全等三角形與角平分線專題講解

1、全等三角形專題講解專題一 全等三角形判別方法的應用專題概說：判定兩個三角形全等的方法一般有以下4種：1三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“SSS”，“邊邊邊”）2兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”，“邊角邊”）3兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA”，“角邊角”）4兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“AAS”，“角角邊”）而在判別兩個直角三角形全等時，除了可以應用以上4種判別方法外，還可以應用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“HL”, “斜邊、直角邊”）也就是說“斜邊、直角邊”是判別兩個

2、直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個直角三角形全等三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來那么我們應該怎樣應用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時直接應用在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分只要同學們認真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等例1 已知：如圖，CEAB于點E，BDAC于點D，BD、CE交于點O

3、，且AO平分BAC那么圖中全等的三角形有_對分析：由CEAB，BDAC，得AEO=ADO=90由AO平分BAC，得EAO=DAO又AO為公共邊，所以AEOADO所以EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90，BOE=COD，所以BOECOD由AE=AD，AEO=ADO=90，BAC為公共角，所以EACDAO所以AB=AC又EAO=DAO， AO為公共邊，所以ABOACO 所以圖中全等的三角形一共有4對（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)

4、論成立的條件，從而得出答案例2 如圖，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，還需添加的條件是（只需填一個）_分析：要使ABCADE，注意到1=2，所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC要使ABCADE，根據(jù)SAS可知只需AC=AE即可；根據(jù)ASA可知只需B=D；根據(jù)AAS可知只需C=E故可添加的條件是AC=AE或B=D或C=E（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等例3 已知：如圖，AB=AC，1=2求證：AO平分BAC

5、分析：要證AO平分BAC，即證BAO=BCO，要證BAO=BCO，只需證BAO和BCO所在的兩個三角形全等而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可證明：連結(jié)BC因為AB=AC，所以ABCACB因為1=2，所以ABC-1ACB-2 即3=4，所以BO=CO因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構(gòu)造全等三角形 例4 已知：在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D為BC的中點，CEAD于E，交AB于F，連接DF求

6、證：ADC=BDF證明：過B作BGBC交CF延長線于G，所以BGAC所以G=ACE因為ACBC，CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC因為AC=BC，ACDCBG=90，所以 ACDCBG所以BG=CD=BD因為CBF=GBF=45，BF=BF，所以GBFDBF所以G=BDF所以ADCBDF所以ADCBDF說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形（5）會在實際問題中用全

7、等三角形的判別方法新課標強調(diào)了數(shù)學的應用價值，注意培養(yǎng)同學們應用數(shù)學的意識，形成解決簡單實際問題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念，應當引起同學們的重視例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設計一測量方案(1)畫出測量圖案(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示） (3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等第(1)題，測量圖案如圖5所示第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC=OA，在BO的延長

8、線上取一點D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為，則AB的長就是第(3)題易證AOBCOD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長解：(1)如右圖示(2)在陸地上找到可以直接到達A、B的一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OCOA，在BO的延長線上取一點D，并測得ODOB，這時測出CD的長為，則AB的長就是(3)理由：由測法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 評注：本題的背景是學生熟悉的，提供了一個學生動手操作的機會，重點考查了學生的操作能力，培養(yǎng)了學生用數(shù)學的意識練習：1已知：如圖，D是ABC的邊AB上一點，ABFC，DF交AC于點E，DE=FE求

9、證：AE=CE2如圖，在ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知ABD=ACD，BDE=CDE求證：BD=CD3用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖所示，先在AOB的兩邊上取OP=OQ，再取PM=QN，連接PN、QM，得交點C，則射線OC平分AOB你能說明道理嗎？4如圖，ABC中，AB=AC，過點A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E、G試在圖中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明5已知：如圖，點C、D在線段AB上，PC=PD請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添條件為_，你得到的一對全等三角形是_6如圖，A=D，

10、BC=EF，那么需要補充一個直接條件_（寫出一個即可），才能使ABCDEF7如圖，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求證：ABDACD8如圖，直線AD與BC相交于點O，且AC=BD，AD=BC求證：CO=DO9已知ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EF交BC于G求證：EG=GF10已知：如圖，AB=AE，BC=ED，點F是CD的中點，AFCD求證：B=E11如圖，某同學把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ ）(A)帶和去 (B)帶去(C)帶去 (D)帶去12有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如

11、圖中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并說明其中的道理13如圖，將兩根鋼條AA、BB的中點O連在一起，使AA、BB可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則A B的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定OABOAB的理由是（ ）（A）邊角邊 （B）角邊角（C）邊邊邊 （D）角角邊 專題二 角的平分線從一個角的頂點出發(fā)，把一個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線角的平分線有著重要的作用，它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點到角兩邊的距離相等，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，再加上角的平分線所在的直線是角的對稱軸因此當題目中有

12、角的平分線時，可根據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來尋找解題思路（1）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等例6 如圖，12，AEOB于E，BDOA于D，交點為C求證：AC=BC證法：AEOB，BDOA，ADC=BEC=12，CD=CE在ACD和BCE中，ADC=BEC，CD=CE，34ACDBCE(ASA)，AC=BC說明：本題若用全等方法證明點C到OA、OB距離相等，浪費時間和筆墨，不如直接應用角平分線性質(zhì)證明，原因在于同學們已經(jīng)習慣了用全等的方法，不善于直接應用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當于重新證明了一次定理，以后再學新定理，應用時要注意全等

13、定勢的干擾，注意采用簡捷證法例7 已知：如圖，ABC中，BD=CD，12求證：AD平分BAC證明：過D作DEAB于E，DFAC于F在BED與CFD中，12，BEDCFD，BD=CD，BEDCFD(AAS)DEDF，AD平分BAC說明：遇到有關角平分線的問題時，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等（2）利用角的平分線構(gòu)造全等三角形過角平分線上一點作兩邊的垂線段例8 如圖，ABCD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分ABC、BCD求證：AE=ED分析：由于角平分線上一點到角的兩邊的距離相等，而點E是兩條角平分線的交點，因此

14、我們自然想到過點E分別作AB、BC、CD的垂線段證明：過點E作EFAB，交BA的延長線于點F，作EGBC，垂足為G，作EHCD，垂足為HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，F(xiàn)AE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90在AFE和DHE中，AFE=DHE，EF=EH，F(xiàn)AE=DAFEDHEAE=ED以角的平分線為對稱軸構(gòu)造對稱圖形例9 如圖，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求證：AB=AC+CD分析：由于角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構(gòu)造出一對全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只

15、需證明BE=CD就可以了證明：在AB上截取AE=AC，連接DEAD平分BAC，EAD=CAD在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CDAB=AE+BE，AB=AC+CD延長角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例10 如圖，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長CE交AB于點F，即可構(gòu)造全等三角形證明：延長CE交AB于點FAD平分BAC，F(xiàn)AE=CAECEAD，F(xiàn)EA=CEA=90在FEA和CE

16、A中，F(xiàn)AE=CAE，AE=AE，F(xiàn)EA=CEAFEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖，在ABC中，AD平分BAC，過點D作DEAB，DE交AC于點E易證AED是等腰三角形因此，我們可以過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形例11 如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點E求證：CD=BE分析：要證CD=BE，可將BE分成兩條線段，然后再證明CD與這兩條線段都相等證明：過點D作DFAB交BC于點FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90

17、，3+5=90DEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE練習：1如圖，在ABC中，B=90，AD為BAC的平分線，DFAC于F，DE=DC求證：BE=CF2已知：如圖，AD是ABC的中線，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求證：（1）AD是BAC的平分線；（2）AB=AC3在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ4如圖，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求證：C=2B5如圖，E為ABC的A的平分線AD上一點，ABAC求證：AB-ACEB-EC6如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC求證：A+C=1807如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC過點E作交AD于點D，交BC于點