Matlab實(shí)現(xiàn)多元回歸實(shí)例

1、Matlab實(shí)現(xiàn)多元回歸實(shí)例（一）一般多元回歸一般在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，人們得到了參數(shù)和因變量的數(shù)據(jù)，需要求出關(guān)系式，這時(shí)就可以用到回歸分析的方法。如果只考慮是線性函數(shù)的情形，當(dāng)自變量只有一個時(shí)，即，中時(shí)，稱為一元線性回歸，當(dāng)自變量有多個時(shí)，即，中時(shí)，稱為多元線性回歸。進(jìn)行線性回歸時(shí)，有4個基本假定： 因變量與自變量之間存在線性關(guān)系； 殘差是獨(dú)立的； 殘差滿足方差奇性； 殘差滿足正態(tài)分布。在Matlab軟件包中有一個做一般多元回歸分析的命令regeress，調(diào)用格式如下：b, bint, r, rint, stats = regress(y,X,alpha) 或者b, bint, r, ri

2、nt, stats = regress(y,X) 此時(shí)，默認(rèn)alpha 0.05.這里，y是一個的列向量，X是一個的矩陣，其中第一列是全1向量（這一點(diǎn)對于回歸來說很重要，這一個全1列向量對應(yīng)回歸方程的常數(shù)項(xiàng)），一般情況下，需要人工造一個全1列向量?；貧w方程具有如下形式：其中，是殘差。在返回項(xiàng)b,bint,r,rint,stats中，是回歸方程的系數(shù)；是一個矩陣，它的第行表示的(1-alpha)置信區(qū)間；是的殘差列向量；是矩陣，它的第行表示第個殘差的(1-alpha)置信區(qū)間；注釋：殘差與殘差區(qū)間杠桿圖，最好在0點(diǎn)線附近比較均勻的分布，而不呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，如果是這樣，就說明回歸分析做得比較理想

3、。 一般的，返回4個值：值、F_檢驗(yàn)值、閾值，與顯著性概率相關(guān)的值（如果這個值不存在，則，只輸出前3項(xiàng)）。注釋：（1）一般說來，值越大越好。（2）人們一般用以下統(tǒng)計(jì)量對回歸方程做顯著性檢驗(yàn)：F_檢驗(yàn)、t_檢驗(yàn)、以及相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法。Matlab軟件包輸出F_檢驗(yàn)值和閾值。一般說來，F(xiàn)_檢驗(yàn)值越大越好，特別的，應(yīng)該有F_檢驗(yàn)值。（3）與顯著性概率相關(guān)的值應(yīng)該滿足。如果，則說明回歸方程中有多余的自變量，可以將這些多余的自變量從回歸方程中剔除（見下面逐步回歸的內(nèi)容）。這幾個技術(shù)指標(biāo)說明擬合程度的好壞。這幾個指標(biāo)都好，就說明回歸方程是有意義的。例1（Hamilton，1987）數(shù)據(jù)如下：序號YX1X21

4、12.372.239.66212.662.578.94312.003.874.40411.933.106.64511.063.394.91613.032.838.52713.133.028.04811.442.149.05912.863.047.711010.843.265.111111.203.395.051211.562.358.511310.832.766.591412.633.904.901512.463.166.96第一步 分析數(shù)據(jù)在Matlab軟件包中分析是否具有線性關(guān)系，并作圖觀察，M文件opt_hanmilton_1987：x1=2.23,2.57,3.87,3.10,3.39

5、,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16;x2=9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96;y=12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46;corrcoef(x1,y);corrcoef(x2,y);plot3(x1,x2,y,*);得到結(jié)果：ans = 1.0000 0.0025 0.0025

6、1.0000ans = 1.0000 0.4341 0.4341 1.0000即，corrcoef(x1,y)0.0025，corrcoef(x2,y)0.4341，說明沒有非常明顯的單變量線性關(guān)系。圖形如下：也看不出有線性關(guān)系，但是，旋轉(zhuǎn)圖形，可以看出所有點(diǎn)幾乎在一個平面上。這說明，在一個平面上，滿足線性關(guān)系：或者，換成一個常見的形式 其中，是殘差。于是，在Matlab軟件包中做線性多元回歸，寫一個M文件opt_regress_hamilton：x1=2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3

7、.16;x2=9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96;y=12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46;e=ones(15,1);x=e,x1,x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)rcoplot(r,rint)其中，rcoplot（Residual case order plot）表示畫出殘差與殘差區(qū)間的杠桿圖

8、。執(zhí)行后得到：b = -4.5154 3.0970 1.0319bint = -4.6486 -4.3822 3.0703 3.1238 1.0238 1.0399r = 0.0113 -0.0087 -0.0102 -0.0069 0.0101 -0.0106 -0.0037 -0.0105 0.0049 -0.0136 0.0057 0.0163 -0.0023 0.0110 0.0071rint = -0.0087 0.0314 -0.0303 0.0128 -0.0301 0.0098 -0.0299 0.0162 -0.0106 0.0308 -0.0313 0.0102 -0.02

9、52 0.0178 -0.0299 0.0089 -0.0174 0.0272 -0.0331 0.0058 -0.0161 0.0275 -0.0027 0.0354 -0.0236 0.0190 -0.0079 0.0299 -0.0156 0.0298stats = 1.0e+004 * 0.0001 3.9222 0 0.0000即，。置信度95，且，與顯著性概率相關(guān)的，這說明，回歸方程中的每個自變量的選取，都是有意義的。殘差杠桿圖：從杠桿圖看出，所有的殘差都在0點(diǎn)附近均勻分布，區(qū)間幾乎都位于之間，即，沒有發(fā)現(xiàn)高杠桿點(diǎn)，也就是說，數(shù)據(jù)中沒有強(qiáng)影響點(diǎn)、異常觀測點(diǎn)。 綜合起來看，以上回歸結(jié)

10、果（回歸函數(shù)、擬合曲線或曲面）近乎完美。（二）逐步回歸假設(shè)已有數(shù)據(jù)X 和Y，在Matlab軟件包中，使用stepwise命令進(jìn)行逐步回歸，得到回歸方程，其中是隨機(jī)誤差。stepwise命令的使用格式如下：stepwise(X,Y)注意：應(yīng)用stepwise命令做逐步回歸，數(shù)據(jù)矩陣X的第一列不需要人工加一個全1向量，程序會自動求出回歸方程的常數(shù)項(xiàng)（intercept）。在應(yīng)用stepwise命令進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，程序不斷提醒將某個變量加入（Move in）回歸方程，或者提醒將某個變量從回歸方程中剔除（Move out）。注釋：使用stepwise命令進(jìn)行逐步回歸，既有剔除變量的運(yùn)算，也有引入變量的運(yùn)算

11、，它是目前應(yīng)用較為廣泛的一種多元回歸方法。在運(yùn)行stepwise(X,Y)命令時(shí)，默認(rèn)顯著性概率。 例2（Hald,1960）Hald數(shù)據(jù)是關(guān)于水泥生產(chǎn)的數(shù)據(jù)。某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量（單位：卡克）與水泥中4種化學(xué)成分所占的百分比有關(guān)：在生產(chǎn)中測得13組數(shù)據(jù)：序號X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812

12、109.4求出關(guān)系式。解：（1）本問題涉及的數(shù)據(jù)是5維的，不能畫圖觀察。先做異常值分析。X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12;Y=78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4;A=X,Y;mahal(A,A)程序執(zhí)行后得到結(jié)果：ans = 5.6803 3.

13、6484 6.7002 3.3676 3.3839 4.4300 4.0080 6.5067 3.0849 7.5016 5.1768 2.4701可以認(rèn)為數(shù)據(jù)都是正常的。（2）一般多元回歸。在Matlab軟件包中寫一個M文件opt_cement_1:X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47; 7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44; 2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12; 10,68,8,12;Y=78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,1

14、09.2,102.7,72.5, 93.1,115.9,83.8,113.3,109.4;a1=ones(13,1);A=a1,X;b,bint,r,rint,stat=regress(Y,A)rcoplot(r,rint)程序執(zhí)行后得到：b = 62.4054 1.5511 0.5102 0.1019 -0.1441bint = -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910r = 0.0048 1.5112 -1.6709 -1.7271 0.2508 3.9254 -1.4487

15、-3.1750 1.3783 0.2815 1.9910 0.9730 -2.2943rint = -4.0390 4.0485 -3.2331 6.2555 -5.3126 1.9707 -6.5603 3.1061 -4.5773 5.0788 -0.5623 8.4132 -6.0767 3.1794 -6.8963 0.5463 -3.5426 6.2993 -3.0098 3.5729 -2.2372 6.2191 -4.1338 6.0797 -6.9115 2.3228stat = 0.9824 111.4792 0.0000 5.9830以及殘差杠桿圖：于是，我們得到：并且，殘

16、差杠桿圖顯示，殘差均勻分布在0點(diǎn)線附近，在stat返回的4個值中，0.9824，說明模型擬合的很好。F_檢驗(yàn)值111.47920.000，符合要求。但是，與顯著性概率相關(guān)的值5.98300.05，這說明，回歸方程中有些變量可以剔除。（3）逐步回歸在Matlab軟件包中寫一個M文件opt_cement_2:X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47; 7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44; 2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12; 10,68,8,12;Y=

17、78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5, 93.1,115.9,83.8,113.3,109.4;stepwise(X,Y)程序執(zhí)行后得到下列逐步回歸的畫面： Move x4 in程序提示：將變量x4加進(jìn)回歸方程（Move x4 in），點(diǎn)擊Next Step按鈕，即，進(jìn)行下一步運(yùn)算，將第4列數(shù)據(jù)對應(yīng)的變量加入回歸方程。點(diǎn)擊Next Step按健后，又得到提示：將變量x1加進(jìn)回歸方程（Move x1 in），點(diǎn)擊 Next Step按鈕，即，進(jìn)行下一步運(yùn)算，將第1列數(shù)據(jù)對應(yīng)的變量加入回歸方程。點(diǎn)擊Next Step按健后，又得到提示：Move No

18、 terms，即，沒有需要加入（也沒有需要剔除）的變量了。 注意：在Matlab7.0軟件包中，可以直接點(diǎn)擊“All Steps”按鈕，直接求出結(jié)果（省略中間過程）。intercept 最后得到回歸方程（藍(lán)色行是被保留的有效行，紅色行表示被剔除的變量）：回歸方程中錄用了原始變量和。模型評估參數(shù)分別為：，修正的值，F(xiàn)_檢驗(yàn)值176.627，與顯著性概率相關(guān)的值，殘差均方RMSE2.73427（這個值越小越好）。以上指標(biāo)值都很好，說明回歸效果比較理想。 另外，截距intercept=103.097（Intercept = the estimated value of the constant term），這就是回歸方程的常數(shù)項(xiàng)。我們將的