均值定理(一).ppt

1、 均 值 定 理,授課教師： 嚴(yán) 抒,授課班級：高一（10）、（11）,（1）若a0，則 _ （2）若a0且b0,則 _ （3）用作差法證明不等式的步驟：,知識準(zhǔn)備,1、作差,2、變形（與0比較),3、定號,一個矩形的長為a，寬為b，畫兩個正方形，要求第一個正方形的面積與矩形的面積相同，第二個正方形的周長與矩形的周長相同.問哪個正方形的面積大？,S=ab,C=2(a+b),(1),(2),探究新知,第一個正方形的面積是ab,可得邊長為 . 第二個正方形的周長為2(a+b)，邊長為 .,我們要比較兩個正方形面積的大小，只需要比較兩個正方形的邊長哪個長？,對任意正實(shí)數(shù)a、b,有,因此,等號成立,？

2、,講授新課,兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)，即對于任意兩個正實(shí)數(shù)a、b，有,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，等號成立.,這個結(jié)論稱為,均值定理,變式（2）,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)，等號成立.,由a0、b0時(shí)， 得,變式（1）,（積定和?。?（和定積大）,例1.已知a0,b0，且ab=16，求a+b的最小值.,解：由a0,b0根據(jù)均值定理，得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=4時(shí)， 等號成立,所以a+b的最小值為8.,一正,二定,三相等,結(jié)論,應(yīng)用舉例,例2.已知a0,b0，且a+b=6，求ab的最大值.,解：由a0,b0根據(jù)均值定理，得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即,所以ab的最大值為9.,a=3時(shí)等號成立,一正

3、,二定,三相等,一正：函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); 二定：函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是 定值； 三相等：等號成立條件必須存在.,均值定理必須滿足的條件：,總結(jié),練習(xí)鞏固,1、已知a0,b0，且ab=49，求a+b的最小值。,2、已知a0,b0，且a+b=10，求ab的最大值。,拓展延伸,1、求證：對于任意正實(shí)數(shù) ，有 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立.,2、求 的最小值，并求出 相應(yīng) 的值.,1、用一根長為20cm的鐵絲，圍成一個矩形小框，長與寬各為多少時(shí)，面積最大？,思考題,2、為了圍成一個面積為49 的矩形小框，至少要用多長的鐵絲？,1、解：設(shè)圍成的矩形的長與寬分別為x cm、y cm.,答：矩形的長

4、與寬都等于5cm時(shí)，面積最大，達(dá)到25 .,等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),由已知條件得，x+y= .,據(jù)均值定理得,取最大值25.,2、解：設(shè)圍成的矩形的長與寬分別為xcm、ycm.,答：至少要用28cm長的鐵絲.,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y= =7,由已知條件得，xy= 49 .,據(jù)均值定理得,此時(shí)x+y 達(dá)到最小值14，從而2(x+y)達(dá)到最小值214=28.,小結(jié),1、對于任意兩個正實(shí)數(shù)a、b, 稱為算術(shù)平均數(shù)， 稱為幾何平均數(shù) ，且 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)， 等號成立.,3、均值定理必須滿足： 一正：函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); 二定：函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是定值； 三相等：等號成立條件必須存在.,2、變式應(yīng)用：,1、已知a0,b0，