層次分析法初學(xué)者必看.ppt

1、層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,層次分析法建模,一 問(wèn)題的提出 日常生活中有許多決策問(wèn)題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。 例1 購(gòu)物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。 例2 旅游 假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。,例3 擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件

2、等因素?fù)駱I(yè)。 例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎?，這給用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty 等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問(wèn)題的實(shí)用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP) 這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)

3、學(xué)為工具，通過(guò)大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。,層次分析法的基本思路：,與人們對(duì)某一復(fù)雜決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體一致。,質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 將各個(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。 例1 層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層,方案層,目標(biāo)層,例2 層次結(jié)構(gòu)模型,若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所 有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。,設(shè)

4、某層有個(gè)因素，,2 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定 在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上 層某一目標(biāo)的影響程度排序）,用 表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，,稱為成對(duì)比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取19尺度。,則,其中，,比較尺度：（1-9尺度的含義）,2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述 兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù)。,由上述定義知，成對(duì)比較矩陣,比如，例2的旅游問(wèn)題中，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：,分別表示： 景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。,由上

5、表，可得成對(duì)比較矩陣,旅游問(wèn)題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。,問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗(yàn),則可得成對(duì)比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。例如：一塊石頭重量記為1，打碎分成 個(gè)小塊，各塊的重量分別記為： 。,層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。,在正互反矩陣 中， 若 , 則稱 為一致陣。,但在 例2 的成對(duì)比較矩陣中，,即,一致陣的性質(zhì)：,5. 的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根 的特征向量。,在正互反矩陣 中，若 , 則稱 為一

6、致陣。,若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根 的歸一化特征向量 ，且 。,表示下層第 個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 為一致陣。,由于 連續(xù)的依賴于 ，則 比 大的越多， 的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 數(shù)值的大小來(lái)衡量 的不一致程度。,定義一致性指標(biāo),其中 為 的對(duì)角線元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標(biāo),定義隨機(jī)一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣,一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率 0.1 及

7、隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì) 進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。,4 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程，稱為層次總排序。從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：,對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?即 層第 個(gè)因素對(duì) 總目標(biāo)的權(quán)值為：,層的層次總排序?yàn)椋?層次總排序的一致性檢驗(yàn),設(shè) 層 對(duì)上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ，則 層次總排序的一致性比率為：,當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)

8、向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,從第二層開始用成對(duì)比較矩陣和19尺度。,對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),三 層次分析法建模舉例,旅游問(wèn)題 (1)建模,分別分別表示景色、費(fèi)用、 居住、飲食、旅途。,分別表示蘇杭、北戴河、 桂林。,（2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣,(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn),成對(duì)比較矩陣 的最大特征值,則,該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量,對(duì)成對(duì)比較矩陣 可以求層次 總排序的權(quán)向

9、量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：,計(jì)算 可知 通過(guò)一致性檢驗(yàn)。,對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為：,（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn),又,決策層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)向量為：,同理得， 對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值分別為：,故，層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。,四 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同 時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加

10、了決策的有效性。,3 簡(jiǎn)潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得 結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過(guò)程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問(wèn)題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀 因素對(duì)整個(gè)過(guò)程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。,思考：多名專家的綜合決策問(wèn)題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法,用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)； 成對(duì)比較矩陣是通過(guò)定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。 尋找簡(jiǎn)便的近似方法。,定理,對(duì)于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對(duì)應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對(duì)應(yīng) 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計(jì)算,c) 歸一化,，即令,d) 對(duì)于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時(shí),即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計(jì)算最大特征值,這是求特征根對(duì)應(yīng)