數(shù)學(xué)畢業(yè)論文尚未成功的突破

1、“尚未成功”的突破坦率說(shuō)，在我個(gè)人的解題經(jīng)歷中，“尚未成功”乃至失敗，實(shí)在是比激動(dòng)人心的成功多得多但是，“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果，而面對(duì)偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”（見(jiàn)文 1、 2），我不知道這些說(shuō)來(lái)見(jiàn)笑的個(gè)人體驗(yàn)是否對(duì)廣大讀者有點(diǎn)幫助，但我能肯定地說(shuō)，這是我本來(lái)就少得可憐的解題財(cái)富中的主要資產(chǎn)，并且我的看法（包括本刊 1998年開(kāi)始的解題分析連載以及解題學(xué)引論一書(shū)）已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴，需要致歉的是，二三年來(lái)，關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來(lái)信我不能一一作復(fù)，今天的話題很大程度上是一種有意的彌補(bǔ)下面，筆者要進(jìn)行3 個(gè)解題個(gè)案的分析，以展示如何由失敗走

2、向成功，又如何對(duì)淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控1個(gè)案 1由失敗中獲取有用的信息例1 若、為互不相等的實(shí)數(shù)，且（）（）（），求 解：由等比定理得但是，式的分母為零我們的解題努力失敗了評(píng)析：這是一個(gè)失敗的解題案例，文 3談到了調(diào)整解題方向后的一些處理，其實(shí)都用到式所以，失敗的過(guò)程恰好顯化了題目的一個(gè)隱含條件，這是一個(gè)積極的收獲，當(dāng)我們將不成功的式去掉，把目光同時(shí)注視式與式時(shí)，式使我們看到了兩條直線重合：而式又使我們看到了直線通過(guò)點(diǎn)?作一步推理，直線也通過(guò)點(diǎn)（1，1），于是與文 3相比，這是一個(gè)不無(wú)新意的解法，其誕生有賴于兩點(diǎn)：第 1，從失敗的解題中獲取一條有用的信息，即式第 2，對(duì)式、式都作“著眼點(diǎn)的轉(zhuǎn)

3、移”，從解析幾何的角度去看它們有了這兩步，剩下來(lái)的工作充其量在30 秒以內(nèi)就可以完成2個(gè)案 2尚未成功不等于失敗設(shè)（）為關(guān)于的正項(xiàng)遞增數(shù)列，為大于（1）的正常數(shù)，當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證不等式時(shí)，其第 2 步會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)（），則無(wú)法推出（1）據(jù)此，許多人建議，用加強(qiáng)命題的辦法來(lái)處理，還有人得出這樣的命題（見(jiàn)文4 32 及文 5 12）：命題 設(shè)（）為關(guān)于的正項(xiàng)遞增數(shù)列，為正常數(shù)，則不等式（）（）不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明評(píng)析：不等式?jīng)]能用遞推式證出來(lái)，有兩種可能，其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足，其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng)把“不會(huì)用”當(dāng)作“不能用”，其損失是無(wú)法彌補(bǔ)的我們分析上述處理的“尚未成功”

4、，關(guān)鍵在于遞推式，這促使我們思考：（1）與（）之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎？確實(shí)，有的函數(shù)式其（1）與（）之間的關(guān)系很復(fù)雜，無(wú)法用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)直接證明；而有的關(guān)系則較簡(jiǎn)單，僅用加減乘除就可以表達(dá)出來(lái)但無(wú)論是“很復(fù)雜”還是“較簡(jiǎn)單”，其表達(dá)式都未必惟一，文6 278 給出過(guò)一個(gè)反例，說(shuō)明上述“命題”不真：例 2用數(shù)學(xué)歸納法證明講解：當(dāng) 1 時(shí)，命題顯然成立現(xiàn)假設(shè)（）2，則（ 1）（）（ 12） 2（ 1 2），由于2（ 12）恒大于2，所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功然而，這僅是“方法使用不當(dāng)”換一種遞推方式，證明并不困難（ 1） 1（ 1 2）（） 1（ 12） 2 2下面一個(gè)反例直接取自文4的例 2

5、例3 求 （ 1 1?。?1 2！）（ 1 3?。?1?。? 明：當(dāng) 1 ，命 然成立 假 命 成立， （1 1！）（ 12?。?1?。?（ 1）！1（ 12）（ 1 3）（ 12?。?1） 1（ 1）！ 1（1）（ 1?。?1（ 12） 1（ 1 2！） 1（ 1）?。?1?。?1（ 12） 2 2 表明 1 命 成立由數(shù)學(xué) 法知，不等式已 3個(gè)案 3 尚未成功的 反思文 7有很好的立意也有很好的 ，叫做“反思通解引出 解 造巧解”，它 成反思“失 ”并 示了下面一道二次函數(shù) 目的 控 程：例 4 二次函數(shù)（） 2的 象 點(diǎn)（ 1， 0），是否存在常數(shù)、使不等式 一切 數(shù)都成立？若存

6、在，求出、；若不存在， 明理由 解：作者從解兩個(gè)二次不等式開(kāi)始（解法 1）， 數(shù)形 合的思考（解法2）等 程，最后“ 學(xué)生相互 后得到巧解”（解法4）：由基本不等式 一切 數(shù)都成立，猜想 ，（） 足條件（1） 0，所以（）存在，（ 1 4），（ 12），（ 1 4）我 不知道命 人的原始意 是否只考 “存在性”，按 例，“若存在，求出、” 理解 “若存在，求出一切、”從 一意 上來(lái)看上述巧解，那就存在一個(gè)明 的疑點(diǎn)： 然，式是 足的一個(gè)解，但是在與（2 1） 2之 的二次函數(shù)很多，如1（）（ 1 2）（ 1 2）（ 21） 2，2（）（ 13）（ 23）（ 2 1）2， 3（）（ 14）（ 3

7、4）（ 2 1）2， 當(dāng)中有的 點(diǎn)（1，0），有的不 點(diǎn)（ 1，0），巧解已 了 1（） 點(diǎn)（ 1， 0）從而 所求，我 的疑 是：怎 得其余的無(wú) 個(gè)二次函數(shù)就都不 點(diǎn)（ 1，0）呢？ 也就是 ，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”究其原因，是未找出與（ 2 12）之 的所有的二次函數(shù)抓住 一尚未成功的 思考，我 想到定比分點(diǎn)公式，式可以改寫(xiě) 或 （）（ 21） 2（ 1）（ 01） 一般情況下 是的正 函數(shù)（文 8默 為常數(shù)是不完善的；同 ， 2000 年高考理科第 20 （ 2）， 是 的），但由于（） 二次函數(shù)，只能 常數(shù) 了在中求出，把（ 1） 0 代入即可求出 1（或中 1 2） 式與式的不同，反映了特殊與一般之 的區(qū) ，反映了“ ”與“ ”之 的區(qū) 其 ，原解法 1出來(lái)之后，立即就可以得出式，與是否 用“基本不等式”無(wú)關(guān)同 ，原解法 1中作者思考 的“推理是否 密”在“巧解”中依然是個(gè) 種種情況 明，我 不 要 解 活 行反思，而且要 “反思” 行再反思下面一個(gè)解法 者思考 在哪里？解：已知條件等價(jià)于存在0，使（）（）（2 1） 20，把 1 ，（） 0 代入得 1，從而（）（）（21） 2 1，即2（）（1）2 2（）（3 2）