續(xù) , 則稱函數(shù) f ( x, y) 在區(qū)域D 內(nèi)連續(xù) .如 果函 數(shù) zf ( x, y)在 點 P0 ( x0 ,

9、y0 ) 不連 續(xù) ，則稱 點P0 (x0 , y0 ) 是函數(shù)f (x, y) 的間斷點 .例 4求 lim xy x2xyy 3解 因為函數(shù) f (x, y) xxyy 是初等函數(shù) , 且點 (2,3) 在該函數(shù)的定義域內(nèi) , 故 limx yf (2,3)5x 2xy6 .y 3例 5討論函數(shù) f (x, y)x2xyy2 ,x2y200,x2y20的連續(xù)性解當 (x, y)(0,0)時， f (x, y) 為初等函數(shù) , 故函數(shù)在( x, y)(0,0)點 處 連 續(xù) . 當 ( x, y)(0,0)時 ， 由 例 6知lim f ( x, y)lim2 xyy2不存在 , 所以函數(shù)

10、f (x, y) 在點(0,0)x 0x 0 xy 0y 06最新資料推薦處不連續(xù)，即原點(0,0) 是函數(shù)的間斷點3有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值性質(zhì) 2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值三、偏導數(shù)1. 偏導數(shù)的定義定義 5設函數(shù) zf ( x, y) 在 P0 (x0, y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義 ,固定 y y0 , 在 x0處給自變量 x 以增量 x , 相應地得到函數(shù) z 關(guān)于 x 的得增量 ( 稱為偏增量 ):xz f ( x0x, y0 ) f (x0

11、 , y0 )如果極限 lim0x zlimf ( x0x, y0 )f (x0 , y0 )xxx0x存在 , 則稱此極限值為函數(shù)z f (x, y) 在點 P0 ( x0 , y0 ) 處對 x的偏導數(shù) , 記為zxx x0y y0， f xxx， zx xx0或 fx (x0 , y0 ) .0yy0yy0類似地 , 函數(shù) zf ( x, y) 在點 ( x0,y0 ) 處對 y 的偏導數(shù)定義為 :limy zlimf ( x0 , y0y)f ( x0, y0 )，y 0yy0y記為zyx x0y y0， f yxx0， zy xx0 或 f y (x0, y0 ) .yy0yy07最

12、新資料推薦例 6求 zx23xy y2 在點 (1, 2)處的偏導數(shù) .解把y看 成 常 數(shù) , 得 z2x 3y ， 則xzx2 1328 ；x 1 y 2把 x 看成常數(shù) , 得 z3x 2y ，則 zyy3 1227.x 1 y 2例 7求函數(shù) f (x, y)arctan x 的偏導數(shù)y解:z11yy2 ，z1xxxx2 yx2x1x2y2x2y21yy例 8222設 ux2y2z2，證明uuu1 .xyz證明：因為 ux ， uy ， uz ，xuyuzu22u2x2y2z2u 2所以uu1xyzu2u2例 9已知理想氣體的狀態(tài)方程(為常數(shù) ).PV=RTR求證： PVT1VTPRT

13、PRTRTVRPV證:,因為 PVVV 2；VPT P； TRTV. 所以PVTRTR VRTPVTPV2PR1RPV注：偏導數(shù)的記號z ,z 是一個整體 , 不能看成微xy商, 否則導致運算錯誤例 10求 f ( x, y)x2xyy2, x2y20 在點 (0,0)處的偏0,x2y208最新資料推薦導數(shù) .x 00解: fx (0,0)f (0x,0) f (0,0)(x)202limlim0x 0xx0xy 00f (0y,0)f (0,0)( y)2020 .f y (0,0) limlimy 0yy0y注意 : (1)二元函數(shù)在某點存在偏導數(shù) , 并不能保證函數(shù)在該點連續(xù), 與一元函

14、數(shù)可導必連續(xù)是不相同的(2) 在分界點處的偏導數(shù)，用偏導數(shù)定義求(3) 由偏導數(shù)的概念可知， f ( x, y) 在點 (x0 , y0 ) 處關(guān)于 x的偏導數(shù)f x ( x0 , y0 ) 顯然就是偏導數(shù)f x ( x, y) 在點 (x0 , y0 ) 處的函數(shù)值；fy ( x0 , y0 ) 是偏導數(shù) fy ( x, y) 在點 (x0 , y0 ) 處的函 數(shù)值從偏導數(shù)的定義中可以看出，偏導數(shù)的實質(zhì)就是把一個自變量固定，而將二元函數(shù)看作另一自變量的一元函數(shù)的導數(shù)2. 偏導 數(shù)的 幾何 意義：設 P0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 ) 為曲 面zf ( x, y) 上的一點

15、，過P0 作平面 y y0 截此曲面 z f (x, y) 得一曲線，其方程為zf ( x, y0 ) ，則導數(shù)f x ( x0 , y0 ) 就是曲線zf ( x, y0 ) 在點 P0 ( x0 , y0 , f (x0, y0 ) 處的切線對x 軸的斜率（設切線與 x 軸的傾斜角為，則 fx (x0 , y0 )tan）9最新資料推薦同樣，偏導數(shù)f y (x0 , y0 ) 是曲面 zf ( x, y) 與平面 xx0 的交線在點 P0 (x0 , y0 , f ( x0 , y0 ) 處的切線對y 軸的斜率（設切線與 y 軸的傾斜角為，則 f y ( x0 , y0 ) tan ）3、

16、高階偏導數(shù)函數(shù) zf ( x, y) 的兩個偏導數(shù)zf x ( x, y) ， zf y (x, y) 它們xy都是 x ， y 的二元函數(shù) , 如果這兩個函數(shù)關(guān)于x ， y 的偏導數(shù)也存在 ,即z ，z ，z，z ，稱它xxyxx yyy們?yōu)槎瘮?shù) zf ( x, y) 的的二階偏導數(shù)二元函數(shù)的二元偏導數(shù)最多有4 個將xz表為 2 z2 或 f xx ( x, y) 或 zxx ；xxyz表為 2 z 或 f xy (x, y) 或 zxy ；xxyxz 表為 2 z 或 f yx (x, y) 或 zyx ；yyx10最新資料推薦yz表為 2 z2 或 f yy ( x, y) 或 zy

17、y yy其中，z2 zfxy ( x, y) zxy，z2 zxx yx yf yx ( x, y) zyxyy x是二階混合偏導數(shù)類似地 , 二階偏導數(shù)的偏導數(shù)，稱為原來函數(shù)的三階偏導數(shù)，二元函數(shù)zf ( x, y) 的三階偏導數(shù)最多有8個：fxxx ， f xxy ， f xyx ， f xyy ， f yxx ， f yxy ， f yyx ， f yyy一般地， n 1階偏導數(shù)的偏導數(shù)，稱為原來函數(shù)的 n 階偏導數(shù)，二元函數(shù) z f ( x, y) 的 n 階偏導數(shù)最多有 2n 個二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，而zx和 z 稱為函數(shù)的一階偏導數(shù)y注：二階偏導數(shù)的計算方法是逐次求

18、偏導數(shù)定理（求偏導數(shù)次序無關(guān)的定理）如果函數(shù)z f ( x, y) 的兩個二階混合偏導數(shù)2 z ，2 z 在區(qū)域 D 內(nèi)連x yy x續(xù), 則對任何 ( x, y) D 有2 z2 z .x yy x即二階混合偏導數(shù)連續(xù)的條件下, 混合偏導數(shù)與求導的次序無關(guān) , 對更高階的偏導數(shù)也有類似的結(jié)論4. 全導數(shù)的定義11最新資料推薦設 z f (u, v) ， u(t ) ， v(t) ，且 f、 、 均可導，則關(guān)于 t 的一元函數(shù) z f (t ),(t ) 也可導，且有dzfduf dvdtudtv dtz 對 t 的導數(shù)叫全導數(shù)四、全微分1. 定義設函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 (x

19、0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義 , 給 x ， y 在 (x0 , y0 ) 分別以增量x 、 y ，相應地得到函數(shù)的全增量 z ，若其可表示為zAxB y o()其中 A 、 B 與 x 、 y 無關(guān)( x)2( y)2 o( ) 為 x 0 ，y 0 時 的高階無窮小則稱函數(shù)f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 處可微A x B y稱為f ( x, y)在 000)處的全微分，記為P (x, ydz ( x, y )00當zf ( x, y)在zf x (x0 , y0 ),Axxx0yy0dz ( x0 , y0 )zxzyx xy xx0x0y y0yy0df (x

20、0, y0 )A xB yP0 ( x0 , y0 )可微時，zfy ( x0 , y0 )， 于 是By x x0yy0注意：規(guī)定自變量的增量等于自變量的微分，即xdx ，ydy ，則全微分又可記為dzz dxz dy .xy五、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導數(shù)及全微分之間的關(guān)系12最新資料推薦定理 2若函數(shù) zf (x, y) 在點 P(x, y) 處可微，則函數(shù)在點 P( x, y) 連續(xù)定理 3（可微的必要條件）如果函數(shù)z f (x, y) 在點 P( x, y) 處可微，則在該點處的兩個偏導數(shù)z、 z 必都xy存在，且 dzz dxz dy xy定理 4（可微的充分條件）若函數(shù)zf ( x,

21、y) 的兩個偏導數(shù)z 、 z 在點 P(x, y) 的某領(lǐng)域存在，并且在點xyP( x, y) 處連續(xù)，則函數(shù) z f ( x, y) 在點 P( x, y) 處必可微注：若 zf ( x, y) 在 P( x, y) 處 ,z 、 z 都存在 , 不能保xy證 z f ( x, y) 在 P( x, y)處可微分 .例如： f ( x, y)x2xyy2 , x2y20 在點 (0,0)處 fx (0,0) 0 ，0,x2y20f y (0,0) 0 但它在點 (0,0)處不可微分 .注：（1）關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的充分條件可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù) .（ 2）

22、函數(shù) z f ( x, y) 的偏導數(shù)存在與否與函數(shù)是否連續(xù)毫無關(guān)系六、多元復合函數(shù)微分定理 ( 復合函數(shù)的偏導數(shù) ) 設函數(shù) u( x, y) ，v( x, y)13最新資料推薦在點 ( x, y) 處有偏導數(shù)， 函數(shù) zf (u, v) 在對應點 (u, v) 處有連續(xù)偏導數(shù) , ，則復合函數(shù) zf (x, y),( x, y) 在點 ( x, y) 處的偏導數(shù)存在 , 且zzuzvzzuzvxuxvxyuyvyuxzvy七、隱函數(shù)微分1. 一元隱函數(shù)求導公式方程F ( x, y)0yy(x) ， F (x, y( x)0 ，鏈式圖F兩邊對 x 求導，得：xyxFFdy則 dyFFx0 ，

23、xxydxdxFFyy2. 二元隱函數(shù)求導公式方程 F ( x, y, z)兩邊對 x 求導：兩邊對 y 求導：得zx0zz( x, y) 得 F (x, y, z( x, y)0FFzxz0xFFzyz0yFxzFyFzyFz14最新資料推薦7.2 偏導數(shù)在幾何上的應用一、空間曲線的切線與法平面xx(t )空間曲線yy(t ) ，下面給出曲線的切線的定義zz(t )定義：設點 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是空間曲線上的一個定點，M 是曲線 上的一個動點，當點 M 沿著曲線 趨近于 M 0 時，割線 M 0 M 的極限位置 M 0T（如果存在）稱為曲線 在點 M 0 的切線，并稱

24、過點 M 0 而且垂直于切線 M 0T 的平面為曲線 在點 M 0 的法平面下面推導曲線 在點 M 0 的切線和法平面方程設對應于定點 M 0 的參數(shù)為 t0 ，令 x0x(t0 ) ， y0 y(t0 ) ，z0z(t0 ) ，則點 M 0 的坐標為 ( x0 , y0 , z0 ) ，設曲線上對應于參數(shù)為 t 0t 的點 M 的坐標為 ( x0x, y0y, z0z) ，根據(jù)解析幾何知識，割線 M 0 M 的方向向量為 x,y, z ，也可取為x ,y ,z ，當 t 0 時，點 M 沿著曲線趨于 M 0 ，割線 M 0Mttt的極限位置就是曲線 在點 M 0 的切線，若 x(t ) ，

25、y(t ) ，z(t)在 t0 處可導且導數(shù)不同時為零，那么此時切線的方向向量為 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) ，從而曲線在點 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 處的切線方程為x x0y y0z z0x (t0 )y (t0 )z (t0 )曲線在點 M 0 的法平面方程為x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t 0 )( zz0 )015最新資料推薦二、曲面的切平面與法線設曲面方程為F (x, y, z)0 ，過點 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且完全在xx(t )曲 面上的曲 線 為，其參數(shù) 方 程為yy(t) ，因 此zz(

26、t)F ( x(t ), y(t ), z(t)0 對 t 求導，在 tt0 處（即在點M 0 處）有Fx (x0 , y0 , z0 )x (t0 )Fy ( x0 , y0 , z0 ) y (t 0 )Fz (x0 , y0 , z0 ) z (t0 )0向量 x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) 是曲線 在點 M 0 的切線的方向向量，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 ) 和這些切線垂直， 又由于所取曲線 的任意性，可知曲面上任意一條過 M 0 的曲線 ， 它 在 點 M 0 的 切

27、 線 皆 垂 直 于 向 量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) ，因此這些切線應位于同一平面上，這個平面稱為曲面在點M 0 處的切平面，向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) 是切平面的法向量曲面在點 M 0 處的切平面方程為Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0曲面在點 M 0 處的法線方程為x x

28、0y y0z z0Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy (x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )7.3 二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值定義 1：設函數(shù) zf ( x, y) 在點 P0 (x0, y0 ) 的某個鄰域內(nèi)有定義，若該鄰域內(nèi)16最新資料推薦f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，點 ( x0 , y0 ) 為極大點，f (x0 , y0 ) 為極大值；f ( x, y)f ( x0 , y0 ) ，點 ( x0 , y0 ) 為極小點， f (x0 , y0 ) 為極小值 . 極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值通稱為極值定義 2

29、：方程組 f x( x, y) 0的解，稱為函數(shù) z f (x, y) 的f y ( x, y) 0駐點定理 1（取極值的必要條件） ：若函數(shù) zf ( x, y) 在點P0 (x0 , y0 ) 一階偏導數(shù)存在，且P0( x0 , y0 ) 是 z f ( x, y) 的極值點，則該點的偏導數(shù)必為零，即f x ( x0, y0 )0 f y ( x0, y0 )0定理 2（極值存在的充分條件） ：設點 P0 ( x0 , y0 ) 是函數(shù) z f ( x, y) 的駐點，且函數(shù)在點 P0(x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)二階偏導數(shù)連續(xù)，令A fxx ( x0 , y0 )Bf xy (x0 ,

30、 y0 )C f yy (x0 , y0 )則(1)當 B2AC 0 時 , 點 P0 (x0, y0 ) 是極值點 , 且（ i）當A0( 或C 0 ) 時, 點 P0 ( x0 , y0 ) 是極大值點； (ii) 當 A0 ( 或C 0 ) 時, 點 P0 ( x0 , y0 ) 是極小值點 .（ 2）當 B2 AC 0 時，點 P0 ( x0 , y0 ) 不是極值點 .（ 3）當 B2 AC 0 時，點 P0 (x0 , y0 ) 可能是極值點也可能不是極值點 .例 1 求函數(shù) f (x, y) x3 4x2 2xy y 2 1的極值 .解: （1）求偏導數(shù) f x ( x, y)

31、3x2 8x 2y ， f y ( x, y) 2x 2 y ，17最新資料推薦f xx (x, y) 6x 8 ， f xy ( x, y)y， f yy ( x, y)2（2）解方程組 fx ( x, y) 3x28x2 y 0 得駐點 (0,0) 及f y ( x, y)2 x2 y0(2, 2)在 (0,0)處， A8 , B 2 , C2 ,B2AC0在 (2, 2)處， A4 , B 2 , C2 ,B2AC0結(jié)論： 函數(shù)在 (0,0)處取得極大值 f (0,0)1，在 (2, 2) 無極值 .注意：對一般函數(shù), 可能的極值點包括駐點或至少一個偏導數(shù)不存在的點.二、條件極值與無條件

32、極值1. 求二元函數(shù)無條件極值步驟如下：（1）求 fx ( x, y) ， f y ( x, y) ，并解方程組fx ( x, y)0 ，求f y (x, y) 0得所有駐點；（2）對于每一個駐點 ( x, y) ，求出二階偏導數(shù)的值A(chǔ)fxx ( x0 , y0 ) ， Bfxy ( x0 , y0 ) ， Cf yy (x0 , y0 ) ；（ 3）定出 B 2 AC 的符號，利用極值存在的充分條件判斷駐點 ( x, y) 是否為極值點，若是，是極大值點還是極小值點，并求出極值2. 求二元函數(shù) z f (x, y) 在約束條件 ( x, y) 0 下的極值的方法和步驟如下：方法一：條件極值無

33、條件極值18最新資料推薦（1）從約束條件( x, y)0 中求出 y( x) ；（ 2）將 y( x) 代入二元函數(shù)f (x, y) 中化為一元函數(shù)f ( x,(x) ，變?yōu)闊o條件極值；（3）求出一元函數(shù)f ( x,( x) 的極值即為所求方法二：條件極值不能轉(zhuǎn)化為無條件極值（運用拉格朗日乘數(shù)法） .(1) 構(gòu)造輔助函數(shù) F( x, y, )f (x, y)(x, y) , 稱為拉格朗日函數(shù) , 其中參數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)；(2) 由 F ( x, y, ) 的一階偏導數(shù)組成如下方程組：Fx ( x, y)fx ( x, y)x (x, y)0Fy ( x, y)f y (x, y)y (x, y)0(x, y)0（ 3）結(jié)上述方程組得駐點 ( x0 , y0 ) ，則 ( x0 , y0 ) 就是函數(shù)的極值點，依題意判斷 f (