第12章虛位移原理.ppt

1、第12章 虛位移原理,12.1 基本概念 12.2 虛位移 虛功 12.3 虛位移原理 12.4 虛位移原理的應(yīng)用,12.1 基本概念,12.1.1 約束和約束方程,質(zhì)點(diǎn)系 分為自由質(zhì)點(diǎn)系和非自由質(zhì)點(diǎn)系。,自由質(zhì)點(diǎn)系 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅取決于作用力和運(yùn)動(dòng)的初始條件。,非自由質(zhì)點(diǎn)系 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受到某些預(yù)先給定的限制條件 。,12.1.2 約束的分類,1幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束,幾何約束 對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間位置的約束。,運(yùn)動(dòng)約束 不僅限制質(zhì)點(diǎn)的幾何位置，還對(duì)質(zhì)點(diǎn)的速度或角速度等進(jìn)行限制。,幾何約束方程與運(yùn)動(dòng)約束方程,12.1 基本概念,幾何約束方程,2定常約束和非定常約束,定常約束 約束方程中不顯含

2、時(shí)間t的約束。,非定常約束 約束方程中顯含時(shí)間t的約束。,非定常約束,12.1 基本概念,定常約束,3單面約束和雙面約束,單面約束 約束只能限制質(zhì)點(diǎn)沿某一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，其約束方程可用不等式表示。,雙面約束 約束還能限制其在相反方向的運(yùn)動(dòng)，其約束方程需用等式表示。,12.1 基本概念,雙面約束,剛性擺桿約束,不可伸長(zhǎng)的柔索,單面約束,本章所涉及到的只限于幾何、雙面、定常約束。,12.1.3 自由度,一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)Mi的位置可用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)決定，我們說(shuō)該質(zhì)點(diǎn)具有三個(gè)自由度。若自由質(zhì)點(diǎn)系中n有個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系共有3n個(gè)自由度。,12.1 基本概念,對(duì)于受到s個(gè)約束方程的非自由質(zhì)點(diǎn)系，其自由度數(shù)k

3、為,圖12-4所示的兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),12.1 基本概念,若質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)只限于在某個(gè)平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)系的自由度為,圖示機(jī)構(gòu)的3個(gè)約束方程,機(jī)構(gòu)的自由度數(shù),12.1 基本概念,如果質(zhì)點(diǎn)系由受到s個(gè)約束的n個(gè)剛體組成，由于一個(gè)剛體在空間的位置須由六個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)表示，該質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)為,如果這樣的質(zhì)點(diǎn)系限于在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由于一個(gè)剛體在平面內(nèi)的位置須由三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)表示，則該質(zhì)點(diǎn)系的自由度為,如圖12-2所示圓輪,12.1.4 廣義坐標(biāo),12.1 基本概念,通常，若選擇k個(gè)獨(dú)立參變量 來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)系的位置，這樣的獨(dú)立參變量稱為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于其自由度數(shù)。,單擺是一個(gè)自由度系統(tǒng)。若選擺桿與鉛垂

4、線的夾角 作為廣義坐標(biāo)，則質(zhì)點(diǎn)M的位置可表示為,12.1 基本概念,曲柄連桿機(jī)構(gòu)也是一個(gè)自由度系統(tǒng)。選取曲柄與x軸的夾角 為廣義坐標(biāo)，則質(zhì)點(diǎn) 和 的位置可表示為,12.1 基本概念,圖12-6所示的平面雙擺具有兩個(gè)自由度，如選取夾角 和 為廣義坐標(biāo)，則擺錘 和 的坐標(biāo)可以用廣義坐標(biāo)表示為,12.2 虛位移 虛功,虛位移 又稱為可能位移，是指在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小位移。,虛位移必須具備兩個(gè)條件： (1) 虛位移是無(wú)限小的。 (2) 虛位移是約束允許的。,12.2.1 虛位移與實(shí)位移,圖示位置時(shí)，凡是沿垂直于桿的任何方向（如圖中AA1、AA2方向）的無(wú)限小位移

5、，都是點(diǎn)A在此位置時(shí)的虛位移。,12.2 虛位移 虛功,（1）虛位移是約束允許的無(wú)限小位移，而實(shí)位移可以是無(wú)限小的，也可以是有限的位移。,（2）虛位移可以有多種不同的方向，而實(shí)位移有確定的方向。,（3）虛位移是假想的，僅決定于質(zhì)點(diǎn)系所受的約束。實(shí)位移不僅決定于質(zhì)點(diǎn)系所受的約束，也與受力和運(yùn)動(dòng)情況有關(guān)。,（4）虛位移用變分符號(hào)“” 表示。實(shí)位移用微分符號(hào)“d” 表示。,虛位移與實(shí)位移的區(qū)別：,12.2.2 虛功與理想約束,虛功 作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F在該質(zhì)點(diǎn)的虛位移 上所做的元功，用 表示，即,理想約束 在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有約束力所做虛功的和等于零。,若以FNi表示作用在質(zhì)點(diǎn) Mi 上的約束

6、力， 表示該質(zhì)點(diǎn)的虛位移， 表示該約束力在虛位移上所做的功，則理想約束可以用數(shù)學(xué)公式表示為,光滑接觸面約束，光滑固定鉸鏈約束，不可伸縮的柔索約束等等，都是理想約束。一般來(lái)說(shuō)，凡是沒(méi)有摩擦或摩擦力不做功的約束都屬于理想約束。,12.2 虛位移 虛功,設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系處于靜平衡狀態(tài)，作用于質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi上主動(dòng)力的合力為Fi，約束力的合力為FNi，則,當(dāng)設(shè)想給質(zhì)點(diǎn)系以某種虛位移時(shí),對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有,若質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束，約束力所做的功為零，則,12.3 虛位移原理,上式是質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要條件，也是充分條件。,結(jié)論：具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的充要條件是：作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在任

7、何虛位移上所做虛功之和等于零。這就是虛位移原理，也稱為虛功原理。,12.3 虛位移原理,若用Fix，F(xiàn)iy，F(xiàn)iz表示主動(dòng)力合力Fi在直角坐標(biāo)軸上的投影， ， ， 為虛位移 在直角坐標(biāo)軸上的投影，式(12-2)又可以寫成下面的解析表達(dá)形式,上式又稱為虛功方程或靜力學(xué)普遍方程。,當(dāng)所遇到的約束不是理想約束而具有摩擦?xí)r，只需將摩擦力當(dāng)作主動(dòng)力，在虛功方程中計(jì)入摩擦力所做的虛功即可。,12.4.1 求主動(dòng)力之間的平衡關(guān)系,例12-1 圖12-9a所示曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄長(zhǎng)OA=r，連桿AB=l。在圖示位置，系統(tǒng)受到力偶M和水平力F的共同作用。求使系統(tǒng)平衡時(shí)，M與F之間的關(guān)系。,12.4 虛位移原理的應(yīng)

8、用,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 設(shè)想使系統(tǒng)發(fā)生一虛位移，點(diǎn)A的虛位移為 ，點(diǎn)B的虛位移為 。,根據(jù)虛位移原理，寫出虛功方程,其中,用“虛速度” 法求 與 之間的關(guān)系得,代入虛功方程并整理得,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,例12-2 圖12-10a所示機(jī)構(gòu)中，各桿件自重及各處摩擦不計(jì)。求在圖示位置平衡時(shí)，機(jī)構(gòu)所受主動(dòng)力偶矩M與主動(dòng)力F之間的關(guān)系。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 設(shè)想桿OA產(chǎn)生無(wú)限小角位移 ，點(diǎn)C產(chǎn)生水平向左的無(wú)限小線位移 。,由虛位移原理，虛功方程為,用“虛速度” 法求 與 之間的關(guān)系（以滑塊B為動(dòng)點(diǎn)，桿OA為動(dòng)系 ）,代入虛功方程并整理得,rBa=xC,12.4 虛位移原理

9、的應(yīng)用,例12-3 如圖12-11a所示，在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上，作用一水平面內(nèi)的力偶(F, F)，其力偶矩M=Fl。設(shè)螺桿的螺距為h。不計(jì)螺桿和螺母間的摩擦，求平衡時(shí)作用于被壓榨物體上的力。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 設(shè)想手柄按螺紋方向轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)限小角位移 ，螺桿和壓板得到向下的無(wú)限小位移 。,由虛位移原理，虛功方程為,由機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)關(guān)系知，對(duì)于單線螺紋，手柄AB旋轉(zhuǎn)一周，螺桿上升或下降一個(gè)螺距h，故有,代入虛功方程并整理得,作用于被壓榨物體上的力與FN大小相等，方向相反。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,例12-4 圖12-12所示平面雙擺中，擺錘A、B重分別為GA和GB，擺桿長(zhǎng)分別為a和b

10、，桿重不計(jì)。若在B點(diǎn)加一水平力F以維持系統(tǒng)的平衡，求擺桿和鉛垂線的夾角 和 。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，若取 和 為廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為 和 。,由虛位移原理，虛功方程為,將直角坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo) 和 的函數(shù)，有,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,對(duì)上式變分，得,將上式代入虛功方程中，經(jīng)整理得,由于兩個(gè)虛位移是任意且彼此獨(dú)立的，于是有,由此解得,本例中，利用對(duì)坐標(biāo)的變分得到虛位移之間的關(guān)系，稱為“解析法”。此時(shí)，需建立機(jī)構(gòu)在任意位置時(shí)有關(guān)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系。主動(dòng)力和虛位移均以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，否則為負(fù)。,12.4.2 求內(nèi)力或約束力,例12-5 圖12-13a所示機(jī)

11、構(gòu)，桿AB、BC的長(zhǎng)度均為l，彈簧原長(zhǎng)為l0，剛度系數(shù)為k，桿的重量不計(jì)，求系統(tǒng)平衡時(shí)角 以及彈簧的張力FT 。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 彈簧約束屬于非理想約束，需假想把彈簧去掉，用彈性力FT代替，并作為主動(dòng)力作用于系統(tǒng)上。,給系統(tǒng)以虛位移，由虛位移原理，虛功方程為,列出在坐標(biāo)系A(chǔ)xy中點(diǎn)B、C的x坐標(biāo),則點(diǎn)B、C在x方向的虛位移為,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,此時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為,彈簧力的大小為,將虛位移和彈簧離FT 均代入虛功方程中，得,所以有,再由彈簧力的大小計(jì)算式可得彈簧的張力,例12-6 連續(xù)梁受力如圖12-14a所示，Me=2qa2，F(xiàn)=qa。試

12、求A、D處的約束力及B截面的內(nèi)力偶矩。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,解 圖示連續(xù)梁是沒(méi)有自由度的結(jié)構(gòu)，為了用虛位移原理求解約束力，可解除欲求約束力的約束而代之以約束力，從而使結(jié)構(gòu)獲得相應(yīng)的自由度。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,(1) 求A處約束力,假想解除A處約束，代之以約束力FA。給A處以虛位移 ，根據(jù)虛位移原理，虛功方程為,其中,經(jīng)整理得,故可解出A處約束力為,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,(2) 求D處約束力,假想解除D處約束，代之以約束力FD。給D處以虛位移 ，根據(jù)虛位移原理，虛功方程為,其中,經(jīng)整理得,故可解出D處約束力為,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,(3) 求截面B的內(nèi)力偶矩,解除截

13、面B處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)約束，代之以內(nèi)力偶矩MB 。并給該截面以虛位移 ，由虛位移原理,其中,經(jīng)整理得,解得截面B的內(nèi)力偶矩,此例，由幾何關(guān)系直接確定各虛位移之間的關(guān)系，稱為“幾何法”。,12.4 虛位移原理的應(yīng)用,1.虛位移原理解靜力學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn) (1) 虛位移原理通過(guò)主動(dòng)力在約束所許可的虛位移上的虛功給出質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，從而避免了求解矢量方程。 (2) 虛功方程中不含有理想約束力，從而大大減少了方程中未知約束力的個(gè)數(shù)，因而可以用虛位移原理方便地求出系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力(包括力偶)之間的關(guān)系。 (3) 虛位移原理也可用于求解其他未知的約束力，這時(shí)只需要解除該約束，并且把相應(yīng)的約束力視為主動(dòng)力；對(duì)于具有摩擦或彈簧的非理想約束系統(tǒng)，則應(yīng)把摩擦力或彈簧力視為主動(dòng)力。通常一次只解除一個(gè)約束，構(gòu)成具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)。,2解題步驟 (1) 確定研究對(duì)象，分析質(zhì)點(diǎn)系的自由度，檢查系統(tǒng)的約束情