初三數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、二次函數(shù)綜合題型精講精練題型一：二次函數(shù)中的最值問題例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）若點(diǎn)M是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值解析：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得解這個方程組，得a=，b=1，c=0所以解析式為y=x2+x（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時OM+AM最小過點(diǎn)A作ANx軸

2、于點(diǎn)N，在RtABN中，AB=4，因此OM+AM最小值為方法提煉：已知一條直線上一動點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個固定點(diǎn)A、B，求AM+BM最小值的問題，我們只需做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)A，將點(diǎn)B與A連接起來交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+BM的最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn)B關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)B，將點(diǎn)A與B連接起來交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+BM的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。 A A B B M或者 M A B例2：已知拋物線的函數(shù)解析式為，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為，且。（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）已知實(shí)數(shù)，請證明：,并說明為何值時才會有.（3）若拋物線先向上平移4個單位，

3、再向左平移1個單位后得到拋物線，設(shè)，是上的兩個不同點(diǎn)，且滿足：，.請你用含有的表達(dá)式表示出的面積，并求出的最小值及取最小值時一次函數(shù)的函數(shù)解析式。解析：（1）拋物線過（,）點(diǎn)，3aa x2bxx2bx=的兩根為x1,x2且且bb x2x（x）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，） （2）x，顯然當(dāng)x時，才有 （3）方法一：由平移知識易得的解析式為：yx2 (m，m)，B（n，n）AOB為RtOA+OB=ABmmnn（mn）（mn）化簡得：m n AOB=m nAOBAOB的最小值為，此時m,(,)直線OA的一次函數(shù)解析式為x方法提煉：已知一元二次方程兩個根x1,x2,求|x1-x2|。因?yàn)閨x1-x2|=例

4、3：如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x3），則：a（0+1）（03）=3，a=1；拋物線的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：，解得；故直線BC的解析式：y=x+3已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則M（m，m+3）、N

5、（m，m2+2m+3）；故MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）（3）如圖；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；當(dāng)m=時，BNC的面積最大，最大值為方法提煉：因?yàn)锽NC的面積不好直接求，將BNC的面積分解為MNC和MNB的面積和。然后將BNC的面積表示出來，得到一個關(guān)于m的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問題例4：如圖，已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+b

6、x+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式;（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點(diǎn)P,使ABO與ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解：（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組 解得：拋物線的解析式為 （2）由題意可得：ABO為等腰三角形,如圖所示，若ABOAP1D，則DP1=AD=4 ,P1若ABOADP2 ，過點(diǎn)P2作P2 Mx軸于M

7、，AD=4, ABO為等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合 P2（1，2）（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則 當(dāng)P1(-1,4)時，S四邊形AP1CE=SACP1+SACE = 點(diǎn)E在x軸下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120此方程無解當(dāng)P2（1，2）時，S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 點(diǎn)E在x軸下方 代入得：即 ，=(-4)2-45=-40此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉：求一點(diǎn)使兩個三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩

8、個三角形相似的邊長相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個動點(diǎn)使兩個圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個圖形面積相等來求這個動點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個容易求解的圖形。例5：如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)AO、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析：（1）如圖，過B點(diǎn)作BCx軸，垂足為C，則BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，

9、OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）；（2）拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)AB，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=2，當(dāng)y=2時，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）若OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y

10、=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個，其坐標(biāo)為（2，2），方法提煉：求一動點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例6：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，過P作直線lAC交拋

11、物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)AP、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點(diǎn)M，使BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)解析：（1）當(dāng)y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，AB的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）當(dāng)x=0時，y=3C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4） （2）拋物線上有三個這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時，Q1的

12、縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為（1+，3）；當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1，3）；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3） 點(diǎn)B作BBAC于點(diǎn)F，使BF=BF，則B為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對稱點(diǎn)連接BD交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB

13、=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），解得，直線BD的解析式為：y=x+，聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得：，解得，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）方法提煉：求一動點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題例7：如圖，半徑為2的C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）若拋物線過A、B兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PBO=POB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在

14、說明理由；（3）若點(diǎn)M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)，MAB的面積為S，求S的最大（小）值解析：（1）如答圖1，連接OBBC=2，OC=1OB=B（0，）將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達(dá)式得 ，解得： ，（2）存在如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)PB（0，），O（0，0），直線l的表達(dá)式為代入拋物線的表達(dá)式，得；解得，P（）（3）如答圖3，作MHx軸于點(diǎn)H設(shè)M（ ），則SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=（MH+OB）OH+HAMHOAOB= ， = 當(dāng)時，取得最大值，最大值為題型五：二次函數(shù)中的證明問題例8：如圖11，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)A

15、(-4，3），B(4，4). （1）求二次函數(shù)的解析式： （2）求證：ACB是直角三角形； （3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 解：（1）將A(-4，3），B(4，4)代人中，整理得： 解得 二次函數(shù)的解析式為： ， 整理得： （2）由 整理 C （-2，0） D 從而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2 故ACB是直角三角形 （3）設(shè) （X0） PH= HD= AC= B

16、C= 當(dāng)PHDACB時有： 即： 整理 （舍去）此時， 當(dāng)DHPACB時有： 即： 整理 （舍去）此時， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個即 例9： 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x2上的動點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）連接 OP，過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q連接PQ，交y軸于點(diǎn)M作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（1）如圖1，當(dāng)m=時，求線段OP的長和tanPOM的值；在y軸上找一點(diǎn)C，使OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；求證：四邊形ODME是矩形解析：（1）把x

17、=代入 y=x2，得 y=2，P（，2），OP=PA丄x軸，PAMOtanP0M=tan0PA=設(shè) Q（n，n2），tanQOB=tanPOM，n=Q（，），OQ=當(dāng) OQ=OC 時，則C1（0，），C2（0，）；當(dāng) OQ=CQ 時，則 C3（0，1）（2）P（m，m2），設(shè) Q（n，n2），APOBOQ，得n=，Q（，）設(shè)直線PO的解析式為：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：解得b=1，M（0，1），QBO=MOA=90，QBOMOAMAO=QOB，QOMA同理可證：EMOD又EOD=90，四邊形ODME是矩形題型六：自變量取值范圍問題例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

18、四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)ACD均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=（1）求過ACD三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1y2時，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上AE兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時，PAE的面積最大？并求出面積的最大值解析：（1）四邊形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；設(shè)拋物線的解析式

19、為：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；拋物線：y=x2+x+4（2）由A（2，0）、B（5，4）得直線AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，則：，解得：，；由圖可知：當(dāng)y1y2時，2x5（3）SAPE=AEh，當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時，SABC最大；若設(shè)直線LAB，則直線L與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；設(shè)直線L：y=x+b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直線L：y=x+；可得點(diǎn)P（，）由（2）得：E（5，），則直線PE：y=x+9；則點(diǎn)F（，0），AF=OA+OF=；PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=綜上所述，當(dāng)P（，）時，PAE的面積