數(shù)學問題雜談 (42).ppt

1、數(shù)學學習與解決問題,主講：汪純中,一.解決問題概述 二.解決問題的基本過程 三.課改為解決問題搭建平臺,一.解決問題概述,1.備受關注的解決問題,“初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會,去解決日常生活中和其他學科學習中的問題”,具體要求包括: 逐步學會從數(shù)學的角度提出問題,理解問題,并能綜合運用所學知識和技能解決問題; 形成解決問題的基本策略,體驗解決問題策略的多樣性,發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神; 學會與人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果,逐步形成評價與反思的意識.,“高中數(shù)學課程應提供基本內(nèi)容的實際背景,反映數(shù)學的應用價值,開展數(shù)學建模的學習活動,設立體現(xiàn)數(shù)學某些重要應用的專題課程

2、。高中數(shù)學課程應力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系,促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高實踐能力”,“根據(jù)以學生發(fā)展為本的觀念,新的課程體系必須正確處理教材、教師、學生三者關系,要堅持加強基礎,要特別重視發(fā)揮學生主體在認識活動中的主動和能動作用,重視由此導致的從問題出發(fā)、設計以解決問題的活動為基礎的數(shù)學認識過程?！?一.解決問題概述,1.備受關注的解決問題 2.問題的含義,問題是一種狀態(tài),這種狀態(tài)要求人們?nèi)ネ瓿梢粋€任務,而對于這個任務,由他們的經(jīng)驗,沒有一個現(xiàn)成的可供使用的完成任務的策略。因此,解決問題中的問題,主要指非常規(guī)問題。,練習與解決問題的特征

3、比較,一.解決問題概述,1.備受關注的解決問題 2.問題的含義 3.問題應具備的基本條件 接受性,障礙性,探究性,接受性： 學生愿意接受這個問題，并且具備了解決這個問題所必須具備的知識、技能與能力。 障礙性： 學生對解答問題的最初嘗試往往以失敗而告終。 探索性： 學生需要對失敗的嘗試進行反思，重新進行探索，并排除思維定勢，尋找新的解決問題的方案。,二.解決問題的基本過程,1.幾種模式,奧蘇貝爾四階段模式,第一階段：呈現(xiàn)問題情景命題 第二階段：明確問題最終目標與已知條件 第三階段：填補空隙過程 第四階段：解答之后的檢驗,杜威五步模式,第一步：產(chǎn)生困惑 第二步：嘗試從情景中識別出問題 第三步：將問

4、題情景中命題與已有的認知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來 第四步：對假設作檢驗 第五步：將成功的答案組合到認知結(jié)構(gòu)中,波利亞“怎樣解決問題”表,二.解決問題的基本過程,1.幾種模式 2.解決問題與數(shù)學思考 （1）特殊化與一般化 特殊化 考慮特殊情況，取特殊值，簡化問題，作圖作表格等,例1. 證明:長為4 的閉曲線L,一定可以用一個半徑為 的圓把它覆蓋住,并且該圓是所有能覆蓋曲線L的圓中的最小一個圓.,例2. 函數(shù) 定義在整數(shù)集上,且滿足 求,例3. 設a、b、c、d是四個正實數(shù)，且其中有兩個小于1. 求證：(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)1-a-b-c-d,例4. 任意一圓和 的圖象相交的交點 (A)至多

5、2點 (B)至多4點 (C)至多6點 (D)可以多于6點,二.解決問題的基本過程,1.幾種模式 2.解決問題與數(shù)學思考 （1）特殊化與一般化 特殊化 考慮特殊情況，取特殊值，簡化問題，作圖作表格等 一般化 建立模型，符號化，逆推，反證，推廣等,二.解決問題的基本過程,1.幾種模式 2.解決問題與數(shù)學思考 （1）特殊化與一般化 （2）猜測與驗證,二.解決問題的基本過程,1.幾種模式 2.解決問題與數(shù)學思考 （1）特殊化與一般化 （2）猜測與驗證 3.解決問題的教學模式對數(shù)學課堂 教學改革的啟示,例5. 若對非零常數(shù) ,函數(shù) 滿足 求證： 是周期函數(shù),證明:,問題: 1.設 是如何想到的? 2.為

6、什么由 出發(fā) 進行式的變形?,例6. 已知 是定義在正整數(shù)集上,又在正整數(shù)集上取值的函數(shù),并且 1. 2.對任何正整數(shù) ,有 3.當 時, 求證： 對一切正整數(shù) 成立.,三.課改為解決問題搭建平臺,案 例 1,“上網(wǎng)方式與費用研究” 教 學 設 計,研究過程： 第一階段：收集有關資料 豐富研究背景 第二階段：研究討論 解決問題 1.創(chuàng)設情景,提出課題 2.探索研究,解決問題 3.總結(jié)反思,舉一反三 第三階段：任務后延 自主研究,案 例 2,“用桶分水問題研究”,問題： 一只大桶裝了10斤水，另有兩只桶，一只恰好能裝3斤水，一只恰好能裝7斤水?，F(xiàn)在要把這10斤水平分為5斤的兩分，問如何倒法？,研

7、究過程： 1.學生自主操作，也可小組討論,倒水方案一：,倒水方案二：,研究過程： 1.學生自主操作，也可小組討論 2.提出問題,問題1：上述兩個倒水方案，哪個更優(yōu)？ 問題2：是否還有更優(yōu)的倒水方案？,研究過程： 1.學生自主操作，也可小組討論 2.提出問題 3.探索解決問題2的策略,用方程思想解決這一問題：,設倒?jié)M7斤桶 次，倒?jié)M3斤桶 次（若 或 取負值，則表示倒出）。這樣，找倒水方案就轉(zhuǎn)化為求不定方程 （1） 的整數(shù)解。 方程（1）的通解為 （t是整數(shù)）（2） 在（2）中令 .得解： ，代入（1）可得 改寫上式為： 由此式可得倒水方案一. 在（2）中令 .得解： ，代入（1）可得 改寫上式

8、為： 由此式可得倒水方案二. 利用（2），可以證明方案一是最優(yōu)方案。,研究過程： 1.學生自主操作，也可小組討論 2.提出問題 3.探索解決問題2的策略 4.問題的引申,案 例 3,“一個數(shù)學命題推廣的研究”,命題：正三角形內(nèi)任意一點到其三邊的距離之和為一定值。 推廣一：(取消邊數(shù)的限制) 正n邊形內(nèi)任意一點到其各邊的距離之和為一定值. 推廣二：(取消平面圖形的限制) 正多面體內(nèi)任意一點到其各面的距離之和為一定值.,有向距離定義： 設 為 所在平面上的一個點， 在 上的射影為點 ，定義 到 的有向距離 為： 若點 與點 位于 同側(cè)，則 ；若點 與點 位于 兩側(cè)，則 ；若點 在直線 上，則 。 點 到 ，點 到 的有向距離同上定義。,命題：正三角形內(nèi)任意一點到其三邊的距離之和為一定值。 推廣